精品解析：黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

肇中四中2024-2025学年上学期第一次月考高二数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾” C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头” 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确， 对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确， 对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确， 对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确， 故选：A. 2. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 【答案】B 【解析】 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B 3. 以下一些说法，其中正确的有（ ） A. 一年按365天计算，两名学生生日相同的概率是 B. 买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生. 【详解】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误； 对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误； 对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确； 对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误. 故选：C. 4. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 533 224 344 151 254 424 142 435 414 335 132 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A 0.4 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 5. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 7. 已知在四面体中，，，，，为BC中点，若.则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】因为，为BC的中点， 所以， 又，则，，， 所以. 故选：B. 8. 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 二、多选题 9. 已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中四点A，B，C，D共面的充要条件，逐一判断可得选项. 【详解】空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足，且， 对于A，由，得，则空间中四点A，B，C，D不共面； 对于B，由，得，则空间中四点A，B，C，D共面； 对于C，由，得，则向量共面，即四点A，B，C，D共面， 对于D，由，即，得， 则空间中四点A，B，C，D不共面. 故选：AD 10. 给出下列命题，其中正确有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 D. 如果，是两个单位向量，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】对于，因为是空间的一组基底，所以,,为不共线的非零向量，故选项错误; 对于，因为,所以与共线，故,与任何向量都不能构成空间的一个基底，故选项正确; 对于，当为空间的一组基底时，对于空间任一向量，则存在唯一的有序实数组，使得，故选项错误; 对于，若,都是单位向量，则模长都为，故，故选项正确. 故选：. 11. 下列叙述错误的是（ ） A. 用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样 B. 若事件发生的概率为，则 C. 甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些 D. 对于任意两个事件和，都有 【答案】CD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的定义、概率的性质、结合抽签法的性质与并事件的概率性质，逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，用抽签法从件产品中选取件进行质量检验，满足简单随机抽样的定义，故A正确； 对于B，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，故B正确； 对于C，甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故C错误； 对于D，对于任意两个事件和，， 只有当事件和是互斥事件时，才有，故D错误. 故选：CD. 三、填空题 12. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意，所求概率为. 故答案为：. 13. 已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 14. 如图是一个正方体截下的一角，其中，，.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则的重心G的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形重心的坐标公式即可得解. 【详解】由题意知，，. 由重心坐标公式得点G的坐标为. 故答案为：. 四、解答题 15. 张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. （1）求张三被淘汰的概率； （2）求张三第一天获得纪念奖的概率； （3）求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)结合题意，结合独立事件的含义求解即可； （2）结合题意得到相对应的事件，利用全概率公式和独立性求解即可； （3）利用独立性和全概率公式求解即可,.. 【小问1详解】 记张三第一、二、三关闯关成功分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，且.张三被淘汰是指第一天三关都闯关失败. 记事件“张三被淘汰”， 则. 【小问2详解】 张三第一天获得纪念奖即张三第一天只有一关闯关成功，设为事件N， 则， 【小问3详解】 张三第二天获得蓝牙耳机是指第一天有两关闯关成功且第二天三关都闯关成功. 记事件“张三第二天获得蓝牙耳机”，事件“张三第一天有两关闯关成功”，事件“张三第二天三关都闯关成功”， . 所以 16. 如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 17. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： （1）向量，，的坐标； （2），的坐标． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标； （2）利用向量的坐标运算加法和减法即可. 【小问1详解】 由已知， 则，，； 【小问2详解】 ， . 18. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算； （2）根据空间向量夹角公式直接计算即可； （3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以， 当时，取得最小值，则最小值为. 19. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20；（2） 【解析】 【分析】（1）选取的市民年龄在内的频率，即可求出人数； （2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A1，A2，A3从第4组选2人，记为B1，B2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇中四中2024-2025学年上学期第一次月考高二数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾” C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头” 2. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 3. 以下一些说法，其中正确的有（ ） A. 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B. 买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 4. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 533 224 344 151 254 424 142 435 414 335 132 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A 0.4 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.6 5. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 7. 已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 D. 如果，是两个单位向量，则 11. 下列叙述错误是（ ） A. 用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样 B. 若事件发生概率为，则 C. 甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些 D. 对于任意两个事件和，都有 三、填空题 12. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______． 13. 已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，________． 14. 如图是一个正方体截下的一角，其中，，.以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则的重心G的坐标是__________. 四、解答题 15. 张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. （1）求张三被淘汰的概率； （2）求张三第一天获得纪念奖的概率； （3）求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 16. 如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. （1）用，，表示； （2）计算. 17. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： （1）向量，，的坐标； （2），的坐标． 18. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 19. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取市民年龄在内的人数； （2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$