第十五章 分式（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第十五章 分式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题3分）华为公司自主研发的麒麟处理器是采用制程技术的手机芯片，．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列说法错误的是（    ） A．当分式时， B．当时，分式的值为正数 C．分式与的最简公分母是 D．分式约分的结果是 6．（本题3分）若，则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）2023年贵南高铁全线开通，极大地促进了黔桂两地的交通出行，推动了粤桂黔滇川高铁经济带的形成和发展．南宁与贵阳相距为570公里，乘坐高铁列车比普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车的3倍，设普通列车的平均速度，则根据题意所列方程是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 10．（本题3分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）当x 时，分式有意义；当x 时，分式的值为0． 12．（本题3分）化简： ． 13．（本题3分）若关于的方程有增根，则的值是 ． 14．（本题3分）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口． 15．（本题3分）若，则的值是 ． 16．（本题3分）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算：   (1)； (2) ； (3) ； (4). 18．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 19．（本题6分）先化简，再求值：请从中选择一个数字a代入求值． 20．（本题8分），求的值． 21．（本题8分）已知的解为正数，求m的取值范围. 关于这道题，有位同学作出如下解答： 解：去分母得，，化简，得，故 .               欲使方程的根为正数，必须 ，得m<6. 所以，当m<6时，方程 的解是正数. 上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答. 22．（本题9分）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 23．（本题9分）观察下列方程的特征及其解的特点． ①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2； ②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3； ③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； （2）根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解． 24．（本题10分）已知关于x的分式方程. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 25．（本题10分）按要求完成下列题目． 求：的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项分裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值． 若 求：A、B的值： 求：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2．（本题3分）华为公司自主研发的麒麟处理器是采用制程技术的手机芯片，．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 3．（本题3分）在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 4．（本题3分）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查零指数幂和负指数幂，根据题意利用指数幂的运算法则化简a、b和c，结合有理数大小比较即可． 【详解】解：∵且 ∴， 故选：C． 5．（本题3分）下列说法错误的是（    ） A．当分式时， B．当时，分式的值为正数 C．分式与的最简公分母是 D．分式约分的结果是 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，即分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解∶A． 当分式时，，正确，不符合题意； B． 当时，分式的值为正数，正确，不符合题意； C． 分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； D．分式约分的结果是，故错误，符合题意； 故选∶D． 6．（本题3分）若，则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，根据分式基本性质化简即可判断，掌握分式的基本性质是关键． 【详解】解：三个选项的分子分母不能约分， 而选项， ∴选项正确， 故选：． 7．（本题3分）下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和同底数幂的乘法，根据运算法则逐项分析计算即可． 【详解】A、 ，故该选项正确； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误， 故选：A． 8．（本题3分）2023年贵南高铁全线开通，极大地促进了黔桂两地的交通出行，推动了粤桂黔滇川高铁经济带的形成和发展．南宁与贵阳相距为570公里，乘坐高铁列车比普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车的3倍，设普通列车的平均速度，则根据题意所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的数量关系，列出方程．设普通列车的平均速度，则高铁的平均速度是，根据“乘坐高铁列车比普通列车少用3小时”，列出分式方程即可． 【详解】解：设普通列车的平均速度， 根据题意得，， 故选：B． 9．（本题3分）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 10．（本题3分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得，， ∴， ∵方程有整数解， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， ∴或或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）当x 时，分式有意义；当x 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件及分式值为0的计算方法解答． 【详解】解：由题意得， 解得x， ∴当x时，分式有意义； 由题意得， 解得x， ∴当x时，分式的值为0， 故答案为：，． 【点睛】此题考查分式有意义的条件：分式的分母不为0；分式值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0，熟记各条件是解题的关键． 12．（本题3分）化简： ． 【答案】 【分析】把除法化成乘法，最后约分即可解答. 【详解】原式= 故答案为：. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 13．（本题3分）若关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．解题的关键是掌握关于增根问题解决的步骤：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值是． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口． 【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口C的时间进行比较即可得出答案 【详解】解：设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴ 所以，琳琳从到所用的时间为： 华华从到所用的时间为： ∵， ∴琳琳先到达出口． 故答案为：琳琳 15．（本题3分）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】由可求得a=3b，再代入求值即可. 【详解】∵， ∴a-b=2b，即a=3b. ∴= =. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的基本性质及整体思想的运用，由可求得a=3b是解决本题的关键. 16．（本题3分）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】19.5 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．由题意可得：，则可得：，然后组合式子即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ，，…，， ∵x为正数， ∴原式 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算：   (1)； (2) ； (3) ； (4). 【答案】(1).　(2).　(3).　(4)－.　 【详解】试题分析：（1）（2）（3）（4）先因式分解，再找最简公分母，通分，合并同类项化简. 试题解析： (1)==. (2) .　 (3) ===.　 (4)= = =－. 点睛：分式运算易错点：(1)1+=,(把常数化成分式,然后通分)； (2)（通分时，分子减法运算时，一定要加括号）. 18．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，平方差公式分解因式等知识点，熟练掌握分式方程的解法并牢记最终检验是解题的关键． （1）首先去分母，方程两边同乘，可得，然后解方程即可，最后一定要检验； （2）首先去分母，方程两边同乘，可得，然后解得，经检验不是原分式方程的解，因而原方程无解． 【详解】（1）解：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ； （2）解：， 即：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， 不是原分式方程的解， 原方程无解． 19．（本题6分）先化简，再求值：请从中选择一个数字a代入求值． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴当时，原式． 20．（本题8分），求的值． 【答案】， 【分析】先将通分成，然后利用对应相等建立方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ， 解得：， 即，． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21．（本题8分）已知的解为正数，求m的取值范围. 关于这道题，有位同学作出如下解答： 解：去分母得，，化简，得，故 .               欲使方程的根为正数，必须 ，得m<6. 所以，当m<6时，方程 的解是正数. 上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答. 【答案】有错误,理由见解析. 【详解】试题分析： ∵分式方程有解的前提是“未知数的值不能使去分母时，方程两边同乘的最简公分母的值为0”，而这位同学在求m的取值范围时，没有没有考虑x-3≠0，即-m+6-3≠0. ∴他的解法有错. 试题解析： 这位同学的解法有错，理由见试题分析，正确解答如下： 去分母得，，解得：， ∵原分式方程有正数解， ∴ ，解得：m<6且m≠3. 点睛：解这类题时，我们需注意：分式方程有正数解（或负数解）的前提是方程要有解，即待定系数的取值首先不能使去分母时方程两边同乘的“最简公分母”的值为0，然后再考虑未知数的值是正数（或负数）. 22．（本题9分）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 23．（本题9分）观察下列方程的特征及其解的特点． ①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2； ②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3； ③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； （2）根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解． 【答案】（1）x＋＝－9；x1＝－4，x2＝－5；（2）x＋＝－(2n＋1)；x1＝－n，x2＝－n－1（4）x1＝－n－3，x2＝－n－4 【分析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解 （2）根据（1）中的到的规律完成（2）； （3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可． 【详解】解：（1）x＋＝－9，x1＝－4，x2＝－5， （2）x＋＝－(2n＋1)，x1＝－n，x2＝－n－1， （3）x＋＝－2(n＋2)， x＋3＋＝－2(n＋2)＋3， (x＋3)＋＝－(2n＋1)， ∴x＋3＝－n或x＋3＝－(n＋1)， 即x1＝－n－3，x2＝－n－4 检验：当x1＝－n－3时，x＋3＝－n≠0； 当x2＝－n－4时，x＋3＝－n－1≠0. ∴原分式方程的解是x1＝－n－3，x2＝－n－4 【点睛】本题是一道有关找规律的题目，根据已知的方程找出方程中分式的分子、方程等号右边以及根与方程序号之间的关系是解答本题的关键． 24．（本题10分）已知关于x的分式方程. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2 【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可. 试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10. 因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2. 因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2. 点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解． 25．（本题10分）按要求完成下列题目． 求：的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项分裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值． 若 求：A、B的值： 求：的值． 【答案】；①； 【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解； （2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解； ②根据把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解． 【详解】解：（1）+++…+ =1-+-+-+…+- =1- =； （2）①∵+= =， ∴， 解得 ． ∴A和B的值分别是和-； ②∵=•-• =•（-）-（-） ∴原式=•-•+•-•+…+•-• =•-• =- =． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确理解=•-•是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$