经典奥数-方程法解分数、百分数应用题12种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义

小升初经典奥数——方程法解题12种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 有一些数量关系比较复杂的分数应用题,用算术法解答比较烦琐,甚至无法列出,这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。 列方程解答分数应用题时，要注意以下两点: 1.在一般情况下采用直接设未知数的方法,但当直接设未知数不易列方程时,可以考虑采用间接设未知数的方法来解答。 2.由于应用题中往往存在不同的等量关系,因而可以列出不同的方程。在设未知数时,要考虑用它来表示其他未知数是否方便,所列的方程是否易于求解。 总之，列方程解答应用题，必须过好三关：一是要善于构建数量之间的等量关系；二是能正确用字母表示出具体的数量；三是解方程计算能力要强。 假设法 某企业向银行申请甲、乙两种贷款共40万元,每年需付利息5.3万元。甲种贷款年利率12%,乙种贷款年利率14%。该企业申请甲、乙两种贷款的金额各是多少? 【思路导航】等量关系:甲种贷款的年利息十乙种贷款的年利息=5.3 解:设甲种贷款金额为x万元,则乙种贷款金额为(40-x)万元。 12%x+(40-x)×14%=5.3 0.12x+5.6-0.14x=5.3 5.6-0.02x=5.3 0.02x=0.3 x=15 乙种贷款金额:40-15=25(万元) 1.小明和妈妈原来共有存款 2200元,小明取出自己存款的,妈妈取出自己存款的。捐给了灾区的小朋友,这时小明和妈妈一共还有存款1350元。小明和妈妈原来3有存款多少元? 2. 宏远商场原计划以1500元出售甲、乙两种商品,通过调整价格,甲提价20%,乙降价30%后,实际以1600元售出，甲商品的实际售价是多少元? 3.甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。 有明显等量关系 甲、乙两个仓库共存粮食330吨,甲库运走,乙库运走60吨,剩下两个粮仓的粮食重量相等,原来两个仓库各有多少粮食? 【思路导航】这道题可以根据“剩下仓库的粮食相等”来找出等量关系,即甲仓剩下的粮食等于乙仓剩下的粮食。 解：设甲仓原有粮食x吨,则乙仓原有粮食(330-x)吨。 (1-)x=(330-x)-60 x=270-x x=270 X=150 330-150=180(吨) 答:甲仓原有粮食150吨,乙仓原有粮食 1.甲、乙两个书架共有109本书,从甲书架拿走24本后,则甲书架书的等于乙书架书的,原来甲书架有多少本书? 2.小明和小刚原有钱数比是7:4,在支援灾区捐款活动中,小明捐赠22元,小刚捐赠10元,这时他们剩下的钱数相等。小明原有多少钱? 3.甲、乙两盒共装珠子175 颗,从甲盒取出,从乙盒取出,甲盒剩下的珠子是乙盒剩下珠子的2.5倍,乙盒原有珠子多少颗? 差的关系 甲、乙两人各有一批练习本,甲比乙多32本,且甲的比乙的还多3本,那么乙有多少本? 【思路导航】等量关系:甲的本数×-乙的本数×=3。 解:设乙有x本,则甲有(x+32)本。 (x+32)×-x=3 x+-x=3 -x=3 x=-3 X=46 答:乙有46本。 【特别提醒】在列方程时，一般是把减数这个量设为x,使减数简单,解方程时简单易解。 1.师、徒两人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的还多10个,那么,徒弟一共加工了几个零件? 2.水果店上午运来苹果和梨共100箱，下午卖出苹果箱数的，卖出梨子箱数的，已知卖出苹果比梨多16箱，求水果店运来梨多少箱？ 3.甲、乙两个书架共有1100本书,从甲书架借出，从乙书架借出75%以后,甲书架比乙书架的2倍还多150本,那么乙书架原有多少本书? 和的关系 李华替图书馆买一批新书，第一天买的本书比总数的17.5%多18本，第二天买的本书比总数的少3本，还剩下125本没有买，这个图书馆共要买多少本书？ 【思路导航】等量关系：第一天买的本数+第二天买的本数+剩下本数=总本数 解：设图书馆共买x本书。 （17.5%x+18）+（x-3）+125=x （17.5%x+x）+140=X 0.3x+140=x 0.7x=140 X=200 答：这个图书馆共要买200本书。 1.一项工作，如果单独做，小张需10天完工，小李需12天完工，小王需15天完工。现在三人合作，中途小张先休息了1天，小李再休息3天，而小王一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？ 2.某修路队三天修完一条路，第一天修了全长的多150米，第二天修了全长的少100米，第三天修了1950米，这条路全长多少？ 3.一套仪器由1个A部件和3个B部件构成,用1m³钢材可做40个A部件或240个B部件,现要用6m3钢材制作这种仪器,为使所做的A部件和B部件刚好配套,则做A部件和B部件的钢材各需多少m3? 数量发生变化关系 甲、乙两个粮仓，原来甲存粮吨数是乙的，如果从乙仓调6吨到甲仓，甲仓粮的吨数是乙仓的，原来甲、乙两仓各有粮多少吨？ 【思路导航】现在甲粮仓存粮的吨数=现在乙粮仓存粮吨数×。 解：设乙粮仓原有存粮x吨，则甲粮仓存粮是x。 x+6=（x-6）× x+6=x- （-）x=6+ x= X=126 甲原有存粮：126×=90（吨） 答：甲、乙原有存粮各90吨、126吨。 1.旅游公司有甲、乙两个车队,甲队大客车的辆数比乙队大客车的辆数少20%。现在由于工作的需要,从甲队调出24辆客车到乙队,这时乙队客车的辆数是甲队的2倍。甲、乙两队共有大客车多少辆？ 2.数学课外兴趣小组，上学期男生占，这学期增加21名女生后，男生就只占了。这个小组现有女生多少人？ 3.今年小红的年龄是爸爸年龄的，4年后，小红的年龄是爸爸的年龄的，小红和爸爸今年各多少岁？ 巧设未知数 现有 A、B两根绳子,如果把A绳子剪去5米,B绳子剪去3米,那么剩余的长度之比为3:2；如果把两根绳子都剪去 14 米,那么剩余绳子的长度之比为9:5。那么A、B两绳原来的长度分别是多少米? 【思路导航】根据“A绳子剪去5米B绳子剪去3米，那么剩余的长度之比为3:2”,设原来A绳长为(3x+5)米,B绳长为(2x+3)米。等量关系为A绳剩余长度:B绳剩余长度=9:5。 解:设原来 A绳长为(3x+5)米,B绳长为(2x+3)米。 (3x+5-14):(2x+3-14)=9:5 (3x+5-14)×5=(2x+3-14)×9 15x-45=18x-99 3x=54 x=18 A绳子长:18×3+5=59(米) B绳子长:18×2+3=39(米) 答:A绳子长 59米,B绳子长 39 米。 1.张家和李家本月的收入钱数比是8:5,本月开支的钱数之比是8:3,月底张家结余240元,李家结余270元,问本月每家各收入多少元? 2.两根粗细相同,材料相同的蜡烛,长度比为是21:16,它们同时开始燃烧,18分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比是15:11,则较长的那根蜡烛还能燃烧多少分钟? 3.一个袋子中有若干个红色和白色的小球,如果从袋中取出1个红球后,剩下的小球的是红色的。把这个球放回袋中后，再另外放进3个白球,发现现有小球的是红色的,问原来袋中红球和白球各有多少个? 盈亏关系 有一批商品降价出售，如果减去定价的10%出售，可盈利215元；如果减去定价的20%出售，亏损125元。此商品的购入价是多少元？ 【思路导航】根据“购入价不变”列出方程。 解：设定价为x元。 （1-10%）x-215=（1-20%）x+125 0.9x-215=0.8x+125 0.9x-0.8x=125+215 0.1x=340 X=3400 购入价为（1-10%）x-215=0.9×3400-215=2745（元） 答：此商品的购入价是2745元。 1.从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是多少米？ 2.队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问共挖了多少树坑？ 3.用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，离井口还差1米。绳长多少米？ 反比例关系 轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8个小时，逆流而上行了10小时，如果水流速度是每小时3千米，两码头之间的距离是多少千米？ 【思路导航】根据“顺流下行和逆流上行路程一定”列出方程。顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间。 解：设船速为x千米/小时。 8（3+x）=10（x-3） 24+8x=10x-30 10x-8x=30+24 2x=54 X=27 全程为8×（3+27）=240（千米） 答：两码头之间的距离是240千米。 1.小明从山脚下A地越过山顶B地到另一边山脚下C地,共走了18千米,从A到B上山,每小时行3千米,从B到C下山,每小时行 4千米,从A地到C地共用了5小时30分钟,问原路返回要用多少小时? 2.有半径分别是6厘米和8厘米，深度相等的圆柱形容器甲和乙。把容器甲装满水倒入容器乙中，水深比容器的低1厘米，求容器的深。 3.一个正方形，如果一条边减少3厘米，另一条边增加4.8厘米，得到一个长方形。这个长方形的面积与原来正方形面积相等，求原来正方形面积。 平均数关系 为鼓励居民用电，某市电力公司规定了如下电费计算方法:每月用电量不超过100度，按每度电 0.50元计算;每月用电量超过100度，超出部分按每度电0.40元计算。若该用户2009年2月平均每度电0.48元,那么该用户2月份用电多少度? 【思路导航】分段计费。100度电费+超过的部分电费=总电费 解：设2月份的用电量为x度。（x＞100） 100×0.5+0.4（x-100）=0.48x 50+0.4x-40=0.48x 0.08x=10 X=125 答：那么该用户2月份用电125度。 1.现在有浓度为20％的盐水400克，再加入多少克浓度为40％的盐水，可以得到浓度为30％的盐水？ 2.一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男 生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 3.某校参加一次数学竞赛的平均成绩是75分，选手中男生人数比女生人数多80%，而女生比男生的平均分高20%，女生的平均分是多少分？ 火车问题 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 【思路导航】追及问题。火车追上行人多行的路程=火车追上骑车人多行路程=火车长。 解：火车速度为x千米/小时。 22（x-3.6）=26（x-10.8） 22x-79.2=26x-280.8 26x-22x=280.8-79.2 4x=201.6 X=50.4 火车长为22÷3600×（50.4-3.6）=0.286（千米）=286（米） 答：火车车身长286米。 1.某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米。时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 2.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身长。 3.一支部队排成1200米长的队伍行军，在队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用6分钟时间跑步追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了24分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么只需要多少分钟？ 多人相遇 甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离。 【思路导航】甲、乙相遇时行驶的路程和=甲、丙相遇时行驶的路程和=全程。 解：设甲、乙x分钟相遇，则甲、丙（x+15）分钟相遇。 （60+50）x=（60+40）×（x+15） 110x=100x+1500 10x=1500 X=150 全程为（60+50）×150=1650（米） 答：A、B两地相距1650米。 1.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 2.甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米/时和 48千米/时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 3.甲、乙、丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？ 多人追及 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？ 【思路导航】甲车与运动员路程差=乙车与运动员路程差=A、B全程 解：设长跑运动员的速度为x米/分钟。 6×（1000-x）=（6+2）（800-x） 6000-6x=6400-8x 2x=400 X=20 丙车速度：6×（1000-20）÷（6+2+2）+20=608（米/分钟） 1.甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？ 2.快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为60千米/时和40千米/时，求中速车的速度。 测试时间：30分钟 一、填空题（每题8分，共40分） 1.某商场在促销活动中，将一批商品降价处理。如果减去定价的12%出售，那么可以盈利170元；如果减去定价的20%出售，那么亏损150元。此商品的购入价是（ ）元。 2.两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃烧掉同样长的部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的，每段燃烧掉了（ ）厘米。 3.小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。小明来回共走了（ ）千米。 4.一堆围棋子,黑子是白子的3倍。若每次从中取出8个黑子、3个白子,当白子取完时,黑子还剩下21个,则这堆围棋子共有( )个。 5.一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，去时顺流航行每小时行30千米,回来时逆流航行每小时行24千米。这艘轮船最多驶出（ ）千米就应返航。 二、解决问题（每题12分，共60分） 6.小陈从甲地翻过山顶到乙地共用了7小时,行了30.5km。他上山速度为每小时4km,下山速度为每小时5km。如果上山、下山速度不变,由乙地返回甲地要用多长时间? 7.一项工程,甲、乙、丙三人单独做需要的时间分别是20小时、24小时、30 小时,现在三人合作,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时完成。甲只做了多少小时? 8.学校有篮球和足球共21个,篮球借出后,比足球少1个,原来篮球和足球各多少个? 9.今年小王的年龄是妈妈年龄的,12年后小王的年龄将是他妈妈的,今年小王多少岁? 10.甲、乙两数的和是300,甲数的比乙数的多 55,甲、乙两数各是多少? 【能力冲浪】参考答案 1.小明和妈妈原来共有存款 2200元,小明取出自己存款的,妈妈取出自己存款的。捐给了灾区的小朋友,这时小明和妈妈一共还有存款1350元。小明和妈妈原来3有存款多少元? 【思路导航】和的关系。小明现在存款+妈妈现在存款=1350 解：设小明原有存款x元，妈妈则有存款（2200-x）元。 （1-）x+（1-）（2200-x）=1350 X+（2200-x）=1350 X-X+1375=1350 X=25 X=1000 妈妈存款：2200-1000=1200（元） 2. 宏远商场原计划以1500元出售甲、乙两种商品,通过调整价格,甲提价20%,乙降价30%后,实际以1600元售出，甲商品的实际售价是多少元? 【思路导航】和的关系。甲提价后的售价+乙降价后的售价=1600 解：设甲原计划售价x元，则乙为（1500-x）元。 （1+20%）x+（1-30%）（1500-x）=1600 1.2x+1050-0.7x=1600 0.5x=550 X=1100 甲的实际售价为（1+20%）×1100=1320（元） 3.甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。 【思路导航】和的关系。甲商品售价+乙商品售价=200+27.7 解：设甲商品的成本是x元，则乙商品的售价是（200-x）元。 [（1+30%）x+（1+20%）（200-x）]×90%=200+27.7 [1.3x+240-1.2x]×0.9=227.7 0.09x+216=227.7 0.09x=11.7 X=130 1.甲、乙两个书架共有109本书,从甲书架拿走24本后,则甲书架书的等于乙书架书的,原来甲书架有多少本书? 【思路导航】有明显的等量关系。甲书架上的书×=乙书架上的书×。 解：设甲书架原有x本书，则乙书架有（109-x）本。 （x-24）×=（109-x）× x-16=-x x+x=+16 x= X=69 2.小明和小刚原有钱数比是7:4,在支援灾区捐款活动中,小明捐赠22元,小刚捐赠10元,这时他们剩下的钱数相等。小明原有多少钱? 【思路导航】有明显的等量关系。小明剩下的钱=小刚剩下的钱。 解：设小明和小刚原有钱数是7x元:4x元。 7x-22=4x-10 3x=12 X=4 小明原有钱数为7×4=28（元） 3.甲、乙两盒共装珠子175 颗,从甲盒取出,从乙盒取出,甲盒剩下的珠子是乙盒剩下珠子的2.5倍,乙盒原有珠子多少颗? 【思路导航】有明显的等量关系。甲盒剩下的珠子=乙盒剩下的珠子×2.5 解：设乙盒原有珠子x颗，则甲盒原有珠子（175-x）颗。 （1-）（175-x）=2.5×（1-）x -x=2x x= X=50 1.师、徒两人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的还多10个,那么,徒弟一共加工了几个零件? 【思路导航】差的关系。师傅加工的零件数×-徒弟加工的零件数×=10. 解：设徒弟一共加工了x个零件，则师傅一共加工了（170-x）个。 （170-x）×-x×=10 -x=10 x=-10 x= X=80 2.水果店上午运来苹果和梨共100箱，下午卖出苹果箱数的，卖出梨子箱数的，已知卖出苹果比梨多16箱，求水果店运来梨多少箱？ 【思路导航】差的关系。卖出的苹果箱数-卖出的梨的箱数=16. 解：设水果店运了梨x箱，则苹果（100-x）箱。 （100-x）-x=16 -x=16 x= X=40 3.甲、乙两个书架共有1100本书,从甲书架借出，从乙书架借出75%以后,甲书架比乙书架的2倍还多150本,那么乙书架原有多少本书? 【思路导航】差的关系。甲书架剩下书的本数-借乙书架剩下书的本数=150. 解：设乙书架原有x本书，则甲书架原有（1100-x）本书。 （1-（1100-x）-2×（1-75%）x=150 -x-x=150 x= X=500 1.一项工作，如果单独做，小张需10天完工，小李需12天完工，小王需15天完工。现在三人合作，中途小张先休息了1天，小李再休息3天，而小王一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？ 【思路导航】和的关系。小张完成的工作量+小李完成的工作量+小王完成的工作量=1 解：设小王一共用了x天完成，则小张工作了（x-1）天，小李工作了（x-3）天。 （x-1）+（x-3）+x=1 x-+x-+x=1 （++）x=1+ X=5.4 2.某修路队三天修完一条路，第一天修了全长的多150米，第二天修了全长的少100米，第三天修了1950米，这条路全长多少？ 【思路导航】和的关系。第一天修的长度+第二天修的长度+剩下的长度=全长。 解：设这条路全长为x米。 x+150+x-100+1950=x x+2000=x x=2000 X=7500 3.一套仪器由1个A部件和3个B部件构成,用1m³钢材可做40个A部件或240个B部件,现要用6m3钢材制作这种仪器,为使所做的A部件和B部件刚好配套,则做A部件和B部件的钢材各需多少m3? 【思路导航】和的关系。（1个A部件所用工程体积+3个B部件所用钢材体积）×套数=6。 解：则生产了x套仪器。 （+×3）×x=6 x=6 X=160 A部件所用钢材体积为160×=4（立方米） B部件所用钢材体积为6-4=2（立方米） 1.旅游公司有甲、乙两个车队,甲队大客车的辆数比乙队大客车的辆数少20%。现在由于工作的需要,从甲队调出24辆客车到乙队,这时乙队客车的辆数是甲队的2倍。甲、乙两队共有大客车多少辆？ 【思路导航】数量发生变化。现在乙队客车辆数=甲队客车辆数×2. 解：设乙队原有x辆客车，则甲队有（1-20%）x辆客车。 X+24=[（1-20%）x-24]×2 X+24=1.6x-48 0.6x=72 X=120 甲队原有（1-20%）x=0.8×120=96（辆） 一共有120+96=216（辆） 2.数学课外兴趣小组，上学期男生占，这学期增加21名女生后，男生就只占了。这个小组现有女生多少人？ 【思路导航】数量发生变化。男生人数=现在总人数×。 解：设原来兴趣小组原有x人，则现在有（x+21）人。 x=（x+21）× x-x= x= X=54 现在男生人数为（1-）×（54+21）=45（人） 3.今年小红的年龄是爸爸年龄的，4年后，小红的年龄是爸爸的年龄的，小红和爸爸今年各多少岁？ 【思路导航】数量发生变化。4年后，小红的年龄=爸爸的年龄×。 解：设今年爸爸为x岁，则今年小红是x岁。 x+4=×（x+4） x+4=x+ 4-=x-x x= X=44 小红今年年龄：44×=11（岁） 1.张家和李家本月的收入钱数比是8:5,本月开支的钱数之比是8:3,月底张家结余240元,李家结余270元,问本月每家各收入多少元? 【思路导航】巧设未知数。张家收入：李家收入=8:5。 解：设本月张家和李家开支分别为8x：3x。 （8x+240）：（3x+270）=8:5 8（3x+270）=5（8x+240） 24x+2160=40x+1200 16x=960 X=60 张家本月收入：8×60+240=480（元） 李家本月收入：3×60+270=450（元） 2.两根粗细相同,材料相同的蜡烛,长度比为是21:16,它们同时开始燃烧,18分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比是15:11,则较长的那根蜡烛还能燃烧多少分钟? 【思路导航】巧设未知数。8分钟后，长蜡烛长度：短蜡烛的长度=15:11。 解：设每分钟蜡烛燃烧长度为x份。 （21-18x）：（16-18x）=15:11 15（16-18x）=11（21-18x） 72x=9 X=0.125 较长蜡烛还能燃烧时间为21÷0.125-18=150（分钟） 3.一个袋子中有若干个红色和白色的小球,如果从袋中取出1个红球后,剩下的小球的是红色的。把这个球放回袋中后，再另外放进3个白球,发现现有小球的是红色的,问原来袋中红球和白球各有多少个? 【思路导航】巧设未知数。现在红色小球个数=小球总个数×。 解：设原有x个球，则红球的个数是1+（x-1）个。 1+（x-1）=（x+3）× x+ =x+ x= X=51 红球个数：1+（x-1）=1+×（51-1）=6（个） 白球公式：51-6=45（个） 1.从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是多少米？ 【思路导航】盈亏型反比例行程。路程一定，速度和时间成反比例。 解：设原定上课时间为x分钟。 80（x-6）=50（x+3） 30x=630 X=21 路程：80×（21-6）=1200（米） 2.队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问共挖了多少树坑？ 【思路导航】统一型盈亏问题。树坑个数一定 解：设有x个人挖坑。 5x+3=4×2+6（x-2） 5x+3=8+6x-12 X=7 5×7+3=38（个） 3.用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，离井口还差1米。绳长多少米？ 【思路导航】井深型盈亏问题。绳子长度一定 解：设井深x米。 3（x+2）=4（x-1） 3x+6=4x-4 X=10 绳子长度：3×（10+2）=36（米） 1.小明从山脚下A地越过山顶B地到另一边山脚下C地,共走了18千米,从A到B上山,每小时行3千米,从B到C下山,每小时行 4千米,从A地到C地共用了5小时30分钟,问原路返回要用多少小时? 【思路导航】往返行程。路程AB长度+路程BC长度=18。 5小时30分钟=5.5小时 解：设上坡路一个全程用了x小时，则下坡路一个全程用了（5.5-x）小时。 3x+4（5.5-x）=18 3x-4x+22=18 X=4 下坡路用了5.5-4=1.5（小时） 上坡路长度：4×3=12（千米） 下坡路长度：1.5×4=6（千米） 返回时间：6÷3+12÷4=5（小时） 2.有半径分别是6厘米和8厘米，深度相等的圆柱形容器甲和乙。把容器甲装满水倒入容器乙中，水深比容器的低1厘米，求容器的深。 【思路导航】反比例关系。谁的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例。 解：设容器高x厘米。 π×62×x=π×82×（x-1） 36x=64×（x-1） 36x=48x-64 12x=48 X=4 3.一个正方形，如果一条边减少3厘米，另一条边增加4.8厘米，得到一个长方形。这个长方形的面积与原来正方形面积相等，求原来正方形面积。 【思路导航】反比例关系。长方形面积与原正方形面积相等，说明减少部分面积=增加部分面积。 解：设原正方形的边长是x厘米。 3x=4.8（x-3） 3x=4.8x-14.4 1.8x=14.4 X=8 原正方形面积为8×8=64（平方厘米） 1.现在有浓度为20％的盐水400克，再加入多少克浓度为40％的盐水，可以得到浓度为30％的盐水？ 【思路导航】浓度问题。盐+盐=总盐 解：设再加入x克浓度为40％的盐水。 400×20%+40%x=30%（x+400） 80+0.4x=0.3x+120 0.1x=40 X=400 2.一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【思路导航】平均数关系。男生总分+女生总分=全班总分。 解：设这个班男生有x人。 21×92+90.5x=91.2×（21+x） 1932+90.5x=1915.2+91.2x 0.7x=16.8 X=24 3.某校参加一次数学竞赛的平均成绩是75分，选手中男生人数比女生人数多80%，而女生比男生的平均分高20%，女生的平均分是多少分？ 【思路导航】平均数关系。男生总分+女生总分=全班总分。男生人数：女生人数=（1+80%）：1=9:5. 解：设男生的平均分为x分，则女生的平均分为（1+20%）x分。 9x+5×（1+20%）x=75×（9+5） 9x+6x=75×14 15x=75×14 X=70 女生平均分：（1+20%）×70=84（分） 1.某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米。时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 【思路导航】火车行程问题。火车速度一定 解：设火车长度为x米。 = 23(x+250)=25（x+210） 23x+5750=25x+5250 2x=500 X=250 速度：==20（米/秒） 错车问题：路程和÷速度和=错车时间 72千米/小时=20米/秒 （250+150）÷（20+20）=400÷40=10（秒） 2.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身长。 【思路导航】超车问题。起头并进快车超过慢车的路程差是快车长，齐尾并进快车超过慢车路程差是慢车长。 解：设快车长度为x米，慢车长为y米。 X÷（10+18）=12 X=336 Y÷（18-10）=9 Y=72 3.一支部队排成1200米长的队伍行军，在队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用6分钟时间跑步追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了24分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么只需要多少分钟？ 【思路导航】追及与相遇问题。通讯员所行的路程-队伍所行的路程=1200 解：设通讯员的速度为x米/分钟、 队伍速度为1200÷24=50（米/分钟） 6x-50×6=1200 6x=1500 X=250 回到队尾时间：1200÷（50+250）=4（分钟） 1.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 【思路导航】三人行程问题。丙、乙相遇时共行了一个全程=丙、甲相遇时共行了一个全程。 解：设丙与乙用了x分钟相遇，则丙与甲用了（x+2）分钟相遇。 （67.5+75）×x=（60+75）（x+2） 142.5x=135x+270 7.5x=270 X=36 东西两镇的路程：（60+75）×（36+2）=5130（米） 2.甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米/时和 48千米/时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【思路导航】多人行程问题。卡车与甲车行了一个全程=卡车与乙车行了一个全程。 解：设卡车速度为x千米/时。 5×（60+x）=6×（48+x） 300+5x=288+6x X=12 全程：5×（60+12）=360（千米） 丙车速度：360÷8-12=33（千米/时） 3.甲、乙、丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？ 【思路导航】多人行程。甲丙相遇共行了一个环形全程=丙乙相遇共行了一个环形全程。 解：设丙每小时行x千米。1小时=60分钟 60×（7+x）=（60+10）（5+x） 42+6x=35+7x X=7 全程：1×（7+7）=14（千米） 甲、丙相遇时，丙行的路程：1×7=7（千米） 1.甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？ 【思路导航】多人追及。路程差（全程）一定 解：设摩托车速度为x米/分钟。 7×（1000-x）=14×（800-x） 7000-7x=11200-14x 7x=4200 X=600 乙车速度：14×（800-600）÷8+600=950（米/分钟） 2.快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为60千米/时和40千米/时，求中速车的速度。 【思路导航】多人追及。路程差（全程）一定。（单位不需要转化，相互抵消） 解：设骑车人速度为x千米/时。 6×（60-x）=12×（40-x） 360-6x=480-12x 6x=120 X=20 乙车速度：6×（60-20）÷9+20=46（千米/时） 【经典测试】参考答案 测试时间：30分钟 一、填空题（每题8分，共40分） 1.某商场在促销活动中，将一批商品降价处理。如果减去定价的12%出售，那么可以盈利170元；如果减去定价的20%出售，那么亏损150元。此商品的购入价是（ ）元。 【思路导航】假设法。购入价不变。 解：设此商品的定价为x元。 （1-12%）x-170=（1-20%）x+150 解得：x=4000 2.两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃烧掉同样长的部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的，每段燃烧掉了（ ）厘米。 【思路导航】有明显的等量关系。短的一根剩下长度=长的一根剩下长度× 解：设两根都燃烧了x厘米。 6-x=×（8-x） 解得：x=3 3.小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。小明来回共走了（ ）千米。 【思路导航】往返路程相等。 解：设去时用了x小时，则回时用了（5-x）小时。 6x=9（5-x） 解得：x=3 一共行了：6×3×2=36（千米） 4.一堆围棋子,黑子是白子的3倍。若每次从中取出8个黑子、3个白子,当白子取完时,黑子还剩下21个,则这堆围棋子共有( )个。 【思路导航】取物问题。黑子棋子数=白子棋子数×3. 解：设取了x次。 8x+21=3x×3 解得：x=21 围棋子总个数：21×3×（3+1）=252（个） 5.一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，去时顺流航行每小时行30千米,回来时逆流航行每小时行24千米。这艘轮船最多驶出（ ）千米就应返航。 【思路导航】往返行程。往返路程相等 解：设去时行了x小时，则回来时行了（6-x）小时。 30x=24（6-x） 解得：x= 距离：×30=80（千米） 二、解决问题（每题12分，共60分） 6.小陈从甲地翻过山顶到乙地共用了7小时,行了30.5km。他上山速度为每小时4km,下山速度为每小时5km。如果上山、下山速度不变,由乙地返回甲地要用多长时间? 【思路导航】上山路程+下山路程=30.5 解：设上山时间为x小时，则下山时间为（7-x）小时。 4x+5×（7-x）=30.5 解得：x=4.5 则上山路程为4.5×4=18（千米） 下山路程为30.5-18=12.5（千米） 返程时间：12.5÷4+18÷5=6.725（小时） 答：由乙地返回甲地要6.725小时。 7.一项工程,甲、乙、丙三人单独做需要的时间分别是20小时、24小时、30 小时,现在三人合作,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时完成。甲只做了多少小时? 【思路导航】和的关系。甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1 解：设甲工作了x小时。 x+（+）×12=1 解得：x=2 8.学校有篮球和足球共21个,篮球借出后,比足球少1个,原来篮球和足球各多少个? 【思路导航】解设法。篮球借出后个数=足球个数-1 解：设篮球原有x个。 （1-）x=(21-x)-1 解得：x=12 足球个数：21-12=9（个） 9.今年小王的年龄是妈妈年龄的,12年后小王的年龄将是他妈妈的,今年小王多少岁? 【思路导航】数量都在变化。12年后小王的年龄将=他妈妈的年龄× 解：设妈妈今年x岁，小王x岁。 x+12=（x+12）× 解得：x=30 今年小王年龄：30×=6（岁） 10.甲、乙两数的和是300,甲数的比乙数的多 55,甲、乙两数各是多少? 【思路导航】差的关系。甲数×-乙数×= 55 解：设甲数是x,则乙数是（300-x）。 -（300-x）×= 55 解得：x=200 乙数：300-200=100 学科网（北京）股份有限公司 $$