精品解析：福建省泉州市永春第二中学等学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

2024年秋季期中联考高二年数学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 3. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 设入射光线沿直线y=2x+1射向直线,则被反射后,反射光线所在的直线方程是 A. B. C. D. 5. 已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 0 D. 4 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. C. D. 直线与所成角的余弦值为0 11. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. C. D. 若直线与椭圆相交于，两点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 两条平行直线与之间的距离为__________． 13. 圆上的点到直线的距离的最小值是__． 14. 椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆与圆 （1）求经过圆与圆交点的直线方程： （2）求圆与圆的公共弦长． 16. 如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，且，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期中联考高二年数学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 3. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 【详解】， 故选：B． 4. 设入射光线沿直线y=2x+1射向直线,则被反射后,反射光线所在的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得反射点A(−1,−1),在入射光线y=2x+1上任取一点B(0,1)， 则点B(0,1)关于y=x的对称点C(1,0)在反射光线所在的直线上． 根据点A(−1,−1)和点C(1,0)的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是 ，化简可得x−2y−1=0. 故选D. 5. 已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 7. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断. 【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点， 所以，故不可能平行，错； B：若为中点，则，而，故， 又面，面，则，故， ，面，则面， 所以存在Q使得平面，对； C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行， 所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等， 故三棱锥的体积不是定值，错； D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且， 所以，，若它们夹角为， 则， 令，则， 当，则，； 当则； 当，则，； 所以不在上述范围内，错. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直线垂直的充要条件列出方程，计算即得. 【详解】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. C. D. 直线与所成角的余弦值为0 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由异面直线夹角范围可判断选项正误；B选项，由向量首尾相连法则结合图形可判断选项正误；C选项，由B选项结合向量模长公式可判断选项正误；D选项，注意到，后由向量夹角余弦公式可判断选项正误. 【详解】A选项，因异面直线夹角范围为，故A错误； B选项，由图可知，又，则，故B正确. C选项，由题可得，， 则 ，故C错误； D选项，，因. 又，则 ，故D正确. 故选：BD 11. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. C. D. 若直线与椭圆相交于，两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知列出关于方程组求得后再求得，从而得椭圆方程；设，依题意得，化简并把用表示后得关于的恒等式，由恒等式知识可求得；将与椭圆方程联立，解出交点坐标后可得距离，从而判断各选项． 【详解】由题意，所以， 所以椭圆的标准方程为，A正确； 设，依题意得， 又，所以， 所以恒成立， 可得且，且，显然， 解得，B不正确，C正确； 由，解得，， 所以交点为，，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 两条平行直线与之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可求得，由平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】，，解得：， ，即， 之间的距离. 故答案为：. 13. 圆上的点到直线的距离的最小值是__． 【答案】3 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故答案为： 14. 椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得，再设出点，结合斜率的坐标公式求出即可求出离心率. 【详解】显然直线斜率都存在，且， 由，得， 则，而， 于是，设，则， 因此，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆与圆 （1）求经过圆与圆交点的直线方程： （2）求圆与圆的公共弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案； （2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 圆即，圆心为，半径为， 则，故圆与圆相交； 将圆与圆的方程相减， 得， 即经过圆与圆交点的直线方程为； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为1， 到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为. 16. 如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为三棱柱为直三棱柱， 所以，又因为，，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为正方形，所以， 故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以，， 因为平面，， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到，，从而证明出线面垂直； （2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得：，令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【小问1详解】 ∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； 【小问2详解】 联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点， 【解析】 【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可； （2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可. 【小问1详解】 由题知，椭圆C过点和， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，， 由，得，∴， ∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF ， ∴ ∴恒成立 ∴，解得 ∴ ∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立． 【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $