江苏省扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高三上学期期初考试数学试卷

试卷第 1 页，共 12 页 扬大附中东部分校高三年级期初考试 数学 2024.9.14 姓名：___________班级：___________ 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知集合    2 7 8 0 , 3 1,A x x x B x x k k= − −  = = − N∣ ∣ ，则𝐴 ∩ 𝐵 =（ ） A． 2,5 B． 1,2,5− C． 2,5,8 D． 1,2,5,8− 【答案】A 2．已知幂函数 ( )f x 的图象过点 2 2, 2       ，则 ( )8f =（ ） A．2 2 B． 3 2 2 C． 2 4 D． 2 【答案】C 3．已知 1 sin 3  = ， , 2          ，则下列结论不正确的是（ ） A． 2 2 cos 3  = − B． 2 tan 4  = − C． 4 2 cos 4 6 π  +  + = −    D． 4 2 cos 4 6 π  −  − =    【答案】D 【详解】∵ 1 sin 3  = ， , 2          ， ∴ 2 1 2 2 cos 1 sin 1 9 3  = − − = − − = − ， ∴ 1 sin 23tan cos 42 2 3    = = = − − ， 2 2 2 1 2 cos cos cos sin sin 4 4 4 3 2 3 2 π π π      + = − = −  −     4 2 6 + = − ， 2 2 2 1 2 4 2 cos cos cos sin sin 4 4 4 3 2 3 2 6 π π π    −  − = + = −  +  = −    . 试卷第 2 页，共 12 页 4．函数 ( ) 2 1 sin 1 ex f x x   = −  +  的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ( ) 2 e 1 1 sin sin 1 e e 1 x x x f x x x  −  = − =    + +    ，定义域为 R， 又 ( ) ( ) ( ) e 1 e 1 sin sin e 1 e 1 x x x x f x x x f x − −  − − − = − =  =  + +  ， 所以 ( )f x 是偶函数，图象关于 y轴对称，故排除 CD， 又当 ( )0,πx 时， e 1 0,sin 0 e 1 x x x −   + ， ( ) 0f x  ，故排除 B. 5．已知锐角 ，  满足 4 sin 5  = ， ( ) 12 cos 13  + = − ，则cos  的值为（ ） A． 16 65 B． 16 65 − C． 33 65 D． 33 65 − 【答案】B 【详解】因为 为锐角，所以 2 3cos 1 sin 5  = − = ， 因为 ，  为锐角，所以0 π  +  ， 所以 ( ) ( )2 5 sin 1 cos 13    + = − + = ， ( ) ( ) ( )cos cos cos cos sin sin         = + − = + + + 12 3 5 4 16 13 5 13 5 65 = −  +  = − . 6．已知函数 ( ) ( )e e cos 2x xf x x−= − + 在 1,1− 上的最大值和最小值分别为M，N，则 M N+ =（ ） A． 2− B．0 C．2 D．4 【答案】D 试卷第 3 页，共 12 页 【详解】令 ( ) ( ) ( )2 e e cosx xg x f x x−= − = − ，所以 ( )g x 最大值和最小值分别为 2, 2M N− − ， 又 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e cos e e cosx x x xg x x x g x− −− = − − = − = − ，故 ( )g x 为奇函数， 故 ( )g x 的图象关于原点对称，故 2 2 0 4M N M N− + − =  + = , 7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项 要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界 的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年 Peukert 提 出铅酸电池的容量C、放电时间 t和放电电流 I之间关系的经验公式：C I t= ，其中为与 蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为 7.5A 时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h ，则该蓄电池的 Peukert 常数约为（参考数据： lg 2 0.301 ， lg3 0.477 ）（ ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】D 【详解】由题意知 7.5 60 25 15C  =  =  ， 所以 4 10 3 25 60 7.5 15    =       = =    ，两边取以 10 为底的对数，得 10 lg 2lg 2 3  = ， 所以 2lg 2 2 0.301 1.15 1 lg3 1 0.477   =   − − ， 8．已知奇函数 ( )( )0f x x  的导函数为 ( )f x ，且满足 ( )2 0f − = ．当 0x  时， ( ) ( )3 f x xf x ， 则使得 ( ) 0f x  成立的 x的取值范围为（ ） A．(−∞, −2) ∪ (0,2) B．(−2,0) ∪ (2,+∞) C．(−∞, −2) ∪ (2,+∞) D．(−2,0) ∪ (0,2) 【答案】A 【详解】令 ( ) ( ) 3 f x F x x = ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 6 4 3 3x f x x f x xf x f x F x x x  − −  = = ， 故当 0x  时， ( ) ( ) ( ) 4 3 0 xf x f x F x x  −  =  恒成立， 故 ( ) ( ) 3 f x F x x = 在 ( )0, + 上单调递减， 试卷第 4 页，共 12 页 又 ( )( )0f x x  为奇函数， ( )2 0f − = ，故 ( )2 0f = 且 ( ) ( ) 3 f x F x x = 定义域为 ( ) ( ),0 0,− +U ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 f x f x f x F x F x x xx − − − = = = = −− ， 故 ( ) ( ) 3 f x F x x = 为偶函数，则 ( ) ( ) 3 f x F x x = 在 ( ),0− 单调递增， 且 ( ) ( )2 2 0F F− = = ， 当 0x  时，要想使得 ( ) 0f x  ，则要 ( ) 0F x  ，故0 2x  ， 当 0x  时，要想使得 ( ) 0f x  ，则要 ( ) 0F x ，故 2x  − ， 故使得 ( ) 0f x  成立的 x的取值范围为 ( ) ( ), 2 0,2− − U . 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分。每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。 9．下列结论正确的是（ ） A． 7π 6 − 是第三象限角 B．若圆心角为 π 3 的扇形的弧长为 π，则该扇形的面积为 3π 2 C．若角 的终边上有一点 ( )3,4P − ，则 3 cos 5  = − D．若角 为锐角，则角2为钝角 【答案】BC 【详解】对于 A 选项，因为 7π 5π 2π 6 6 − = − 且 5π 6 为第二象限角， 故 7π 6 − 是第二象限角，A 错； 对于 B 选项，若圆心角为 π 3 的扇形的弧长为 π，则该扇形的半径为r = π π 3 = 3， 因此，该扇形的面积为 1 1 3π π π 3 2 2 2 S r= =  = ，B 对； 对于 C 选项，若角 的终边上有一点 ( )3,4P − ，则cosα= −3 √(−3)2+42 = − 3 5，C 对； 对于 D 选项，因为 为锐角，不妨取 π 4  = ，则 π 2 2  = 为直角，D 错. 试卷第 5 页，共 12 页 10．若正数a，b满足 1a b+ = ，则（ ） A． 2 2log log 2a b+  − B．2 2 2 2 a b+  C． ln 0+ a b D． 2 2 1 2 a b+  【答案】ABC 【详解】因为 0a  ， 0b  且 1a b+ = ，所以1 2a b ab= +   1 4 ab  （当且仅当 1 2 a b= = 时取“=”）. 所以 ( )2 2 2 2 1 log log log log 2 4 a b ab+ =  = − ，故 A 正确； 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b a b a b++   = = ，故 B 正确； 设 ( ) 1 lnf x x x= − + （0 1x  ），则 ( ) 1 1 1 0 x f x x x  − = − + =  在 ( )0,1 上恒成立，所以函数 ( )f x 在 ( )0,1 上单调递增，所以 ( ) ( )1 0f x f = ， 所以 ln 0+ a b 成立，故 C 正确； 又 1a b+ =  ( ) 2 1a b+ =  2 22 1a ab b+ + = ，又 2 2 2a b ab+  ，所以 ( )2 22 1a b+  ，即 2 2 1 2 a b+  ，故 D 错误. 11．若定义在R 上的函数 ( )f x ，满足 ( )1f x + 是偶函数， ( )1f x − 是奇函数，则下列命题 正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于直线 1x = 对称 B．函数 ( )f x 的最小正周期为 4 C． ( )2023 0f = D．对于 Rx  ，都有 ( ) ( )2 0f x f x+ − = 【答案】AC 【详解】因为 ( )1f x + 是偶函数，所以 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 3f x f x f x f x+ = − +  − = − + ， 且函数 ( )f x 的图象关于直线 1x = 对称，故 A 正确； 又 ( )1f x − 是奇函数， 所以 ( ) ( )1 1f x f x− = − − − ，且函数 ( )f x 的图象关于 ( )1,0− 中心对称， 由上可知，则 ( ) ( )3 1f x f x− + = − − − ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 8 4f x f x f x f x f x+ = − −  + = − + = ， 试卷第 6 页，共 12 页 即函数 ( )f x 的一个正周期为 8， 如令 ( ) ( ) ( ) π π π 1 sin cos π π 4 2 4 sin 4 4 π 1 sin 4 f x x x f x x f x x    + = + =    = +       − =  符合题意， 但 4 不是函数的最小正周期，故 B 错误； 由周期性可知 ( ) ( ) ( )2023 253 8 1 1 0f f f=  − = − = ，故 C 正确； 若 D 正确，则 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 1 0f x f x f x f x+ − =  + + − + = ， 由 ( )1f x + 是偶函数可知 ( ) ( ) ( )1 1 1 0f x f x f x+ = − +  − + = ， 由条件无法判定函数值始终为 0，故 D 错误. 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分。 12．已知 π 1 sin 6 3    + =    ，则 5 sin 6 π 2   + =    ． 【答案】 7 9 13．已知函数 ( ) 22 lnf x x x= − ，若 ( )f x 在区间 ( )2 , 1m m+ 上单调递增，则实数m的取值范 围是 . 【答案】 1 [ ,1) 4 【详解】由 ( ) 22 lnf x x x= − 得 ( ) 21 4 1 4 x f x x x x −  = − = ， 由于函数 ( )f x 的定义域为 ( )0, + ，故令 ( ) 0f x  ,解得 1 2 x  ，故 ( )f x 的单调递增区间为 1 , 2   +   ， 若 ( )f x 在区间 ( )2 , 1m m+ 上单调递增，则 1 2 2 1 2 m m m     +  ，解得 1 1 4 m  ， 故答案为： 1 [ ,1) 4 14．已知 ,  都是锐角， 1 11 cos ,cos( ) 7 14   = + = − ，则 = . 【答案】 3  / 60o 【详解】∵ 𝛼、  为锐角， 0 π   +  试卷第 7 页，共 12 页 ∵ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 1 7 ， 11 cos( ) 14  + = − 2 4 3sin 1 cos 7   = − = ， ( )2 5 3 sin( ) 1 cos 14    + = − + = cos cos[( ) ]    = + − cos( )cos sin( )sin     = + + + 11 1 5 3 4 3( ) 14 7 14 7 = −  +  1 2 = 由于 为锐角， π 3  = 故答案为： π 3 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求值： (1) 1 0 0.52 3 16 1 64 ( ) ( 5 2) (3 ) 9 16 27 − + − − + ； (2) 2ln3 4 27e log 9 log 8 lg4 lg25−  + + ． 【答案】(1) 4 3 ； (2)10 . 【详解】（1）原式 11 32 3 49 64 3 7 4 4 1 ( ) ( ) 1 4 16 27 4 4 3 3 = + − + = + − + = . （2）原式 2 3 ln9 2 3 2 32 3 e log 3 log 2 lg100 9 log 3 log 2 2 11 1 10= −  + = −  + = − = . 16．（15分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和 “矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢” 等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角 AOB 为 2 3  ，矢为 2 的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； 试卷第 8 页，共 12 页 （2）已知如图该扇形圆心角 AOB 是 ，半径为 r，若该扇形周长是一定值 ( )0c c  当 为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1） 16 4 3 3  − ；（2） 2 = . 【分析】（1）令圆弧的半径为 R，由定义知𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠 ∠𝐴𝑂𝐵 2 = 2求 R，进而由弧田面积𝑆 = 𝑆𝑂𝐴𝐶𝐵 − 𝑆△𝐴𝑂𝐵，即可求其面积； （2）由题意得 2r r c + = ，扇形面积 2 2 r S  = ，利用基本不等式求其最大值，确定最大值 时 的值即可. 【详解】（1）由题意，如下图示 2CD = ，令圆弧的半径为 R， 2 3 AOB   = ， ∴ cos 3 2 R OD R  = = ，即 2 2 R CD OC OD R= − = − = ，得 4R = ， ∴弧田面积 21 1 3 2 OACB AOBS S S R OD AB= − = −  V ，而 3AB R= ， ∴ 16 4 3 3 S  = − . （2）由题意知：弧长 AOB为 r ，即该扇形周长 2r r c + = ，而扇形面积 2 2 r S  = ， ∴ 2 2 2 2 2 42( 2) 1642( ) 8 4 8 c c c c S       = =  = + + +  + 当且仅当 2 = 时等号成立. ∴当 2 = 时，该扇形面积最大. 17．（15分）在四棱锥P ABCD− 中，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，PC PD⊥ ，二面角 A CD P− − 为直二面角. 试卷第 9 页，共 12 页 (1)求证：PB PD⊥ ； (2)当PC PD= 时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 【答案】（1）由题意知平面PCD ⊥平面 ABCD， 又平面𝑃𝐶𝐷 ∩平面 ABCD CD= ，BC CD⊥ ， BC 平面 ABCD， 所以 ⊥BC 平面 PCD . 因为PD平面 PCD，所以BC PD⊥ . 又因为PC PD⊥ ，BC PC C = ，PC 平面PBC， BC 平面PBC， 所以PD ⊥平面PBC . 因为PB平面PBC，所以PD PB⊥ . （2）取CD中点为O，连结PO .取 AB中点为E，连结OE . 因为PC PD= ，点O是CD中点，所以PO CD⊥ . 又因为平面PCD ⊥平面 ABCD，平面PCD I 平面 ABCD CD= ，PO平面 PCD， 所以 ⊥PO 平面 ABCD . 因为点O、E分别是CD、 AB的中点，所以 //OE AD，则OE CD⊥ . 则 1 1 2 OP CD= = ， 2OE AD= = . 以点O为坐标原点， , ,OD OE OP所在直线分别为 , ,x y z轴，如图建立空间直角坐标系 试卷第 10 页，共 12 页 D xyz− ， 则 ( )0,0,0O ， ( )1,0,0D ， ( )1,0,0C − ， ( )1,2,0B − ， ( )0,0,1P ， ( )0,2,0E ， ( )1,2,0A ， 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,−2,1)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,0,0)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,0,−1). 设?⃗? = (𝑥, 𝑦, 𝑧)是平面PAB的一个法向量， 则{ ?⃗? ⋅ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 ?⃗? ⋅ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −2𝑥 = 0 ，取 1y = ，则 2z = ， 所以?⃗? = (0,1,2)是平面PAB的一个法向量. 设直线PC与平面PAB所成的角为 ，则𝑠𝑖𝑛 𝜃 = |𝑐𝑜𝑠⟨?⃗? , 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⟩| = | ?⃗? ⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ |?⃗? ||𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| | = | −2 √5×√2 | = √10 5 ， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 10 5 . 18．（17分）已知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3π π cos 2023π cos sin 2 2 sin π sin 3π cos π     − − +       = − + + + x x x f x x x x . (1)化简函数 ( )f x ； (2)若 ( ) 1 2 f  = ，求 2sin cos 2sin  + 的值； (3)若 ( ) ( )2, 3f f  − = − = − 且 π π 0, , ,π 2 2                ，求2 − 的值. 【答案】（1）根据诱导公式整理可得 ( ) cos sin x f x x = − ；(2) 6 5 ；(3) 3π 2 4  − = − 【详解】（1）由题意可得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3π π cos 2023π cos sin 2 2 sin π sin 3π cos π     − − +       = − + + + x x x f x x x x ( )( )( ) ( )( )( ) cos sin cos sin sin cos x x x x x x − − = − − − cos sin x x = − ， 由已知 ( ) 1 1 tan 2   = − =f ，得 tan 2 = − ， 所以 2 2 2 2 sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos         + + = + 2 2 tan 2tan 2 8 6 tan 1 4 1 5    + − + = = = + + . （2）由 ( ) ( )2, 3f f  − = − = − ，可知 ( ) 1 1 tan , tan 2 3   − = = ， 试卷第 11 页，共 12 页 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 tan tan 3 2tan 2 tan 1 11 tan tan 1 6            +− +  − = − + = = =  − − − . 因为 π π 0, , ,π 2 2                ，则 π 0 −  −  ， 且 ( ) 1 tan 0 2  − =  ，可得 π π 2  −  −  − ， 则 ( )2 π,0 −  − ，所以 3π 2 4  − = − . 19. （17分）（1）对于函数 ( )f x ，若其定义域内存在实数 x满足 ( ) ( )f x f x− = − ，则称 ( )f x 为“伪奇函数”．已知函数 ( ) 2 1 x f x x − = + ，试问 ( )f x 是否为“伪奇函数”，并说明理由； （2）已知函数 ( ) exf x mx= − ，其中 e 是自然常数． (Ⅰ)讨论函数 ( )f x 的单调性； (Ⅱ)若 ( ) ( ) sin 1f x a m x x − − + ，对 0x  恒成立，求实数 a的取值范围． 试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是；假设 ( )f x 为“伪奇函数”，存在 x满足 ( ) ( )f x f x− = − ， 2 2 1 1 x x x x − − −  = − − + + 有解，化为 2 2 0x + = ，无解， ∴ 𝑓(𝑥)不是“伪奇函数”； （2） （Ⅰ）定义域为R ， ( ) exf x m = − ， ① 0m  时， ( ) 0f x  ， ∴ ( )f x 在R 上单调递增， ② 0m  时，令 ( ) 0f x  ，∴ lnx m ， 令 ( ) 0f x  ，∴ lnx m ， ∴ ( )f x 在 ( ), lnm− 单调递减， ( )ln ,m + 单调递增， 综上： 0m  时， ( )f x 在R 上单调递增， 0m  时， ( )f x 在 ( ), lnm− 单调递减， ( )ln ,m + 单调递增， 试卷第 12 页，共 12 页 （Ⅱ）由题得e sin 1 0x x ax+ − −  对 0x  恒成立， 令 ( ) e sin 1xh x x ax= + − − ， 0x  ， ( ) e cosxh x x a= + − ，令 ( )( ) e cosxt x h x x a= = + − ，则 ( ) e sinxt x x = − ， ∵ 0x  ∴ e 1x  ，  sin 1,1x − ， ∴ ( ) 0t x  恒成立，∴ ( )t x 在 ( )0, + 单调递增，即 ( )h x 在 ( )0, + 单调递增， ∴ ( ) ( )0 2h x h a  = − ， ① 2a  时， ( ) 0h x  恒成立，∴ ( )h x 在 ( )0, + 单调递增， ∴ ( ) ( ) 00 e 1 0h x h = − = 恒成立 ，∴ 2a  ② 2a  时， ( )0 2 0h a = −  ， ( )( ) ( )( )ln 2 2 cos ln 2 0h a a + = + +  ， ∵ ( )h x 在 ( )0, + 单调递增，∴ ( )( )0 0, ln 2x a  + 使 ( ) 0h x = ， 当 00 x x  时， ( ) 0h x  ，当 0x x 时， ( ) 0h x  ， ∵ ( )h x 在 ( )00, x 单调递减， ( )0 ,x + 单调递增， ∴ 0x 使 ( ) ( )0 0 0h x h = ，∴ 2a  不符合 ， 综上 2a  . 扬大附中东部分校高三年级期初考试 数学 2024.9.14 姓名：___________班级：___________ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 5．已知锐角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 8．已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 10．若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 11．若定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的最小正周期为4 C． D．对于，都有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知，则 ． 13．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 14．已知都是锐角，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求值： (1)； (2)． 16．（15分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 17．（15分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）已知 . (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若且，求的值. 19. （17分）（1）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．已知函数，试问是否为“伪奇函数”，并说明理由； （2）已知函数，其中e是自然常数． (Ⅰ)讨论函数的单调性； (Ⅱ)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$