精品解析：内蒙古巴彦淖尔市临河区第一中学2025届高三上学期期中学情调研测试数学试题

绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为空间内的一条直线，为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 以4为周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，则的值为______． 13. 已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则______． 14. 对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求； （2）求在区间上的最大值．（参考数据：） 16. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）如图， 为 内一点，且，证明：． 17. 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是次多项式，分母是次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在 处的阶帕德逼近定义为：，且满足，． 注：． 已知函数在 处的阶帕德逼近为． （1）求的解析式； （2）当 时，比较与的大小； （3）证明：当 时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而进行集合间的运算. 【详解】由题意可得或， 则， ， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算． 【详解】因为，所以，所以． 故选：C． 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数单调递增，所以，故， 又函数单调递减，所以，所以． 故选：A. 4. 记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及充分条件与必要条件的判定方法进行判断． 【详解】因为当时，数列存在前项小于，从第项开始不小于，此时有最小值，所以甲是乙的充分条件． 又当时，的最小值为，所以甲不是乙的必要条件． 综上，甲是乙的充分条件不必要条件. 故选：A 5. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和角公式先把的分子、分母展开，再弦化切，代入已知条件即可. 【详解】因为． 故选：C 6. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件计算出以及，结合夹角余弦公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：D． 7. 已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，设，分，，时，两函数图象交点即可得结论. 【详解】由得． 令． 当时，与的大致图象如图（1）所示， 由于两个函数的图象都关于直线对称，此时如果有交点，交点的个数应为偶数，不可能只有一个； 当时，方程无解； 当时，与的大致图象如图（2）所示，要使两个函数图象只有一个交点， 则有，即，则． 故选：C. 8. 已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心，通过 ，同样利用进行放缩后可得最大值． 【详解】如图，设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心， 因为， 所以，又， 所以，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为空间内的一条直线，为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面及面面位置关系分别判断A,D,根据面面垂直判定定理及面面平行定义判断B,C. 【详解】对于A，若，则可能或与相交，故A错误； 对于B，根据面面垂直的判定定理可知B正确； 对于C，根据面面平行的性质可知C正确； 对于D，若，则可能，或与相交且成“任意”的角，故D错误． 故选：BC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立， 所以，故A错误； 对于B，由，得， 即，则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 又，所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 以4为周期 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可判断A；令，可判断B；由A知，分析可得，即可判断C；分析易得，进而结合周期求解即可判断D. 【详解】由题意，， 对于A，令，得，则， 令，得， 则，所以，故A正确； 对于B，令，得，得， 所以是偶函数，故B正确； 对于C，由A知，，则， 所以， 则，所以函数以6为周期，故C错误； 对于D，， ， 则， 又，所以，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数问题，常常是进行适当赋值，再结合函数的奇偶性、单调性等知识进行解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，由恒成立，求参数的值. 【详解】因为函数是奇函数，所以恒成立， 即， 所以. 故答案为：4 13. 已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件确定函数周期，进而确定的值，再求对应的函数值. 【详解】因为， 又因为在区间上恰有两个极值点，且， 所以的最小正周期，即， 所以． 故答案为： 14. 对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，变形得到是首项为，公差为的等差数列， 从而求出，利用错位相减法求和，得到答案. 【详解】因为为的二阶差分数列，即， 由，故， 可知，即， 得， 所以，又， 故数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，， 所以①， 得②， 得， 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求； （2）求在区间上的最大值．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据点处的切线与直线平行得出求参； （2）先根据导函数正负得出函数单调性，进而比较端点函数值即可求出最大值. 【小问1详解】 由题意得． 由在点处的切线与直线平行知，即， 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 所以在区间上的最大值为和中的较大者． 因为， 所以，即， 故在区间上的最大值为． 16. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）如图， 为 内一点，且，证明：． 【答案】（1） （2）证明：设． 在中，由余弦定理可得， ，整理得， 即：，解得：或， 由题易知舍去，下证即可得证明. 在中，，即． ∴结合（1）有， 故，即．证毕. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，并结合余弦定理即可求得答案； （2）设,在中应用余弦定理得或，再结合（1）及大角对大边即可得，进而证明. 【小问1详解】 解：， ∴由正弦定理得，整理得． ∴由余弦定理得， 又． 【小问2详解】 略 17. 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，从再由线面垂直的定义可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得直线的方向向量及平面法向量，即可得所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作交于点，作于点． 由（1）得平面平面， 两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由条件可得，， ． 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. 【小问2详解】 因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，. 【小问3详解】 因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 19. 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是次多项式，分母是次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在 处的阶帕德逼近定义为：，且满足，． 注：． 已知函数在 处的阶帕德逼近为． （1）求的解析式； （2）当 时，比较与的大小； （3）证明：当 时，． 【答案】（1） （2）当时，， 当 时，， 当时，． （3）证明：要证当 时，，需证． 设，则． 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 要证，只需证，需证． 记，易知在上单调递增． 由（2）知，当时，，即， 取，则有． 所以结论成立． 【解析】 【分析】（1）根据题意知，然后由 可求出，，，从而可求出； （2）根据题意设，确定函数的单调性，根据函数单调性比较函数值大小， 从而可得当 时，与的大小； （3）给不等式两边取对数后，转化为证，令，然后利用导数求出其最小值， 再次转化为证，然后利用（2）的结论证明即可． 【小问1详解】 由题意知， ， 即解得 所以． 【小问2详解】 设，则． 记，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以当 时，， 所以，仅当 时，，故在上单调递减． 又因为， 所以当时，， 当 时，， 当时，． 即当时，， 当 时，， 当时，． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $