精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期第一次模块学习效果调查数学试卷

扬大附中东部分校2023-2024学年第二学期第一次模块学习效果调查高二年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可得解. 【详解】任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片， 第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片， 由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）． 故选：B． 2. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由于，得到，从而确定与的位置关系. 【详解】因为，， 则， 得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 所以与的位置关系是：或， 故选：D. 3. 已知空间中三点，若，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合空间向量平行的坐标表示分析求解即可. 【详解】由题意可得：， 若，则，解得， 所以. 故选：B. 4. 四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥如图所示， 底面是矩形，∴， 底面，底面，∴， 过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,， 故选：B 5. 已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 6. 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 7. 从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ） A. 30个 B. 42个 C. 41个 D. 39个 【答案】D 【解析】 【分析】分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解. 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 8. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有( ) A. 144种 B. 216种 C. 288种 D. 432种 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法进行求解． 【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法． ∴不同的排法种数有：种． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算，即可得出答案. 【详解】， 所以二面角的大小可能为或． 故选：BC 10. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，利用全排列求出答案；B选项，捆绑法进行求解；C选项，插空法进行求解；D选项，先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行全排列. 【详解】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法，A错误； B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书， 进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，B正确； C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书互相之间有4个空， 将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，C正确； D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法， 再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法， 故四大名著不放在两端的不同放法有种，D错误. 故选：ABC 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达．芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的正切值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则判断选项A，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标的相关公式计算，即可分别判断选项B，C，D． 【详解】对于A项，因为， 所以，故 A项错误； 对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设点，使，， 则，故， 则， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项错误； 对于C项，因，则， 故得：， 则点到直线的距离为：，故C项正确； 对于D项，因 则， 由， 则， 故即异面直线与所成角的正切值为，故D项正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有： （1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析； （2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算； （3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在天里，连续天的情况，一共有种， 则剩下的人全排列有种排法， 故一共有种排法． 故答案为：． 13. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点面距的向量表示公式进行计算即可. 【详解】根据题意知， 点到底面的距离为. 故答案为：. 14. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l．若，Q为l上的点，则PB与平面所成角的正弦值的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，向量法求与平面所成角的正弦值，利用基本不等式求最大值. 【详解】因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，则， 为正方形，有， 平面，平面，则平面， 平面平面，， 平面，则，即， 设，则有， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量为， 则， 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于， 当时，， 当时， ， 当且仅当且，即时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从这7个数字中取出4个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）720 （2）420 【解析】 【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求； （2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求. 【小问1详解】 第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． 【小问2详解】 第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 16. 已知空间四点，，，，满足. （1）求实数的值； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算，求实数的值； （2）利用向量数量积求向量和的模和夹角，面积公式求平行四边形的面积. 【小问1详解】 由题意得，. ∵，则，解得 【小问2详解】 由，得， ∵，，， ∴，. ∴. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 17. （1）已知，计算：； （2）解方程：． （3）解不等式：． 【答案】（1）126（2）（3） 【解析】 【分析】（1）由组合数的对称性得，代入所求式子中结合组合数的运算性质即可得解； （2）利用组合数的定义得到关于的方程，解方程并注意的范围即可得解； （3）将排列数不等式转换为关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （2）由，得，所以， 即， 而由，知，，解得，所以原方程的解为． （3）因为， 所以，化简可得， 解得，所以不等式解集为． 18. 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面． （1）证明：； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 在中，，由余弦定理得， ，即，有，则，即， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答. （2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离即可求出线面距离. （3）利用（2）中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由四边形为正方形，得，由（1）易知两两垂直， 以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ， ，设平面的一个法向量， 则，令，得， 而，于是得点C到平面的距离， 而，平面，平面，则平面， 所以线到平面的距离等于点C到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）知，，设平面的一个法向量， 则，令，得，设平面BEF与平面ADF夹角为， 于是，， 所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点. （1）求证：面面； （2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积. 【答案】（1） 分别取、中点、，连接，，， 则且， 又，， ，， 四边形为平行四边形，， 又， ，， 平面平面，且平面平面，， 平面，平面， ，， ，且，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别取、中点、，连接，，，利用线线垂直证明线面垂直，进而可证面面垂直； （2）过点作，由二面角的定义可知，进而可得为正三角形，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标法可得线面夹角正弦值； （3）设，，利用坐标法表示两平面夹角余弦值，可解得，进而可得体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，则平面， 由（1）得平面， ，， 所以二面角的平面角为，即， 又， 即为正三角形， ，， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又为中点， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 则， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，， 则，，， 所以，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 易知平面的一个法向量为， 又平面与平面所成的锐二面角为， ， 解得或（舍）， 则，， 所以四棱锥的体积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2023-2024学年第二学期第一次模块学习效果调查高二年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 2. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 3. 已知空间中三点，若，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 4. 四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ） A. 30个 B. 42个 C. 41个 D. 39个 8. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有( ) A. 144种 B. 216种 C. 288种 D. 432种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ） A. B. C. D. 10. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达．芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 13. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为______． 14. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l．若，Q为l上的点，则PB与平面所成角的正弦值的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从这7个数字中取出4个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 16. 已知空间四点，，，，满足. （1）求实数的值； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积. 17. （1）已知，计算：； （2）解方程：． （3）解不等式：． 18. 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面． （1）证明：； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点. （1）求证：面面； （2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值； （3）若平面与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $