小升初奥数培优应用题：用列举法解决问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初复习讲义聚焦用列举法解决问题专题，涵盖数字组数、几何计数、逻辑推理等小升初高频题型。通过知识点系统梳理（核心原则、工具、题型）、易错点警示，结合基础（有序枚举）、进阶（约束条件）、高阶（逻辑推理）三阶练习，帮助学生掌握列举法的有序性、分类讨论等关键策略。 亮点在于可视化思维训练和分层突破设计，如用树状图分析路线走法，列表法解决鸡兔同笼头脚数量关系，培养学生的几何直观和推理意识。通过从基础枚举到复杂筛选的递进练习，帮助学生提升问题解决能力，教师可据此精准定位学生薄弱环节，提高复习效率。

小升初奥数培优应用题：用列举法解决问题 【知识点梳理】 “列举法”是解决数学问题最基础也最强大的策略之一，尤其适用于条件较多、情况复杂或没有固定公式可循的题目。其核心在于将不可见的思维过程可视化，通过罗列所有可能的情况，从中筛选出符合题意的解。 1. 核心解题原则 (1) 有序性： 1　 这是列举法的灵魂。必须按照一定的顺序（如从小到大、从大到小、从左到右、按位数高低等）进行列举。 2　 作用：防止思维跳跃导致的遗漏或重复。 3　 示例：列举两位数的个位和十位时，先固定十位为1，个位从0-9变化；再固定十位为2……以此类推。 (2) 不重不漏： 1　 不重：同一种情况只记录一次。 2　 不漏：确保所有满足条件的情况都被考虑到。 3　 检验方法：计算理论上的总可能性数量，或与另一种分类方式的结果进行比对。 (3) 分类讨论： 1　 当情况过于庞大时，需根据关键特征进行分类。 2　 标准：分类标准必须统一且互斥（即各类之间没有交集，各类之和等于全集）。 2. 常用列举工具 工具 适用场景 优势 列表法 涉及两个变量的搭配、表格填充、逻辑推理 清晰直观，便于横向纵向对比排除 树状图 多步骤决策、概率初步、路径选择 层次分明，能清晰展示分支过程 画线段/图形 几何计数、间隔问题 形象化，辅助发现规律 穷举筛选 不定方程整数解、数字谜 结合估算缩小范围，逐一验证 3. 常见题型模型 (1) 数字组数类 1　 特点：用给定数字组成多位数，满足整除、大小、奇偶等条件。 2　 策略：高位优先原则。先确定最高位（注意0不能在首位），再依次确定低位。 (2) 几何计数类 1　 特点：数线段、数角、数三角形、数长方形。 2　 策略：基本图形法。先数单个的基本图形，再数由2个、3个……基本图形组成的复合图形；或使用公式 。 (3) 搭配与组合类 1　 特点：衣服搭配、握手问题、比赛场次、路线选择。 2　 策略：区分“排列”（有顺序，如排队）与“组合”（无顺序，如握手）。利用乘法原理（分步）和加法原理（分类）。 (4) 逻辑推理类 1　 特点：真假话判断、身份匹配、名次预测。 2　 策略：假设列举法。假设某一种情况成立，推导是否产生矛盾；若无矛盾则保留，有矛盾则排除。 (5) 最优方案类 1　 特点：在有限资源下寻找最大值或最小值。 2　 策略：极端值列举。先列举边界情况（全A或全B），再向中间过渡，观察数值变化趋势。 4. 易错点警示 (1) 忽视隐含条件：如“不同的数字”、“首位不为0”、“两人不重复握手”。 (2) 顺序混乱：想到一个写一个，导致最后无法检查是否漏解。 (3) 分类标准不一：在同一层级混合使用多种分类标准，导致重叠。 【培优练习】 【基础篇：有序枚举入门】 1. 用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？请全部列举出来。 2. 小明有2件上衣（红、蓝）和3条裤子（黑、白、灰）。他有多少种不同的穿法？请列举。 3. 数一数，下图中有多少条线段？ 4. 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路。从甲地经乙地到丙地共有多少种走法？ 5. 写出所有各位数字之和为5的两位数。 【进阶篇：约束条件与分类讨论】 6. 用0、1、2、3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 7. 5个人每两个人都要握一次手，一共要握多少次手？ 8. 一个长方形的周长是16厘米，长和宽都是整厘米数。这个长方形的面积可能是多少？列举所有可能。 9. 现有1角、2角、5角的硬币各一枚。可以组成多少种不同的币值？ 【高阶篇：逻辑推理与复杂筛选】 10. 甲、乙、丙三人分别来自北京、上海、广州。已知：甲不是北京人，乙不是上海人，丙既不是北京人也不是上海人。请问三人各来自哪里？ 11. 有1克、2克、4克、8克的砝码各一个。在天平上能称出多少种不同重量的物体？（砝码只能放在一边） 12. 一个三位数，百位数字比十位数字大2，十位数字比个位数字大2。这样的三位数有哪些？ 13. 鸡兔同笼，头共10个，脚共28只。请用列举法求出鸡和兔各几只？ 14. 从1、3、5、7中任取两个不同的数相加，和是偶数的有多少种情况？ 15. 某次考试满分100分，小明得分是整数。他的分数的个位数字与十位数字之和是9，且十位数字比个位数字大1。小明考了多少分？ 16. 用1元、2元、5元人民币各若干张，凑成10元钱，有多少种不同的凑法？（至少用一张） 17. 五个同学A、B、C、D、E参加乒乓球单循环赛（每两人都要赛一场）。已知A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场。请问E赛了几场？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：用列举法解决问题 【知识点梳理】 “列举法”是解决数学问题最基础也最强大的策略之一，尤其适用于条件较多、情况复杂或没有固定公式可循的题目。其核心在于将不可见的思维过程可视化，通过罗列所有可能的情况，从中筛选出符合题意的解。 1. 核心解题原则 (1) 有序性： 1　 这是列举法的灵魂。必须按照一定的顺序（如从小到大、从大到小、从左到右、按位数高低等）进行列举。 2　 作用：防止思维跳跃导致的遗漏或重复。 3　 示例：列举两位数的个位和十位时，先固定十位为1，个位从0-9变化；再固定十位为2……以此类推。 (2) 不重不漏： 1　 不重：同一种情况只记录一次。 2　 不漏：确保所有满足条件的情况都被考虑到。 3　 检验方法：计算理论上的总可能性数量，或与另一种分类方式的结果进行比对。 (3) 分类讨论： 1　 当情况过于庞大时，需根据关键特征进行分类。 2　 标准：分类标准必须统一且互斥（即各类之间没有交集，各类之和等于全集）。 2. 常用列举工具 工具 适用场景 优势 列表法 涉及两个变量的搭配、表格填充、逻辑推理 清晰直观，便于横向纵向对比排除 树状图 多步骤决策、概率初步、路径选择 层次分明，能清晰展示分支过程 画线段/图形 几何计数、间隔问题 形象化，辅助发现规律 穷举筛选 不定方程整数解、数字谜 结合估算缩小范围，逐一验证 3. 常见题型模型 (1) 数字组数类 1　 特点：用给定数字组成多位数，满足整除、大小、奇偶等条件。 2　 策略：高位优先原则。先确定最高位（注意0不能在首位），再依次确定低位。 (2) 几何计数类 1　 特点：数线段、数角、数三角形、数长方形。 2　 策略：基本图形法。先数单个的基本图形，再数由2个、3个……基本图形组成的复合图形；或使用公式 。 (3) 搭配与组合类 1　 特点：衣服搭配、握手问题、比赛场次、路线选择。 2　 策略：区分“排列”（有顺序，如排队）与“组合”（无顺序，如握手）。利用乘法原理（分步）和加法原理（分类）。 (4) 逻辑推理类 1　 特点：真假话判断、身份匹配、名次预测。 2　 策略：假设列举法。假设某一种情况成立，推导是否产生矛盾；若无矛盾则保留，有矛盾则排除。 (5) 最优方案类 1　 特点：在有限资源下寻找最大值或最小值。 2　 策略：极端值列举。先列举边界情况（全A或全B），再向中间过渡，观察数值变化趋势。 4. 易错点警示 (1) 忽视隐含条件：如“不同的数字”、“首位不为0”、“两人不重复握手”。 (2) 顺序混乱：想到一个写一个，导致最后无法检查是否漏解。 (3) 分类标准不一：在同一层级混合使用多种分类标准，导致重叠。 【培优练习】 【基础篇：有序枚举入门】 1. 用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？请全部列举出来。 【详解】 采用“固定十位法”： 十位是1：12, 13 十位是2：21, 23 十位是3：31, 32 共 个。 【答案】6个；分别是12, 13, 21, 23, 31, 32。 2. 小明有2件上衣（红、蓝）和3条裤子（黑、白、灰）。他有多少种不同的穿法？请列举。 【详解】 采用“连线法”或“列表法”： 红上衣：红黑、红白、红灰（3种） 蓝上衣：蓝黑、蓝白、蓝灰（3种） 总共 种。 【答案】6种。 3. 数一数，下图中有多少条线段？ 【详解】 以左端点分类列举： 以A为左端点：AB, AC, AD（3条） 以B为左端点：BC, BD（2条） 以C为左端点：CD（1条） 总数： 条。 【答案】6条。 4. 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路。从甲地经乙地到丙地共有多少种走法？ 【详解】 分步列举： 第一步甲→乙有3种选法。 第二步乙→丙有2种选法。 根据乘法原理： 种。 具体为：(路1,路A), (路1,路B), (路2,路A), (路2,路B), (路3,路A), (路3,路B)。 【答案】6种。 5. 写出所有各位数字之和为5的两位数。 【详解】 设两位数为 ，则 ，且 。 按十位 从小到大列举： 【答案】14, 23, 32, 41, 50，共5个。 【进阶篇：约束条件与分类讨论】 6. 用0、1、2、3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【详解】 百位不能为0。 百位是1：十位可选0,2,3。 十位0：102, 103 十位2：120, 123 十位3：130, 132 （共6个） 百位是2：同理有6个（201, 203, 210, 213, 230, 231）。 百位是3：同理有6个（301, 302, 310, 312, 320, 321）。 总数： 个。 【答案】18个。 7. 5个人每两个人都要握一次手，一共要握多少次手？ 【详解】 列举法（避免重复）： 设5人为A,B,C,D,E。 A握手：AB, AC, AD, AE（4次） B握手（排除已算的AB）：BC, BD, BE（3次） C握手（排除已算的AC,BC）：CD, CE（2次） D握手（排除已算的AD,BD,CD）：DE（1次） E握手：已全部包含。 总数： 次。 【答案】10次。 8. 一个长方形的周长是16厘米，长和宽都是整厘米数。这个长方形的面积可能是多少？列举所有可能。 【详解】 周长16 长+宽=8。 设长为 ，宽为 ，且 。 面积 面积 面积 面积 【答案】面积可能是7, 12, 15, 16平方厘米。 9. 现有1角、2角、5角的硬币各一枚。可以组成多少种不同的币值？ 【详解】 按硬币数量分类： 取1枚：1角, 2角, 5角（3种） 取2枚：1+2=3角, 1+5=6角, 2+5=7角（3种） 取3枚：1+2+5=8角（1种） 总共 种。 【答案】7种。 【高阶篇：逻辑推理与复杂筛选】 10. 甲、乙、丙三人分别来自北京、上海、广州。已知：甲不是北京人，乙不是上海人，丙既不是北京人也不是上海人。请问三人各来自哪里？ 【详解】 列表排除法： 北京 上海 广州 甲 × ? ? 乙 ? × ? 丙 × × √ 1. 由“丙既不是北京也不是上海”，推出 丙是广州人。 2. 剩下北京和上海，剩下甲和乙。 3. 已知“甲不是北京人”，则 甲是上海人。 4. 最后剩下 乙是北京人。 【答案】甲上海，乙北京，丙广州。 11. 有1克、2克、4克、8克的砝码各一个。在天平上能称出多少种不同重量的物体？（砝码只能放在一边） 【详解】 每个砝码都有“用”或“不用”2种状态，总组合 种，减去全不用的1种，剩15种。 由于是二进制权重（1,2,4,8），每种组合的重量都是唯一的。 最小1克，最大 克。 列举验证： 1, 2, 3(1+2), 4, 5(1+4), 6(2+4), 7(1+2+4), 8, 9(1+8)... 15。 连续整数1-15均可称出。 【答案】15种。 12. 一个三位数，百位数字比十位数字大2，十位数字比个位数字大2。这样的三位数有哪些？ 【详解】 设个位为 ，则十位 ，百位 。 因为 且 ： 若 若 若 若 若 若 若 (不合题意) 【答案】420, 531, 642, 753, 864, 975。 13. 鸡兔同笼，头共10个，脚共28只。请用列举法求出鸡和兔各几只？ 【详解】 假设鸡的数量从0到10列举： 鸡0，兔10：脚 (不符) 鸡1，兔9：脚 (不符) ... 鸡6，兔4：脚 (符合) 或者从中间开始试： 鸡5，兔5：脚 (多了2只脚，说明兔子多了，鸡少了) 增加1只鸡，减少1只兔：鸡6，兔4。脚数减2，变为28。符合。 【答案】鸡6只，兔4只。 14. 从1、3、5、7中任取两个不同的数相加，和是偶数的有多少种情况？ 【详解】 奇数+奇数=偶数。题目中全是奇数，所以任意两数之和均为偶数。 只需计算从4个数中取2个的组合数。 列举： 1+3=4 1+5=6 1+7=8 3+5=8 3+7=10 5+7=12 共6种情况。 【答案】6种。 15. 某次考试满分100分，小明得分是整数。他的分数的个位数字与十位数字之和是9，且十位数字比个位数字大1。小明考了多少分？ 【详解】 设十位为 ，个位为 。 两式相加： 。 代入得 。 分数为54分。 若用列举法验证和为9的数： 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90。 其中十位比个位大1的只有54 ( )。 【答案】54分。 16. 用1元、2元、5元人民币各若干张，凑成10元钱，有多少种不同的凑法？（至少用一张） 【详解】 按5元的张数分类： 2张5元： 。剩余0元。只有1种（5,5,0,0...）。即 {5,5}。 1张5元：剩余5元需用1元和2元凑。 2元最多2张。 2张2元： ，缺1元 1张1元。 ({5,2,2,1}) 1张2元： ，缺3元 3张1元。 ({5,2,1,1,1}) 0张2元：缺5元 5张1元。 ({5,1,1,1,1,1}) 共3种。 0张5元：剩余10元需用1元和2元凑。 2元最多5张。 5张2元：{2,2,2,2,2} (1种) 4张2元：剩2元 2张1元。 (1种) 3张2元：剩4元 4张1元。 (1种) 2张2元：剩6元 6张1元。 (1种) 1张2元：剩8元 8张1元。 (1种) 0张2元：剩10元 10张1元。 (1种) 共6种。 总计： 种。 【答案】10种。 17. 五个同学A、B、C、D、E参加乒乓球单循环赛（每两人都要赛一场）。已知A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场。请问E赛了几场？ 【详解】 列举对阵关系： 1. A赛4场：A与B,C,D,E都赛过。（A-B, A-C, A-D, A-E） 2. D赛1场：D只与A赛过（因为A已经和所有人赛过，D的这一场只能是和A）。所以D没有和B,C,E赛。 3. B赛3场：B已与A赛过。B不能与D赛。剩下的对手只能在C,E中选。B需要再赛2场，所以B必须与C和E都赛过。（B-A, B-C, B-E） 4. C赛2场：C已与A赛过，与B赛过。C不能再与其他人赛（因为C总共只赛2场）。所以C没有与E赛。 5. 分析E的场次： E与A赛过（由1知）。 E与B赛过（由3知）。 E与D没赛（由2知）。 E与C没赛（由4知）。 所以E只赛了2场（对手是A和B）。 【答案】2场。 学科网（北京）股份有限公司 $