精品解析：江苏省南通市崇川初级中学2024-2025学年上学期第二次月考八年级数学试卷

2024～2025学年度第二学期第二次阶段检测 初二数学 （试卷共6页 总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若将分式中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来 D. 不改变 6. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交于点和，，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，，则与的周长差为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 9. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E在等边边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，的取值范围是______． 12. 分解因式：_____． 13. 如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______． 14. 若，则______． 15. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________． 16. 若且，则分式的值______． 17. 如图，在中，平分，，，，则______． 18. 已知实数满足，，且，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； （3）在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 22. 如图，在中，为的角平分线．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 24. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． （3）两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 25. 已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若、均为非零整数，求的值． 26. 如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上一点，使CE=AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC． 备用图 （1）求∠BEC的度数； （2）有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期第二次阶段检测 初二数学 （试卷共6页 总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于时，是负数． 【详解】解：, 用科学记数法表示为：． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法绝对值ju较小的数，表示形式为的形式，解题的关键是要注意确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算（包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），解题的关键是熟练掌握幂的各种运算法则，准确区分不同运算中指数的处理方式（相加、相乘、相减等）． 【详解】，而非故A错误． 而非，故B 错误． 故C正确． 而非故 D 错误． 故选：C． 4. 如图，，点在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 若将分式中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得 ， ∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变， 故选：D． 6. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交于点和，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三角形内角和定理，等边对等角．根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质结合等边对等角，求出的度数，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，，则与的周长差为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】由作法得平分，则根据角平分线的性质得到，再证明得到，然后利用等线段代换得到的周长﹣的周长． 【分析】解：由作法得平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长﹣的周长 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 9. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式因式分解可知，根据十字相乘法因式分解可知，对以上两个式子进行分析即可得到甲、乙、丙，进而进行计算即可． 【详解】A ∵， ∵， 又∵甲与乙相乘得：，乙与丙相乘得：， ∴甲为，乙为，丙为， ∴甲、丙之积与乙的差是： ， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查整式的运算、因式分解，解答本题的关键是熟练掌握运用整式运算和因式分解的方法． 10. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据要使分式有意义，分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到，． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，平分， ，， ， ， ． 故答案为：12． 14. 若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法、解一元一次方程及代数式求值，先根据同底数幂乘法法则得出关于的一元一次方程，解方程求出的值，代入其中即可得答案．熟练掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 16. 若且，则分式的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，再对分式的分子因式分解后代入计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图，在中，平分，，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 18. 已知实数满足，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 将两式相减得到，根据得到，将两式相加得到，从而根据完全平方公式即可求解． 详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）利用实数混合运算法则，零指数幂，负整指数幂运算法则进行运算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件． 先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； （3）在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 【答案】（1）作图见解析，点的坐标为 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可； （3）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：由题意得，与关于直线对称， ∴若点在的内部，则点在中对应点的坐标是， 故答案为：． 22. 如图，在中，为的角平分线．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由角平分线定义得出，由作图知由可证明； （2）由作图知：得出由等腰三角形的性质求出则可得出答案． 【小问1详解】 证明： ∵是的角平分线， ∴， 由作图知：， 在和中， ∴． 【小问2详解】 ∵为的角平分线， 由作图知 ∴ 为的角平分线， ． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 24. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． （3）两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】（1）2，5，11； （2）； （3）8． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为，解答即可． （2）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答． （3）根据题意，得，结合，，表示阴影的面积解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为， ∴需要A号卡片2张，B号卡片5张，C号卡片11张． 故答案为：2，5，11． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，多项式乘以多项式，完全平方公式变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 25. 已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若、均为非零整数，求的值． 【答案】（1）的值为； （2），理由见解析； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查分式运算和比较大小， 正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． （1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与的大小关系； （3）先表示，再求的整数值，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴的值为． 【小问2详解】 解：当时，理由如下： ∵ 或 ∴当 且时，， 当时，， ∴当时，． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵均为非零整数， 当时，，则； 当时，，则； 当时，（舍去）； 当时，，则； 综上所述：的值为或． 26. 如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC． 备用图 （1）求∠BEC的度数； （2）有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【答案】（1）90° （2）存在，t=或t= （3）或2 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠CAD，利用三角形内角和得到∠AEO=∠ODB=90°即可； （2）根据全等三角形的性质求出AE=8，CE=4，分两种情况：① 当0<t<1时，Q在线段AE上，② 当t>1时，Q在射线EC上，根据三角形的面积公式列方程求解； （3）由△BDO≌△ADC得到∠BOD＝∠ACD，①当点F在线段BC延长线上时，如图3，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），得到2t＝12﹣8t，求解即可；②当点F在线段BC上时，如图4，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），列得2t＝8t﹣12，计算即可． 【小问1详解】 ∵在△ABC中，AD为高， ∴∠ODB=90°， 又∵△BDO≌△ADC， ∴∠OBD=∠CAD， 在△AOE与△OBD中 ∵∠OBD=∠CAD，∠BOD=∠AOE， ∴∠AEO=∠ODB=90°， ∴ ∠BEC=180°-∠AEO= 90° ； 【小问2详解】 ∵ △BDO≌△ADC，AC＝12， ∴BO=AC＝12， ∵ AC＝12，CE＝AE， ∴ AE=8，CE=4， ① 当0<t<1时，Q线段AE上， ∴ S △BOQ =BO×QE= ×12 ×(8-8t) =24， 解得t=； ② 当t>1时，Q在射线EC上， ∴ S △BOQ =BO×QE= ×12 ×(8t-8) =24， 解得t=； ∴存在，t=或t=； 【小问3详解】 ∵△BDO≌△ADC， ∴∠BOD＝∠ACD， ①当点F在线段BC延长线上时，如图3， ∵∠BOD＝∠ACD， ∴∠AOP＝∠ACF， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 此时，2t＝12﹣8t， 解得：t＝； ②当点F在线段BC上时，如图4， ∵∠BOD＝∠ACD， ∴∠AOP＝∠FCQ， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 此时，2t＝8t﹣12， 解得：t＝2； 综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为或2． 【点睛】此题考查了全等三角形性质和判定，图形与动点问题，熟练掌握全等三角形的性质并应用是解题的关键，解题中还需注意运用分类思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $