精品解析：辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

命学科网命组卷网 辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 (考试时间：120分钟 试卷总分：120分) 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是() 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可。 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意： B、是中心对称图形，故此选项符合题意： C、不是中心对称图形，故此选项符合题意： D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一 个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图 形，这个点就是它的对称中心， 2.下列方程一定是一元二次方程的是() A.x2-y-2=0 c.x2-2x-5 D.x2=4x 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整 式方程叫一元二次方程. 第1页/共34页 命学科网命组卷网 根据一元二次方程的定义逐个判断即可。 【详解】解：A.方程t-y-2= 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 1 =0 B.方程x是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意： c.t-2x-5不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意： D.方程=4是元二次方程，故木选项符合思意. 故选：D, 3.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共 有飞机场() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】D 【解析】 【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航线，每两个飞机场之间只开通一条航线，等量关系为： 2飞机场数×（飞机场数-1）=21，把相关数值代入求解即可. 【详解】解：设这个航空公司共有飞机场x个， 20x-0=21 解得=7,5=-6 (不合题意，舍去) 所以，这个航空公司共有飞机场7个. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，得出飞机航线与飞机场数的等量关系，并能够正确计算是 解题的关键. 4根据下列表格的对应值，判定方程+hx+C=0(a,b,c是常数，且a≠0)的一个解x的范围是 3.23 3.24 3.25 3.26 第2页/共34页 6学科网命组卷网 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 3<x<3.23 3.23<x<3.24 c3.24<x<3.25 3.25<x<3.26 A. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程 在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键。 【详解】解：令y=ar2+bx+c 由表格可得：当=3.24时，y=-02.当=3.25计.y=0.03 时， 即在3.24<x<3.25范围内，y的值由负变正， ∴方程r'+b+c=0 的一个解的范围是 3.24<x<3.25 故选：C 5.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给 的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解.过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 y=-2x2-8x+6 y=x2+4x+4-3 y=(x+2)2-3 顶点坐标 (-2,-3) 接力中，自己负责的出现错误的是() A.甲和乙 B.乙和丙 C.乙和丁 D.甲和丙 【答案】A 【解析】 第3页/共34页 命学科网命组卷网 【分析】将y=-2r2-8x+6 正确进行配方，即可发现错误步骤。 【详解1解：老师-甲：y=-2-8x+6=-2(2+4红-3列，故甲结误： 甲-乙：y=r+4x-3=x2+4x+4-3-4 故乙错误； 乙-丙：y=x+4x-3=x+4x+4-3=(x+2-3,故丙正确， 丙-丁：y=(x+2-3的顶点坐标为-2，-3)，枚丁正确。 A:正确；B:错误；C:错误；D:错误 故选：A 【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式，易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减， 6.现要在一个长为40m,宽为26的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要 64m2 使种植花草的面积为 若设小道的宽度为m,则由题意可列方程为() 40m 26m A.(40-2x)(26-x)=40×26-864 B.(40-2x)(26-x)=864 c(40-x)(26-2x)=864 D.(40-2x)(26-x)+2.x2=864 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽度应为m,则乘剩余部分可合成长为(40-2x)m,宽为(26-)m的矩形，根据矩形 864m1 的面积计算公式，结合种植花草的面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程. 第4页/共34页 6学科网 命组卷网 【详解】解：设小道的宽度应为m,则剩余部分可合成长为(40-2)m,宽为(26-)m的矩形， 依题意得： (40-2x)(26-x)=864 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键。 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=K+ 与二次函数少=ax2+b。 的图象可能为() 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数 与二次函数的图象与性质逐项分析即可. 【详解】解：A、由一次函数图象知，a>0,b>0:由二次函数图象知，a<0,b>0,a的值不同， 不符合题意： B、由一次函数图象知，a<0,b>0;由二次函数图象知，a<0,b>0,a的值相同，且b的值相等， 故符合题意： C、由一次函数图象知，a<0,b<0;由二次函数图象知，a>0,b<0,a的值不同，不符合题意； 第5页/共34页 6学科网 命组卷网 D、由一次函数图象知，a<0,b>0;由二次函数图象知，a>0,b<0,a与b的值都不同，故不符合 题意； 故选：B 8如图，将△MBC 90°，△AB'C 绕点P顺时针旋转得到 ,则点P的坐标是() 0 A(亿，) B.(1,2) c(1,3) D.(1,4) 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心.分别 找到两组对应点A与A,C与C',然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求. 【详解】解：如图， 0 B 由图可知，点P(1,2)】 故选：B 第6页/共34页 6学科网 命组卷网 9.如图所示，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆 时针旋转后，得到△P'AB,则∠APB等于() B A1500 81300 C1450 D1200 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理.先根据等边三角形的性质得 AB=AC∠BAC=60° ∠P'AP=60°P'B=CP=10AP'=AP=6 再根据旋转的性质得 ,则可 判断△APP'为等边三角形，得到∠APP'=60°，PP'=AP=6,接着利用勾股定理的逆定理证明△BPP 为直角三角形，∠P'PB=90°，然后利用∠APB=∠APP'+∠P'PB进行计算即可. 【详解】解：连接PP,如图， B .△ABC 为等边三角形， 第7页/共34页 6学科网列组卷网 .AB=AC∠BAC=60° .△PAC 绕点逆时针旋转后，得到 P'AB .∠PAP=60°P'B=CP=10AP=AP=6 ∴.△APP 为等边三角形， ∴.∠APP'=60°PP'=AP=6 在△BPP中， PB=8,PP=6,PB=10, ..PP2+PB2=P'B2 ∴.△PBP' ∠PPB=90° 为直角三角形， ∴.∠APB=∠APP'+∠PPB=60°+90°=150° 故选：A. 10如图是二次函数y=心+hc+C的部分图象，图象过点A(-3,0）,对称轴为直线x=-1,给出四个结 0之r安tE0:色24b-0:防去司c分)为数用1的内台 则片<片，其中正确结论是() 第8页/共34页 学科网命组卷网 ①④ ②③ c①③ ②④ A. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点可判断①：根据点A坐标和对称轴可判断②③：根据二次函数 图象的开口方向和点B、C离对称轴的远近可判断④，进而可得答案. 【详解】解：由图象可知，该二次函数的图象与x轴有两个交点， 4a ,故①不正确： ,对称轴为直线x=-1, b .2a -1,则b=2a,即2a-b=0,故③不正确： “图象过点A(3,0) .9a-3b+c=0. 则9a-3×2a+c=0,即3a+c=0,故②正确： ·对称轴为直线x=-1, ∴·点B在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧，并且点B离对称轴比点C远， 又，该函数图象开口向下， :片<力，故④正确， 综上，②④正确，①③不正确， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，主要从图象的开口方向、对称性、与x轴的交点以及与解析式 的系数关系等方面考虑分析，数形结合思想的运用是解答的关键。 二、填空题（每题3分，共15分) 1.若关于x的一元二次方程(k-)x-2x+k-3=0 有实数根，则满足k的最小整数为 【答案】2 第9页/共34页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 m2+br+c=0(a≠0），若△=B-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若△=-4ac=0,则方程 有两个相等的实数根，若△=b2-4ac<0 则方程没有实数根， 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可， k-1≠0 【详解】解：由题意得， △=(-2k)2-4(k-1)(k-3)≥0 3 k≥ 解得： 4且k≠1， ∴.满足k的最小整数2 故答案为：2. 12已知“，b分别是方程+2x-5=0的两根，则a+4a+2b的值为 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，利用整体思想，代入求值即可· 【详解】解：：0，b分别是方程术+2x-5=0 的两根， :a+2a-5=0.a+h=-2 :a+2a=5 :a+4a+2b=a+2a+2a+2b=5+2(a+b)=5+2×(-2)=1 故答案为：1. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系.熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的 第10页/供34页 6学科网命组卷网 b 值，以及两根之和等于a,是解题的关键. 13.为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在 水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中区域① 矩形的长a为 米 a米 区域① 区域② 区域③ 岸堤 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；设图中 ①矩形的宽为x米，根据这三块区域面积相等，可得出区域②矩形的宽为2x米，结合围网长度为120米， 15 x= 可以求得a=60-4x,再根据(60-4x)x=225,解得=2，即可求区域0矩形的长度. 【详解】解：设区域①矩形的宽为x米， ,区域②、区域③的宽相等，长都为区域①长的一半，且三块区域的面积相等， ∴.区域②矩形的宽为2x米， =120-2x-3×2x=(60-4x)） 则区域①矩形的长为 2 (60-4x)x=225 根据题意可得： 整理得，4r2-60x+225=0 第11页/共34页 6学科网 命组卷网 15 x1=X2= 解得： 2, 15 ∴.a=60-4x=60-4× 2 =30 故答案为：30 14如图是抛物线y=m+c+3(a≠0)的部分图象，对称轴为直线=1，与x轴的交点m,0),且 3<<4,则关于的一元二次方程+之+bx+ 3 的整数解的和为。 2-102345 【答案】-1 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，及二次函数图象的对称性. 判断出抛物线与‘轴的另一个交点的坐标，方程+r+C= 的解是抛物线与轴的交点的横坐标，据 此即可求解。 【详解】解：抛物线y=m+hx+3的对称轴为直线x=1,与x轴的交点(m,0）,且3<n<4, :另一个交点的坐标为m,0),且2<m<-1, 将的利甲零个年有y=+++引3.期的=++6+引 .,3)2 第12页/供34页 6学科网列组卷网 3575 与x轴的交点在2与2和2与2之间， ∴整数解的和为-3+2=-1， 故答案为：-1. 15.如图，已知四边形ABCD为矩形，BC的长为4，AB的长为3，尺规作图过程如下： 第一步：以点C为圆心，CB的长为半径作弧，与边AD交于点E,连接CE: 1 EC 第二步：分别以点E、C为圆心，大于2的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交AD、EC、BC FP=二EF 于点G、F、H,若点P在EC上，且满足 3 ,则△EPG的面积为一 D B米H 4v787 【答案】7或7 【解析】 【分析】可证明△GEF∽△CED,在Rt△CDE中由匀股定理得DE=V万，由△GEF∽△CED,可 7,雨P= 求GF= 3,放BP=2+28 3 33,或BP=2-24 33,代入面积公式即可求解. 【详解】解：如图： 第13页/供34页 6学科网命组卷网 D B米H 由作图得CE=CB=4,GF是EC的垂直平分线， EF-1CE-2 2 ∠EFG=90° :四边形ABCD是矩形， .∠ADC=90°，CD=AB=3 ∠EFG=∠EDC ∠GEF=∠CED :.△GEF∽△CED 在Rt△CDE中，CE=4,CD=3, 则由勾股定理得DE=V7 :AGEF∽△CED GF EF ∴.CDED, GF 2 .3V7, :GF=6v分 7, 第14页/供34页 6学科网列组卷网 FP=BE 3 3 3. :BP=2+ -8EP=2-2-4 33,或 3-3 :.SAwm -3EPxGF=1x86 2 2377, 或SAn =1EPxGF=1x4x674 Γ2377， 4W78万 故答案为：7或7 【点睛】本题考查了矩形的性质，尺规作图垂直平分线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握 知识点，正确求出GF是解题的关键。 三、解答题（共75分） 16.解方程. （1)r+4x-1=0(配方法). 2)2r+4x-3=0(公式法). 【答案】1)x=-2+V5,为2=-2-V5 而，2-西 (2)考-2+i0 2 【解析】 【分析】(1)利用配方法解方程即可： 第15页/供34页 命学科网命组卷网 (2)利用公式法解方程即可. 【小问1详解】 解：：x2+4x-1=0 :r+4=1 “x2+4x+4=1+4,即(x+2}=5. :x+2=tV5 解得七=-2+V5,x2=-2-V5 【小问2详解】 解：·2x2+4x-3=0 .a=2,b=4,c=-3, :△=b2-4ac=4-4×2x(-3)=40>0 :x=4±2i0 4, 解得戈-2+0 2 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键 17.台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天 收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元. (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】(1)捐款增长率为20% (2)第四天该单位能收到5184元捐款 第16页/供34页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】(1)设捐款增长率为x,根据“第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元，第二天、第 三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案； (2)用第三天收到的捐款乘以（1+20%) 即可得到答案。 【小问1详解】 设捐款增长率为x,根据题意列方程得， 3000×(1+x)2=4320 解得=0.2x=-2.2 (不合题意，舍去)： 答：捐款增长率为20%. 【小问2详解】 第四天收到捐款为： 4320×(1+20%)=5184 (元)， 答：第四天该单位能收到5184元捐款. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键. 18【概念理解】如果关于”的一元二次方ar+r+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个 根大↓，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程+x=0的两个根是无=0，名= 则方程子+北=0是“邻根方程” 【初步运用】解方程-5x+6=0 并判断此方程是否是邻根方程： 【能力提升】关于x的方程t-(m+3)x+3m=0 (m是常数)是邻根方程，求m的值。 【答案】【初步运用】是；【能力提升】m=4或m=2 【解析】 第17页/供34页 命学科网命组卷网 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解.掌握各类求解方法是解题关键. 【初步运用】先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断： 【能力提升】先利用因式分解法解一元二次方程得到=m,5=3 再根据“邻根方程”的定义得到 m=3-1=2m=3+1=4 或 ,即可求解. 【详解】解：【初步运用】 解方程r-5x+6=0得：无=3，名=2 3比2大1， 方程是“邻根方程”： 【能力提升】 x2-(m+3)x+3m=0 :(x-m(x-3)=0 :=m,为=3 :方程-(m+3列x+3m=0(m是常数)是邻根方程， ∴.m=3-1=2或m=3+1=4 .m=4或m=2 19.如图，在网格中有一个四边形图案， 第18页/供34页 6学科网6组卷网 90°，180°，270° (1)请你画出此图案绕点按顺时针方向旋转 的图案，你会得到一个美丽的图案，千万 不要将阴影位置涂错： (2②)若网格中每个小正方形的边长为，旋转后点A的对应点依次为A,4,4,求四边形444的面 积； (3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论 【答案】(1) 根据题意作图如下， B4 B A C(43) (2) B 34 (3) AB2+BC2=AC2 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理的综合，掌握旋转的性质，勾股定理与图形 面积的计算方法是解题的关键。 (1)将此图案的各顶点绕点O按顺时针方向旋转 0°，180°，270° 后找到它们的对应点，顺次连接得到的 第19页/共34页 6学科网命组卷网 图案，就是所要求画的图案。 (2)观察画出的图形，可发现边44=8形福s一454依次代入求值. (3)这个图案就是我们几何中的勾股定理。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形A44=S四边形RB一4S△BMM =(3+5)}-4×5×3×5 =34 ∴四边形 M444的面积是34 【小问3详解】 解：由图可知： (a+d-4x2c+6 c2+a2=b 整理得： ,即：AB+BC2=AC2 即勾股定理， 20.已知抛物线y=-X+bx+C如图所示，它与x轴的一个交点的坐标 A(-1,0 ,与y轴的交点坐标为 C(0,3) (1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标. 第20页/供34页 6学科网命组卷网 (②)根据图象回答：当x取何值时，y<0 (3)在抛物线的对称轴上有一动点P,求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标. 【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3. B(3,0) (2)x<1或x>3 (3)PM+PC的最小值为3V2,此时P(,2) 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可： (2)根据函数图象即可得到答案； (3)如图所示，连接BC,PB,由抛物线的对称性可得PB=PA,则当P、B、C三点共线时， PC+PB PA+PC BC 最小，即 最小，最小值为BC,求出抛物线对称轴为直线x=1,OC=OB=3,则 BC=VOC+OB=3V2,即PA+PC的最小值为3V2;求出直线BC解析式为y=-x+3,可得 P(1,2) 【小问1详解】 -1-b+c=0 解：把A(-1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c中得c=3 b=2 c=3, ·抛物线解析式为少=-x+2x+3 在y=-+2x+3中，当y=-X+2x+3=0时，解得x=-1或x=3, :B(3,0) 第21页/供34页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 解：：抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标分别为10)(3,0) 当少0 时，x<-l或x>3: 【小问3详解】 解：如图所示，连接BC,PB, 由抛物线的对称性可得PB=PA, .PA+PC=PB+PC. 当PB、C三点共线时，PC+PB最小，即PA+PC最小，最小值为BC, :抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)}+4 ∴.抛物线对称轴为直线x=1, .B(3,0),C(0,3) ∴.0C=OB=3, :.BC=V0C2+OB2=3√2 :PM+PC的最小值为3N2 设直线BC解析式为 =+b' 3k+b'=0 .b'=3 , k=-1 .b'=3, ÷直线BC解折式为)=-x+3】 第22页/供34页 6学科网命组卷网 在少-x 3中，当=1时，y=2 :P1,2) :PA+PC的最小值为32，此时P(,2) 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数 B 法求函数解析式中，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。 21.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个 面销售单价每涨1元，销售量将减少10个，设每个销售单价为x元. （4)写出销售量儿件)和获得利润M元）与销售单价元)之间的函数关系： w(-) x() (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销 售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y=-10x+1000.w=-10r2+1300x-30000 (2)8640 【解析】 【分析】（山）根据面销售单价每深'元，销售量将减少10个，求出销售量儿件)与销售单价（元）之间 的函数关系，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出获得利润风元}与销售单价（元）之间的函数关 系 (2)根据题意，列出不等式组，求出x的取值范围，利用二次函数求最值解决问题. 第23页/供34页 学科网命组卷网 【小问1详解】 解：设每个销售单价为x元，由题意，得： y=600-10(x-40)=-10x+1000 w=(x-30)(-10x+1000)=-10x2+1300x-30000 【小问2详解】 x≥44 由题意，得： -10x+1000≥540， .44≤x≤46. w=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)}+12250 :当44≤x≤46，w随着x的增大而增大， ÷x=46时，w取最大值，为：-10(46-65)}+12250=8640， 答：最大利润为8460元. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性 质进行求解 22已知四边形MBCD为正方形，点B为平面内一点(ME<AD), 将线段AE绕点A顺时针方向旋转 90° AF BF、CE、DE 得到线段 ，连接 A B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在线段AD上时，线段DE与线段BF的数量关系和位置关系为 (2)如图2，当点E在正方形内部时，(1)中结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明 第24页/供34页 6学科网命组卷网 理由； (3)若正方形ABCD的边长为6，AE=4,当D、E、F在同一直线上时，DE长为一： (4)如图3，正方形ABCD边长为6，点E在△ACD内部，延长DE交对角线AC于点G,若满足 ∠AEG=45°CE⊥DG GE ,则线段的长为 【答案】(I)DE=BF,DE⊥BF: (2) 解：成立，证明如下： 延长DE交FB于一点H,交AB于一点G, B :四边形ABCD是正方形， :AD=AB,∠BAD=90° :点B为平面内一点(AE<AD), 将线段AE绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AF, .AE=AF,∠FAE=∠BAD=90°， .∠FAB=∠EAD. ,△FAB≌AEAD, .DE=BF,∠ADE=∠ABF, ,∠AGD=∠HGB .180°-∠AGD-∠ADE=180°-∠ABF-∠HGB, .∠GHB=∠BAD=90°， DEL BF 第25页/供34页 学科网命组卷网 (3) 27+22威27-22 g 【解析】 【分析】(1)利用旋转的性质和正方形的性质即可求证： (2)延长DE交FB于一点H,交AB于一点G,证明△FAB≌△EAD,根据全等三角形的性质结合三角 形的内角和定理即可求证： (3)当点E在DF之间时，过点A作AK⊥EF于点K,可得△AKE为等腰直角三角形，设 K=KE=x,在R△AKE中，由勾股定理得：r+r=16,解得：x=25,即KE=2V2,在 Ra4KD巾，由勾股定理求得KD=27,放DE=27-2V2,当点E在DP延长线上，同上可求 DE=2V7+2W2 (④过点A作401DG交DG延长线于点9，则∠=0，先证明△CBD≌△DOA,则DE=10 D0=CE,设A0=y,则QE=DE=2y,在RIAAOD中，由勾股定理得：y+(2y=6,解得： EG_CE=2 y-5,40=号5c=0=2=号5.正用△M0 ACEG.品-2.m EG=20=×5=5 3 35 5 【小问1详解】 解：如图： 第26页/供34页 6学科网组卷网 B :四边形ABCD是正方形， :MD=AB,∠BAD=90 :点B为平面内一点(4B<1D）,将线段1B绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AF, .AE=AF,∠FAE=∠BAD=90° .DE=BF,DE⊥BF: 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在DF之间时，过点A作AK⊥EF于点K, A D AF=AE,∠FAE=90° 由旋转得： :△AFE 为等腰直角三角形， :∠4EF=450 :AK⊥EF, ∴△AKE为等腰直角三角形， 设AK=KE=x,在Rt△AKE中， 由勾股定理得：x+x2=16 第27页/供34页 6学科网命组卷网 解得：x=2V2,即KE=2V2 在Rt△AKD中，由勾股定理得： KD=VAD2-AK2=V6-(22=27 DE=KD-KE=27-22 当点E在DF延长线上时，如图， B C 同上可求DE=DK+KE=2V7+2V2 综上所述：当D、R、F在同-直线上时，DE长为27+25或27-22 故答案为：27+2√5或2V7-22 【小问4详解】 解：过点4作101DG交DG延长线于点9，剥200 D 3 B .∠AEG=45° :a4E0 为等腰直角三角形， :40=E0 第28页/供34页 6学科网列组卷网 ,四边形ABCD是正方形， :DA=DC,∠ADC=90 :22+3=900 CE L DG :∠CED=∠CEG=90°m1+∠3=90 ,则 .∠1=∠2， ∠Q=∠CED=900 :△CED≌△DQA DE=A0 DO=CE 设10=y,则DE=DE=2y 在R△10D中，由勾股定理得：y+(2y=6, 5 解得。 5 A40-g5cE=0-2y-号5 :∠CBG=∠Q=900 40ll CE :△AQG∽△CEG EG_CE-2 :GO AO, 第29页/供34页 6学科网命组卷网 G=0-×5-45 3 35 5 做答案：6 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，相似三 角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决本题的关键。 23.综合与实践 问愿提出：某兴趣小组开展综合实践话动：在Rt△MBC中，∠C=90°，D为4C上一点，CD=V2, 动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以 DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为s,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系 SA 18 O 6 2 :4 图1 图2 (1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t=1时，S= ②S关于t的函数解析式为 (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据 图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长， (3)延伸探究：若存在3个时刻，山，5(<4<马)对应的正方形DPEF的面积均相等。 ①4+6= 第30页/供34页 6学科网列组卷网 ②当5=4时，求正方形DPEF的面积。 【答案】(1)①3，②S=1+2 (2)S=1-81+18(2≤1≤8).AB=6 34 (3)①4：②9 【解析】 【分折】（山）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出DP=5,荥后根据正方形面积公式求解即可：② CP=t 仿照(1)①先求出 进而求出 P2=f+2,则S=DP2=P+2, (2)先由函数图象可得当点P运动到B点时，S=DP=6,由此求出当1=2时，S=6,可设S关于1 的函数解析式为S=(-4+2,利用待定系数法求出S=?-8+18,进而求出当 S=P-81+18=18时，求得t的值即可得答案： (3)①根据慰意可得可知函数S=(1-4+2可以看作是由函数S=P+2向右平移四个单位得到的，设 P(m,小(m,(m>m)是函数S=P+2上的两点，则(m+4,n),(m+4m是函数 S=(《-4+2上的两点，由此可得m+m,=0,m<%<m+4<m+4,则m+m+4=4,根据 题意可以看作5=m6=m+46=m+4,则+6=4@白3)①可得5=5+4，再由 5=4,得到=3，继而得答案 【小问1详解】 第31页/供34页 6学科网 命组卷网 解：：动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动， 当t=1时，点P在BC上，且CP=1, ∠C=90°.CD=2 DP=CP2+CD2=3 :S=Dp2=3 故答案为：3； ②：动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在BC匀速运动， ..CP=t, ∠C=90°CD=V2 :DP2=CP2+CD2=+2 :S=Dp2=P+2 【小问2详解】 解：由图2可知当点P运动到B点时， S=DP2=6 :+2=6 解得t=2, 当t=2时，S=6, 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4.2) 可设S关于t的函数解析式为S=a(-4)}+2 第32页/供34页 命学科网命组卷网 把(2,6)代入S=at-4+2中得：6=a(2-4+2, 解得a=1, ∴S关于t的函数解析式为S=(-4+2=1P-81+18(2≤1≤8) 在S=-8+18中，当S=-8+18=18时，解得=8或=0， .AB=8-2=6; 【小问3详解】 解：①：点P在BC上运动时，S=+2,点P在AB上运动时S=(-4+2, :可知函数S=(-4+2可以看作是由函数S=+2向右平移四个单位得到的， 设P(m,n,(m,n(m>m)是函数S=+2上的两点，则(m+4m),(%+4m川是函数 S=(t-4+2上的两点， :m+m=0,m<m<m,+4<m,+4 :m+%+4=4 :存在3个时刻，，5<6<)对应的正方形DPEF的面积均相等 可以看作=m,6=m+4,5=m,+4 :4+5=4 故答案为：4； ②由(3)①可得5=4+4. :5=4% :44=4+4 第33页/供34页 6学科网 命组卷网 4 3, 8=+2=4 3 +234 9 P B 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解 题意利用数形结合的思想求解是解题的关键， 第34页/共34页 辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 4. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 5. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示： 接力中，自己负责的出现错误的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙和丁 D. 甲和丙 6. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点、为函数图象上的两点,则，其中正确结论是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足的最小整数为____． 12. 已知，分别是方程的两根，则的值为______． 13. 为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为______米． 14. 如图是拋物线的部分图象，对称轴为直线，与轴的交点，且，则关于的一元二次方程的整数解的和为______． 15. 如图，已知四边形为矩形，的长为4，的长为3，尺规作图过程如下： 第一步：以点C为圆心，的长为半径作弧，与边交于点E，连接； 第二步：分别以点E、C为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交于点G、F、H，若点P在上，且满足，则的面积为_______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程． （1）（配方法）． （2）（公式法）． 17. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 18. 【概念理解】如果关于的一元二次方有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是．则方程是“邻根方程”． 【初步运用】解方程，并判断此方程是否是邻根方程； 【能力提升】关于的方程（是常数）是邻根方程，求的值． 19. 如图，在网格中有一个四边形图案， （1）请你画出此图案绕点按顺时针方向旋转的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； （2）若网格中每个小正方形的边长为，旋转后点的对应点依次为，求四边形的面积； （3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 20. 已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． （2）根据图象回答：当x取何值时，． （3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是元，经市场预测，销售单价为元时，可售出个；面销售单价每涨元，销售量将减少个，设每个销售单价为元． （1）写出销售量件和获得利润元与销售单价元之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 22. 已知四边形为正方形，点E为平面内一点，将线段绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在线段上时，线段与线段的数量关系和位置关系为 ； （2）如图2，当点E在正方形内部时，（1）中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）若正方形的边长为6，，当D、E、F在同一直线上时，长为 ； （4）如图3，正方形边长为6，点E在内部，延长交对角线于点G，若满足且，则线段的长为 ． 23. 综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系 （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $