精品解析：辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航线，每两个飞机场之间只开通一条航线，等量关系为： 飞机场数 （飞机场数-1）=21，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设这个航空公司共有飞机场 个， 解得 （不合题意，舍去） 所以，这个航空公司共有飞机场7个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，得出飞机航线与飞机场数的等量关系，并能够正确计算是解题的关键． 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 5. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示： 接力中，自己负责的出现错误的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙和丁 D. 甲和丙 【答案】A 【解析】 【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤． 【详解】解：老师—甲： ，故甲错误； 甲－乙：，故乙错误； 乙－丙：，故丙正确； 丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确． A：正确；B：错误；C：错误；D：错误． 故选：A 【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减． 6. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 8. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 9. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，得到，，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转后，得到， ，，， 为等边三角形， ，， 在中， ∵，，， ， 为直角三角形，， ． 故选：A． 10. 如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点、为函数图象上的两点,则，其中正确结论是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点可判断①；根据点A坐标和对称轴可判断②③；根据二次函数图象的开口方向和点B、C离对称轴的远近可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由图象可知，该二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴，故①不正确； ∵对称轴为直线， ∴，则，即，故③不正确； ∵图象过点， ∴， 则，即，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴点B在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧，并且点B离对称轴比点C远， 又∵该函数图象开口向下， ∴，故④正确， 综上，②④正确，①③不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，主要从图象的开口方向、对称性、与x轴的交点以及与解析式的系数关系等方面考虑分析，数形结合思想的运用是解答的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， ∴满足的最小整数2 故答案为：2． 12. 已知，分别是方程的两根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：∵，分别是方程的两根， ∴，， ∴ ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，以及两根之和等于，是解题的关键． 13. 为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；设图中①矩形的宽为米，根据这三块区域面积相等，可得出区域②矩形的宽为米，结合围网长度为米，可以求得，再根据，解得，即可求区域①矩形的长度． 【详解】解：设区域①矩形的宽为米， ∵区域②、区域③的宽相等，长都为区域①长的一半，且三块区域的面积相等， ∴区域②矩形的宽为米， 则区域①矩形的长为； 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ， 故答案为： 14. 如图是拋物线的部分图象，对称轴为直线，与轴的交点，且，则关于的一元二次方程的整数解的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，及二次函数图象的对称性．判断出抛物线与轴的另一个交点的坐标，方程的解是抛物线与轴的交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点，且， ∴另一个交点的坐标为，且， 将抛物线向左平移个单位得，则抛物线与轴的交点在与和与之间， ∴关于的一元二次方程的整数解为，， ∴整数解的和为， 故答案为：． 15. 如图，已知四边形为矩形，的长为4，的长为3，尺规作图过程如下： 第一步：以点C为圆心，的长为半径作弧，与边交于点E，连接； 第二步：分别以点E、C为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交于点G、F、H，若点P在上，且满足，则的面积为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】可证明，在中由勾股定理得，由，可求，而，故，或 ，代入面积公式即可求解． 【详解】解：如图： 由作图得，是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，或 ∴, 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，尺规作图垂直平分线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确求出是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解方程． （1）（配方法）． （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】（1）捐款增长率为 （2）第四天该单位能收到元捐款 【解析】 【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案； （2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案． 【小问1详解】 设捐款增长率为x，根据题意列方程得， ， 解得，（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为. 【小问2详解】 第四天收到捐款为： （元）， 答：第四天该单位能收到元捐款． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 18. 【概念理解】如果关于的一元二次方有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是．则方程是“邻根方程”． 【初步运用】解方程，并判断此方程是否是邻根方程； 【能力提升】关于的方程（是常数）是邻根方程，求的值． 【答案】【初步运用】是；【能力提升】或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解．掌握各类求解方法是解题关键． 【初步运用】先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断； 【能力提升】先利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据“邻根方程”的定义得到或，即可求解． 【详解】解：【初步运用】 解方程得：， ∵3比2大1， ∴方程是“邻根方程”； 【能力提升】 ∵， ∴， ∴ ∵方程（是常数）是邻根方程， ∴或 ∴或 19. 如图，在网格中有一个四边形图案， （1）请你画出此图案绕点按顺时针方向旋转的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； （2）若网格中每个小正方形的边长为，旋转后点的对应点依次为，求四边形的面积； （3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 【答案】（1）画图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理的综合，掌握旋转的性质，勾股定理与图形面积的计算方法是解题的关键． （1）将此图案的各顶点绕点按顺时针方向旋转后找到它们的对应点，顺次连接得到的图案，就是所要求画的图案． （2）观察画出的图形，可发现依次代入求值． （3）这个图案就是我们几何中的勾股定理． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下， 【小问2详解】 解： ， ∴四边形的面积是． 【小问3详解】 解：由图可知： ， 整理得：，即：，即勾股定理． 20. 已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． （2）根据图象回答：当x取何值时，． （3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为， （2）或 （3）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可； （2）根据函数图象即可得到答案； （3）如图所示，连接，由抛物线的对称性可得，则当三点共线时，最小，即最小，最小值为，求出抛物线对称轴为直线，，则，即的最小值为；求出直线解析式为，可得． 【小问1详解】 解：把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标分别为， ∴当时，或； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴的最小值为，此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式中，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是元，经市场预测，销售单价为元时，可售出个；面销售单价每涨元，销售量将减少个，设每个销售单价为元． （1）写出销售量件和获得利润元与销售单价元之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）8640 【解析】 【分析】（1）根据面销售单价每涨元，销售量将减少个，求出销售量件与销售单价元之间的函数关系，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出获得利润元与销售单价元之间的函数关系； （2）根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，利用二次函数求最值解决问题． 【小问1详解】 解：设每个销售单价为元，由题意，得： ； ； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴； ∵， ∴当，随着的增大而增大， ∴时，取最大值，为：； 答：最大利润为元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解． 22. 已知四边形为正方形，点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在线段上时，线段与线段的数量关系和位置关系为 ； （2）如图2，当点E在正方形内部时，（1）中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）若正方形的边长为6，，当D、E、F在同一直线上时，长为 ； （4）如图3，正方形边长为6，点E在内部，延长交对角线于点G，若满足且，则线段的长为 ． 【答案】（1），； （2）成立，证明见详解 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质即可求证； （2）延长交于一点H，交于一点G，证明，根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求证； （3）当点在之间时，过点作于点，可得 为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，即，在中，由勾股定理求得，故；当点在延长线上时，同上可求； （4）过点作交延长线于点，则，先证明，则，，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，故，证明，则，继而． 【小问1详解】 解：如图： ∵ 四边形是正方形， ∴ ∵点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 延长交于一点H，交于一点G， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∵点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在之间时，过点作于点， 由旋转得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，在中， 由勾股定理得：， 解得：，即， 在中，由勾股定理得：， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同上可求， 综上所述：当D、E、F在同一直线上时，长为或， 故答案为：或． 【小问4详解】 解：过点作交延长线于点，则 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决本题的关键． 23. 综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系 （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 【答案】（1）①3；② （2）， （3）①4；② 【解析】 【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【小问1详解】 解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； 【小问3详解】 解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， 故答案为：4； ②由（3）①可得， ∵， ∴， ∴， ∴． . 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 5. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示： 接力中，自己负责的出现错误的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙和丁 D. 甲和丙 6. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点、为函数图象上的两点,则，其中正确结论是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 12. 已知，分别是方程的两根，则的值为______． 13. 为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为______米． 14. 如图是拋物线的部分图象，对称轴为直线，与轴的交点，且，则关于的一元二次方程的整数解的和为______． 15. 如图，已知四边形为矩形，的长为4，的长为3，尺规作图过程如下： 第一步：以点C为圆心，的长为半径作弧，与边交于点E，连接； 第二步：分别以点E、C为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交于点G、F、H，若点P在上，且满足，则的面积为_______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程． （1）（配方法）． （2）（公式法）． 17. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 18. 【概念理解】如果关于的一元二次方有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是．则方程是“邻根方程”． 【初步运用】解方程，并判断此方程是否是邻根方程； 【能力提升】关于的方程（是常数）是邻根方程，求的值． 19. 如图，在网格中有一个四边形图案， （1）请你画出此图案绕点按顺时针方向旋转的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； （2）若网格中每个小正方形的边长为，旋转后点的对应点依次为，求四边形的面积； （3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 20. 已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． （2）根据图象回答：当x取何值时，． （3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是元，经市场预测，销售单价为元时，可售出个；面销售单价每涨元，销售量将减少个，设每个销售单价为元． （1）写出销售量件和获得利润元与销售单价元之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 22. 已知四边形为正方形，点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在线段上时，线段与线段的数量关系和位置关系为 ； （2）如图2，当点E在正方形内部时，（1）中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）若正方形的边长为6，，当D、E、F在同一直线上时，长为 ； （4）如图3，正方形边长为6，点E在内部，延长交对角线于点G，若满足且，则线段的长为 ． 23. 综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系 （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $