精品解析：江西省上饶市广丰洋口中学2024-2025学年高二上学期十一月数学测试题

江西省上饶市广丰区洋口中学2024-2025学年高二上学期十一月数学自测题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 2. 已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 过双曲线的右焦点的直线与交于两点，若线段的长度取最小值时，直线恰有两条，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 7. 我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A. 432 B. 864 C. 1728 D. 2592 8. 若，则（ ） A 180 B. C. D. 90 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ） A. 若的周长为6，则 B. 若当时，的内切圆半径为，则 C. 若存在点，使得，则 D. 若的最大值为2b，则 11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为______. 13. 空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 14. 在的展开式中，的系数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆，直线. （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. （2）若点在直线上运动，，求的最小值. 16. 已知椭圆C：的离心率是，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，求直线l的方程. 17. 已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点． （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程； （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值． 18. 如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设． （1）试用表示； （2）求长度； （3）求直线与直线所成角的余弦值． 19. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省上饶市广丰区洋口中学2024-2025学年高二上学期十一月数学自测题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 2. 已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即得. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：A 3. 过双曲线的右焦点的直线与交于两点，若线段的长度取最小值时，直线恰有两条，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若线段的长度取最小值时，直线恰有两条，则可得直线轴，和直线与轴重合，而从确定，最后求出双曲线的离心率. 【详解】 由过双曲线的右焦点的直线与交于两点， 若两点均在双曲线的右支时，则轴时，线段的长度取最小值，即为通径，此时为， 若两点在双曲线的两支时，则直线与轴重合时，线段的长度取最小值，即为实轴，此时为， 若线段的长度取最小值时，直线恰有两条，则，即， 则双曲线的离心率， 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以， 解得，所以直线的斜率为． 故选：B. 5. 如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【详解】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：. 6. 已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长的最小值，结合已知数量积计算即可得模长. 【详解】， 当且仅当，时取到最小值， 对两边左右平方， 得：， ，， ， ， ， ，可得， . 故选：D. 7. 我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A. 432 B. 864 C. 1728 D. 2592 【答案】C 【解析】 【分析】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可. 【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种； 乙队，利用插空法得种； 按照计数原理可知，一共种. 故选：C 8. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 则，坐标原点到直线的距离为， 由图易知，， 对于A，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C， ， ，故C正确； 对于B，， ，故B正确； 对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ） A. 若的周长为6，则 B. 若当时，的内切圆半径为，则 C. 若存在点，使得，则 D. 若的最大值为2b，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求得，可求判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得的范围判断D. 【详解】对于A,由椭圆，可得， 因为的周长为6，所以，解得， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 当时，由余弦定理可得 ， 则，解得， 所以， 又的内切圆半径为， 所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 所以，故B正确； 对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得，则，故C错误； 对于D，设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b， 故时取最大值，所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大. 11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明； 对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断； 对于C，找到与和所成异面直线夹角，再由余弦定理代入计算，即可判断； 对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可. 【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形； 为直径，为半圆弧上一动点，，为直角三角形； 平面平面，平面平面，平面，， 平面，平面，，为直角三角形； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，平面，，为直角三角形； 因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确； 对于B，过点在平面内作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，为三棱锥的高， 三棱锥的体积 的面积为定值， 当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，， 三棱锥体积的最大值为，故B错误； 取中点，中点，中点， 连接，则，， 所以异面直线与的夹角为或其补角， 且，又， 则，， 则，又， 则， 在中，由余弦定理可得 ， 则异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影， 为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最小值， 以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则 在直角三角形内，，即， ，，，，， ，. 当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大， 此时， ，，三点均为四棱锥的顶点， 平面截四棱锥外接球的截面为的外接圆面， 直角三角形外接圆半径， 截面面积，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和几何性质，结合题意，列出不等式，解出离心率的最大值即可. 【详解】记的左焦点和右焦点分别为，，因为直线过点，所以①， ②，联立①②，解得 ，，故， 解得，则的离心率的最大值为. 故答案为：. 13. 空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 14. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆，直线. （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. （2）若点在直线上运动，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 求点关于直线的对称点，求出直线即为; （2）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式表达， 进而利用二次函数性质可得最小值. 【小问1详解】 因为恰好平分圆的圆周，所以经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得，所以， 所以直线即为直线，且， 所以直线方程为，即； 【小问2详解】 由已知点在直线上，设， 则 ， 所以当时，取得最小值为. 16. 已知椭圆C：离心率是，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或（或） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，即求出的值，即得答案. （2）设直线l：，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，根据三角形面积列出关于参数m的方程，求得m的值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线l的斜率不为0，. 设直线l：，，， 联立，整理得，直线过椭圆焦点，必有， 则，， 故. 因为的面积是，所以，即， 整理得，即，解得， 则直线l的方程为或（或）. 17. 已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点． （1）求双曲线方程； （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程； （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2），，. （3） 【解析】 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）分直线斜率存在于不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，代入计算，即可得到结果； （3）分直线斜率存在于不存在讨论，分别联立直线与双曲线方程以及直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入可得， 当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点， 即直线的方程为，； 当时，， 即，可得，此时直线与双曲线相切， 直线的方程为； 显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足； 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条： ，，. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即， 所以，，此时直线的方程为， 则到的距离为0； 当直线的斜率为0时，则与重合，，， 此时直线的方程为，则到的距离为0； 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为， 设， 直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，则， 所以， 所以， 联立可得， ， 由韦达定理可得，则， 所以，所以， 则 ，， 所以直线的方程为， 即， 所以，即， 故直线过定点， 当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去； 当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去； 当时，的横坐标均为，此时，直线的方程为， 过点； 综上所述，直线过定点. 所以点到直线的距离的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论直线的斜率存在以及不存在，然后得到直线恒过定点，从而解答. 18. 如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设． （1）试用表示； （2）求的长度； （3）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到答案； （2）在（1）的基础上，平方求出，开方得到答案； （3）计算出，结合（2）中所求的，利用异面直线夹角余弦公式得到答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 棱长均为1的四棱柱中，， ， 所以． 【小问3详解】 ， 因为， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 19. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：，所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$