精品解析：山东省临沂市部分县区2024-2025学年高二上学期学科素养水平监测数学试卷

2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把方程化为椭圆标准方程即可得到结果. 【详解】由得椭圆标准方程为， ∴， ∴离心率. 故选：B. 3. 已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.两个向量平行，则它们对应坐标成比例，我们可以根据这个性质来求解的值. 【详解】因为，所以与平行. 对于两个平行向量和，根据向量平行的性质， 它们对应坐标成比例，即. 由，交叉相乘可得，解得. 故选：A. 4. 若圆与圆有3条公切线，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和来求解的值. 【详解】圆，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距. 根据两点间距离公式，圆心与的距离. 又因为，即. 移项可得. 两边平方可得，解得. 故选：A. 5. 空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D 6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 7. 若，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 得，解得或， 即实数的值为或. 故选：C 8. 设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出与的关系，然后通过向量关系求出. 【详解】对于椭圆，可得，. 可求出，所以焦点，. 设，，在中，根据余弦定理. 已知，，则. 又因为点在椭圆上，根据椭圆的定义， 将展开得. 用减去可得： 即则. 代入中，可得. 因为，所以. . 则， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对截距分类讨论，利用截距式及其斜率计算公式即可得出． 【详解】当直线经过原点时，可得直线方程为：，即． 当直线不经过原点时，可设的直线方程为：，把点代入可得：，可得． 综上可得：直线的方程为：或． 故选：BC． 10. 在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（ ） A. 当时，的方程是 B. 当时，以为直径的圆与的公共弦长为 C. 当时，圆的圆心在线段的延长线上 D. 以为直径的圆始终与相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意设，由可得轨迹，当时，可得轨迹的方程，根据圆与圆的位置关系确定相交弦长从而可判断A，B；根据圆心的坐标确定与，坐标关系即可判断C；分别判断与时，圆的端点在圆内还是外即可判断圆与圆的位置，从而判断D. 【详解】设，因为，，则， 整理得点的轨迹为为， 对于A，B，当时，的方程是，故A正确； 此时圆心，半径，又以为直径的圆圆心为，半径为2，圆的方程为， 所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为：， 故公共弦长，故B不正确； 对于C，由于方程为，则此时圆心坐标为， 当时，，则圆的圆心在线段的延长线上，故C正确； 对于D，由于以为直径的圆方程为，圆的圆心为，半径为， 当时，，因为圆的圆心在线段的延长线上， 又， 则，， 故点在圆内，在圆外，即此时以为直径的圆始终与相交； 当时，，的圆心在线段的延长线上， 又，， 则，， 故点在圆外，在圆内，即此时以为直径的圆始终与相交； 综上，以为直径的圆始终与相交，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点是点在坐标平面内的射影，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合空间向量模的坐标表示即可求解. 【详解】因为点是点在坐标平面内的射影， 所以，得， 所以. 故答案为： 13. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系列不等式，求解即可得的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有个点到直线的距离等于， 所以，则，解得。 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为________，异面直线与所成角的余弦值为_______ 【答案】 ①. 2 ②. ##0.2 【解析】 【分析】利用面面垂直得线面垂直，建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用空间向量解决线面角和线线角问题. 【详解】 过点作的垂线，垂足分别为，则. 由四边形，均为等腰梯形得，，. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ∴, 由题意得，平面的法向量为. 设与平面所成角为，则， 由得，，∴. ∵， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：2；. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何综合问题，具体思路如下： （1）过点作的垂线，垂足分别为，由得. （2）由平面平面得平面，. （3）以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用空间向量解决线面角和线线角问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. （1）试用向量，，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解； （2）用，，表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， ， . 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点. （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）设出过圆与圆的交点的圆系方程，得到圆心后代入直线中计算即可得； （2）由题意可得直线所过定点，再借助垂径定理即可得，再求出的圆心关于直线的对称点的坐标即可得解. 【小问1详解】 设经过圆与圆的交点的圆的方程为： ， 即为， 圆心为，代入得，， 所以的方程为； 【小问2详解】 由得， 所以直线经过与的交点， 由，得交点， 所以当时最短， 因为，所以，解得， 即直线的方程为 由（1）得，半径， 设圆心关于直线的对称点， 则，解得， 所以关于对称的圆的方程为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，是与的交点. （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求求解. （2）由（1）中信息，利用空间位置关系的向量证明推理得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，， 以为原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由（1）知，，设，则，， 平面的一个法向量为， 由，得，而平面， 所以存在点，当时，平面. 18. 在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） （1）求的方程； （2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点. 【答案】（1） （2） 设过点的直线为，，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 因为，都在轴上，所以，中点的纵坐标为0， 所以线段的中点为定点. 【解析】 【分析】（1）设，，点的坐标代入圆可得答案； （2）设，，过点的直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出、，再由直线、直线的方程求出、相加可得答案. 【小问1详解】 设，，则， 所以，， 因为点在圆上， 所以， 即的方程为； 【小问2详解】 略 19. 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义，若两点，，满足，称点，在曲线的同侧；，称点，在曲线的两侧. （1）若曲线，判断，两点在曲线的同侧还是两侧； （2）已知曲线，为坐标原点，求点集所构成图形的面积； （3）记到点与到轴的距离之和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点，在曲线两侧，求曲线的方程和实数的取值范围. 【答案】（1），两点在曲线的同侧； （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）根据定义分别求解，再验证，即可判断； （2）由，判断点集的位置，从而得轨迹的面积； （3）设曲线上的动点为，得曲线的方程，分别求解当，时的，利用，求解的范围． 【小问1详解】 因为， ， 所以， 所以，两点在曲线的同侧； 【小问2详解】 因为， 所以，点集为曲线内部， 曲线如图所示 由此可得曲线所围成图形的面积为， 即点集所构成图形的面积为； 【小问3详解】 设曲线上的动点为，则曲线的方程为， 整理得， 所以，当时，， 此时， 所以，当时，， 此时， 要使曲线上总存在两点，在曲线两侧，则 所以， 解得， 所以曲线的方程为，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若圆与圆有3条公切线，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 若，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 2或 D. 2或 8. 设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（ ） A. 当时，的方程是 B. 当时，以为直径的圆与的公共弦长为 C. 当时，圆的圆心在线段的延长线上 D. 以为直径的圆始终与相交 11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点是点在坐标平面内的射影，则________. 13. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是________. 14. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为________，异面直线与所成角的余弦值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. （1）试用向量，，，表示向量； （2）若，，，求的值. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点. （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，是与的交点. （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） （1）求的方程； （2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点. 19. 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义，若两点，，满足，称点，在曲线的同侧；，称点，在曲线的两侧. （1）若曲线，判断，两点在曲线的同侧还是两侧； （2）已知曲线，为坐标原点，求点集所构成图形的面积； （3）记到点与到轴的距离之和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点，在曲线两侧，求曲线的方程和实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $