精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期九年级数学学科期中调研试卷 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 3. 用配方法解方程，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y2＞y1 7. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到．若点A的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算___________． 10. 二次函数的顶点坐标为_____． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是__． x … 0 … y … … 13. 如图，在中，，，，则_____． 14. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足____________． 16. 函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 18. 计算：； 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程的一个根是，求方程的另一根； （2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根． 20. 如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=． 求：(1)BC的长； (2)sin∠ADB． 21. 已知二次函数： （1）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围． （2）当二次函数的图象经过点时，确定m的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标． 22. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 23. 顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． （1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额? 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点．直线经过点A，与y轴交于点D． （1）求m的值． （2）平移该抛物线得到一条新抛物线，若新抛物线经过点D，且新抛物线的顶点在直线上，求新抛物线对应的函数表达式． 25. 小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程． 1 2 3 4 5 10 6 （1）建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含的代数式表示），若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式____； （2）列表：根据函数的关系式，得到了与的几组对应值，如表：表中____，____； （3）描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象； （4）解决问题：根据以上信息可得，当_____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米． 26. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标； （3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标； （4）M是平面内一点，将绕点逆时针旋转后，得到，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期九年级数学学科期中调研试卷 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，A选项不符合题意； B. ，当时，不是一元二次方程，B选项不符合题意； C. ，不是整式方程，故C选项不符合题意； D. ，符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 2. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为， A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误； B、对称轴为直线，故此选项错误； C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确； D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 3. 用配方法解方程，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故选：D． 4. 如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键． 5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律是解答此题的关键． 6. 已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y2＞y1 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】把A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）分别代入y＝﹣2（x+2）2得 y1＝﹣2（－4+2）2＝﹣8，y2＝﹣2（－３+2）2＝﹣2，y3＝﹣2（３+2）2＝﹣50， 所以y2＞y1＞y3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数函数值大小的比较，实数的运算等知识，在已知函数关系式及自变量的情况下，关键是计算出函数值． 7. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 8. 如图，中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到．若点A的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，交于点，，根据旋转的性质证明是等边三角形，设，，利用含30度角的直角三角形的性质列出关于，的等式，再利用正切函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图：设，交于点，， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 二次函数的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为．根据二次函数的顶点式的特点求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是__． x … 0 … y … … 【答案】 【解析】 【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为，然后求出关于的对称点坐标，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知：与是关于对称轴对称的， ∴该二次函数的对称轴为， 设二次函数图象上的点为，， 由对称性可知：， ∴， ∴与关于对称， 由表格可知：时，， 令代入， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的特征，解题的关键是求出该二次函数的对称轴． 13. 如图，在中，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可． 【详解】解：在函数中，当时，， 解得（舍去），， 即小强此次成绩为10米， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设关于的一元二次方程的两个根分别为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：由题意，设关于的一元二次方程的两个根分别为， 则，且， 由①得：， 将代入②得：， 则， 故答案为：2． 16. 函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系．先根据直线的性质及方程和函数的关系求出交点的横坐标，现利用函数和不等式的关系求解． 【详解】解：设，两点的横坐标分别为，，作轴，轴，两线相交于点，设函数的图象分别交坐标轴于点， 对于，则点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，是方程的两个根， 即方程的两个根， ∴， 解得，， 观察图象，当时自变量的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）整理后，再利用直接开平方法解答即可求解； （）移项，再利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解 【小问1详解】 解：∵， 整理得， 开方得或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值代入求解即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊三角函数求值，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程的一个根是，求方程的另一根； （2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根． 【答案】（1）另一个根为5； （2） 证明： ， 该方程总有两个实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式， （1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，再解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行证明． 【小问1详解】 解：当时，， ， 则原方程为：，即：， ，， 另一个根为5； 【小问2详解】 略 20. 如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=． 求：(1)BC的长； (2)sin∠ADB． 【答案】（1）BC=18；（2） 【解析】 【分析】（1）过A作AE⊥BC，利用三角函数或者勾股定理求BE,EC,最后求BC. （2）勾股定理求出AD长，利用三角函数定义求解. 【详解】（1）过A作AEBC于E点， ∴∠AEB=90°， ∵∠B=45°， ∵sinB=， ∴AE=AB•sinB==3， ∴BE=AE=3， ∵∠AEC=90°，tanC=， ∴CE=15， ∴BC=BE+CE=18； （2）∵D是BC中点， ∴BD=BC=9， ∴DE=BD-BE=6， ∴AD=， ∴sin∠ADB=． 【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、解直角三角形等，关键是作出辅助线，构造直角三角形． 21. 已知二次函数： （1）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围． （2）当二次函数的图象经过点时，确定m的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）；函数与y轴交于，函数与x轴交于或． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图像与x轴有交点， 可得判别式的取值范围，将系数代入求解即可； （2）将点代入函数表达式即可求出m的值，再分别求出当时y的值以及当时x的值即可． 【小问1详解】 解：∵函数与x轴有交点 ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵图象经过点， ∴，得， ∴， 当时，， 函数与y轴交于， 当时，或， 函数与x轴交于或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及用待定系数法求解函数表达式，熟练掌握根一元二次方程根的情况与二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键． 22. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 23. 顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． （1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额? 【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，根据“顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客获得最大优惠， ， 当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点．直线经过点A，与y轴交于点D． （1）求m的值． （2）平移该抛物线得到一条新抛物线，若新抛物线经过点D，且新抛物线的顶点在直线上，求新抛物线对应的函数表达式． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后代入直线，即可得到m的值．； （2）求出点D的坐标为，设新抛物线对应的函数表达式为：，则新抛物线的顶点为，根据新抛物线经过点D，且新抛物线的顶点在直线上，列出方程组，解方程组得到的值，即可得到新抛物线对应的函数表达式． 【小问1详解】 解：由得，，， ∵点A位于点B的左侧， ∴， ∵直线经过点A， ∴， 解得：， 【小问2详解】 由（1）可知直线解析式为：， 当时，， ∴点D的坐标为， 设新抛物线对应的函数表达式为：， ∴新抛物线的顶点为， ∵新抛物线经过点D，且新抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：或， ∴新抛物线对应的函数表达式为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、一次函数的性质、解方程组等知识，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键． 25. 小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程． 1 2 3 4 5 10 6 （1）建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含的代数式表示），若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式____； （2）列表：根据函数的关系式，得到了与的几组对应值，如表：表中____，____； （3）描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象； （4）解决问题：根据以上信息可得，当_____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米． 【答案】（1）， （2）， （3） 在坐标系中描点和，并用平滑的曲线连接点，如图所示： （4）， 【解析】 【分析】本题考查了描点法画函数图象，根据函数图象获取信息，求函数值，理解题意，掌握描点法画函数图象是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式，求得另一边的长，根据矩形的周长列出函数关系式即可； （2）将和分别代入（1）中函数关系式即可求解； （3）根据（2）中所求、的值描点，并根据描出的点画出该函数的图象即可； （4）结合函数图像，找出图像的最低点即可求解． 【小问1详解】 解：∵用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，小花园的一边长为米， ∴小花园的另一边长为， ∵总篱笆长为米， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，， 当时，， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由图像可知：当时，有最小值为． ∴小强确定篱笆长至少为米． 故答案为：，． 26. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标； （3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标； （4）M是平面内一点，将绕点逆时针旋转后，得到，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据抛物线解析式求得的坐标，进而得出，根据得出则点到轴的距离为，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，求得直线的表达式为，联立并解得 (舍去正值)，即可求解． （4）依题意，轴，轴．当点在抛物线上时，设点的横坐标为，则点的横坐标为．得出点，当点，在抛物线上时，同理可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴； 【小问2详解】 令，得． 解得：． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 过点作轴于点， ∴点到轴的距离为， ∵，则， ∴点； 【小问3详解】 设直线交轴于点， ∵，， ∴， ∴． 则直线的表达式为 联立 解得 (舍去正值)． 故点 【小问4详解】 ∵绕点逆时针旋转， ∴轴，轴． 如图1，当点在抛物线上时， 设点的横坐标为，则点的横坐标为． ∴ 解得，则点 如图2，当点，在抛物线上时， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的纵坐标比点的纵坐标大， ∴ 解得． 则点 ∴点的坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $