精品解析：北京二中教育集团2024-2025学年八年级上学期数学期中试题

北京二中教育集团2024-2025学年度第一学期 初三数学期中考试试卷 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 7. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和分别是的内角和外角的角平分线，，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 10. 若有意义，则的取值范围是_______． 11. 如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是______． 12. 如图是一个五边形，图形中的值为______． 13. 如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形______． 14. 若，，则______． 15. 如图，在等腰中，，，，，点C的坐标是______． 16. 如图，等边的边长为5，点E在上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，的长为______． 三、解答题（共68分，其中第17-21，23题每题5分，第22，24，25，26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 因式分解：． 19. 因式分解：． 20. 已知，求代数式的值． 21. 如图，中，于点，于点，与 相交于．求证：． 22. 如图，已知． （1）根据要求尺规作图： ①作的平分线； ②在上取点C，作边的垂直平分线交于点D，连接； （要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：． 证明：平分， ， 垂直平分线段 （____________）（填推理依据） （____________）（填推理依据） 23. 如图：在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． （1）画出关于x轴对称的图形．其中A、B、C分别和、、对应； （2）点P在y轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是______个． 24. 如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接． （1）判断的形状，并说明理由 （2）若，求的长． 25. 如图1有三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，老师用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2的面积关系，写出一个数学公式______； （2）根据数学公式，解决问题：已知，，求的值． 26. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式除以商式为______，余式为______； （3）多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 27. 已知，，，连接和． （1）如图1，①求证：； ②当时，的延长线交于点F，写出与的数量关系并证明； （2）如图2，与的延长线交于点P，连接，直接写出的度数（用含的式子表示） 28. 在平面直角坐标系，中，已知点，过点且垂直于x轴的直线记为直线，过点且垂直于y轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形G关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形G关于点M的双对称图形． （1）已知点M的坐标为，点关于点M的双对称图形点的坐标为______； （2）如图，的顶点坐标是，，． ①已知点M的坐标为，点，点，线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求n的取值范围； ②已知点M的坐标为，直线l经过点且平行于第一三象限的角平分线，当关于点M的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l上存在满足条件的双对称图形上的点，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2024-2025学年度第一学期 初三数学期中考试试卷 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：，交的延长线于， 为中边上的高． 故选：D． 5. 如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解：； ∵结果中不含的一次项， ∴， 解得：； 故选C． 7. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形唯一性的判定，需根据全等三角形的判定条件（）逐一分析各选项． 【详解】解：A．已知三边（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； B．已知两边（）及其中一边的对角（），属于情况．由于不是和的夹角，无法保证三角形唯一性，可能存在两种不同形状的三角形，符合题意； C．已知两边（）及其夹角（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； D．已知直角边，斜边，满足定理，可唯一确定直角三角形，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，和分别是的内角和外角的角平分线，，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； 过点D作于点，于点，于点，如图， ∵和分别是的内角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； ∵和分别是的内角和外角的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长． 【详解】解：当腰长为2，底边为5时，∵，不满足三角形三边关系，故无效； 当腰长为5，底边为2时，∵，，满足三边关系， ∴周长为， 故答案为：12． 10. 若有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零是解题的关键．根据零指数幂的底数不等于零，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， 故答案为：． 11. 如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：根据该三脚架为三角形可知：其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图是一个五边形，图形中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角的计算，根据五边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 13. 如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形______． 【答案】和（或和，或和，或和） 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用及全等三角形的概念，根据已知得出三角形的高与底边是解题关键．根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底，等高， ， 图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，即和，和，和，和， 故答案为：和（或和，或和，或和）． 14. 若，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法逆运算；根据幂的乘方计算法则得到，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 15. 如图，在等腰中，，，，，点C的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 过作轴于点，证明，得到，从而可得坐标． 【详解】解：如图，过作轴于点， 则， 在和中， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，等边的边长为5，点E在上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．作E点关于的对称点，连接，则当三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再求出即可得到答案． 【详解】解：作E点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等边的边长为5， ∴ ∵点E在上，，E点关于的对称点， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共68分，其中第17-21，23题每题5分，第22，24，25，26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则、合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解： ． 18. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 19. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】原式， ， ． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算、平方差公式、完全平方公式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．将化简为，由可变化为，再将作为一个整体代入，即可求出该式的值． 【详解】解：原式， ， 当时，即， 原式， ， 21. 如图，中，于点，于点，与 相交于．求证：． 【答案】 证明：∵，， ， ． 又， ， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定条件以及三角形的内角和定理，本题即可求解． 【详解】略 22. 如图，已知． （1）根据要求尺规作图： ①作的平分线； ②在上取点C，作边的垂直平分线交于点D，连接； （要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：． 证明：平分， ， 垂直平分线段 （____________）（填推理依据） （____________）（填推理依据） 【答案】（1） ①如图，射线即为所求． ②如图： （2）线段垂直平分线的性质；等边对等角 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，掌握利用线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定． （1）①利用尺规作出的平分线即可； ②根据题意进行尺规作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、等角对等边及平行线的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图：在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． （1）画出关于x轴对称的图形．其中A、B、C分别和、、对应； （2）点P在y轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是______个． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，满足条件的点P的个数是5个． 故答案为：5 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、点坐标与轴对称变化、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握轴对称的性质与作图是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后再读出点的坐标即可； （2）以点为圆心，的长为半径作圆，此圆与轴的交点即为点P，以点为圆心，的长为半径作圆，此圆与轴的交点即为点P，作的垂直平分线与轴的交点即为点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接． （1）判断的形状，并说明理由 （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：等边三角形，理由如下： 在等边中，，， ，， ， 又为边上的中线， ， ， 又， 是等边三角形； （2）4 【解析】 【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； （2）先证明，再由可得，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ． 25. 如图1有三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，老师用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2的面积关系，写出一个数学公式______； （2）根据数学公式，解决问题：已知，，求的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的结合，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）由图形面积的两种不同计算方法得出完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式计算出的值，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图2可知，， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 26. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式除以商式为______，余式为______； （3）多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 【答案】（1）2， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）用竖式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： 故答案为：2； 【小问2详解】 解： 故答案为：；； 【小问3详解】 解： ∴， 故答案为： 27. 已知，，，连接和． （1）如图1，①求证：； ②当时，的延长线交于点F，写出与的数量关系并证明； （2）如图2，与的延长线交于点P，连接，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】（1） ①证明： 在与中 ② 如图过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 又∵, ∴, ∴. （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，三角形内角和定理的应用； （1）①先证明，结合已知条件即可证明，根据全等三角形的性质即可得证； ②过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点A作，延长线，根据全等三角形的性质得出，，，根据三角形内角和定理可得，进而根据等面法可得，则以为的角分线，设，根据平角的定义列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 如图所示，过点A作，延长线 ∵ ∴，， ∴ 所以为的角分线 设 ∴ ∴ 28. 在平面直角坐标系，中，已知点，过点且垂直于x轴的直线记为直线，过点且垂直于y轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形G关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形G关于点M的双对称图形． （1）已知点M的坐标为，点关于点M的双对称图形点的坐标为______； （2）如图，的顶点坐标是，，． ①已知点M的坐标为，点，点，线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求n的取值范围； ②已知点M的坐标为，直线l经过点且平行于第一三象限的角平分线，当关于点M的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l上存在满足条件的双对称图形上的点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，“双对称图形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会性质特殊点解决问题，属于中考压轴题． （1）根据“双对称图形”的定义求解，由此即可解决问题． （2）①由关于点M的双对称图形，可得各顶点坐标为：，线段落在线段上时（不含端点），线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），结合图形求解即可； ②先求出，再利用图象法解决问题即可． 【小问1详解】 解： 点M，点， 点关于直线对称点的坐标为，点关于直线对称点的坐标为， 点关于点M的双对称图形点的坐标为， 故答案为； 【小问2详解】 解：①如图， 的顶点坐标是，，．点M的坐标为， 关于点M的双对称图形各顶点坐标为：， 点，点， 结合图形可得出直线将于点，， 当线段落在线段上时（不含端点），线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边）， ， 解得， ②的顶点坐标是，，．且关于点的双对称图形， ， 当关于点M的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l上存在满足条件的双对称图形上的点，如图， 如图，当与坐标轴有交点时，在与之间或在与之间， 同时这四条直线的斜率都为1；可设四条直线的解析式为：， ①当与坐标轴y轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； ②当与坐标轴y轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； ③当与坐标轴x轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； ④当与坐标轴x轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； 或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $