精品解析：上海市青浦区毓秀学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

上海市毓秀学校2024学年第一学期九年级数学期中练习 （完成时间：100分钟 满分：150分） 考生注意：所有试题答案必须用蓝色或黑色圆珠笔或水笔填写在答纸上，试题采用连续编号，所有答案务必按照规定在答题纸上完成，做在试卷上不给分． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 将抛物线 向左平移个单位后得到的抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择． 【详解】原抛物线向左平移1个单位后得： ． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键． 2. 在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定，故该选项不符合题意； B、由，能判定，故该选项符合题意； C、由，不能判定，故该选项不符合题意； D、∵，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：B． 3. 在中，，如果，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图， ， 在中，， ． 故选：D． 4. 如图，四边形的对角线与相交于点，，由此推得的正确结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠AOB与∠DOC是对顶角 ∴∠AOB=∠DOC 又∵， ∴△AOB∽△DOC， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 6. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解． 【详解】解：A、由图像可知：，， ∴，选项错误； B、由对称轴可知：， ∴另一个交点为：， 从图像可得：时，，选项错误； C、由对称轴可知：， ∴，选项错误； D、由B选项证明可得： 当时， ，即，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键． 依据可得，再代入代数式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 已知地图比例尺为，地图上长度为10厘米，则实际距离为______千米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距10厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：10． 9. 点是线段上的一点，如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设AB=1，AP=x，则BP=1-x，代入AP2=BP·AB求出x的值，最后代入即可． 【详解】解：设AB=1，AP=x，则BP=1-x， ∵AP2=BP·AB ∴x2=（1-x）·1，即x2+x-1=0，解得x=或x=（舍） ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键． 10. 沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．画出函数图象，直观判断即可． 【详解】解：抛物线的图象如图所示： 可以看出，在y轴右侧部分上升， 故答案为：上升． 11. 如果二次函数的图象经过原点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握若一点在函数图象上，则此点坐标满足函数图象解析式是解题的关键，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，再排除二次项系数不为的情况． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 在中，，，，那么______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 13. 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m. 【答案】25 【解析】 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1：，∴tan∠A=1： =，∴∠A=30°，∵AB=50m，∴BE=AB=25（m），∴他升高了25m．故答案为25． 点睛：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 14. 如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是 _____． 【答案】6.4## 【解析】 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2， ∴， 解得， ∴． 故答案为：6.4． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式． 15. 如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．先求出的长，然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，负值舍去， 经检验是原方程的解， ∴的长为4． 故答案为：4． 16. 如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理．连接，根据已知条件得到是的中位线，根据三角形中位线的性质得到，，推出，由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 17. 在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 18. 在中，，，将绕着点顺时针旋转，点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．设，证明，推出，，，在中，利用勾股定理列式求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 由旋转的性质得， 在中，，即， 解得或（舍去）， ∴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 20. 在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移前的顶点坐标和与y轴的交点坐标，再确定平移的距离，即可求解． 【小问1详解】 将点和点代入解析式得到： ， ∴， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴该图象的顶点为，与y轴的交点为， 将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为， 则函数图象向上平移了m个单位， ∴平移后顶点M的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移，解题关键是牢记待定系数法的解法步骤和图象的平移规律． 21. 如图，在中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且，. （1）求证：； （2）如果AF＝2，EF＝4，，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例，得到，即可得到； （2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）∵AF＝2，EF＝4，， ∴， ∴，，AE=AF+EF=6， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．解题的关键是利用平行线得出相似三角形及比例，从而进行解题． 22. 图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） （1）当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】（1）13.7分米 （2）分米 【解析】 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【小问1详解】 解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． （1）求证：； （2）延长、交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 即； （2） 证明：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质可求出抛物线的对称轴，再根据且点在轴的负半轴上可求出点A的坐标，再根据，点在轴的正半轴上，可得出点关于直线对称．进一步即可求出点B的坐标． （2）①设相交于点D．先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即可求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式．②过点作，垂足为点．由已知条件得出，，利用A，C的坐标求出的解析式，设直线与直线的交点为点，则． 设，然后分两种情况当点在点上方时和当点在点下方时，利用三角形的面积求出y值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过三点，且点在轴的负半轴上， ∴． 由抛物线表达式可知：对称轴为直线． ∵，点在轴的正半轴上， ∴点关于直线对称． ∴． 【小问2详解】 ①设相交于点D． ∵， ∴， ∴ ∵点C在x轴上，， ∴，轴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，即， ∴． 把代入，可得． ∴抛物线表达式为． ②存在．如图，过点作，垂足为点． ∵， ∴． ∴． ∵，∴． ∵，， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴可求得直线的解析式为． 设直线与直线的交点为点，则． 设， （Ⅰ）当点在点上方时，． ∵， ∴， 即，得． ∴． （Ⅱ）当点在点下方时，． 同理可得． ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，求二次函数解析式，一次函数解析式以及二次函数的性质,相似三角形的判定以及性质等知识点，根据题意画出图像是解题的关键． 25. 如图1，在中，，，，点、分别在边、上，，设为，四边形的面积为． （1）当点与点重合时，求的正弦值； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）是边的中点，联结，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数可得，在中，根据勾股定理可得，，即可求解； （2）过点E作于点F，过点D作于点G，则，可得，从而得到，，进而得到，再由，即可求解； （3）先求出，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合勾股定理以及等腰三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点F，过点D作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由（2）得：， 由勾股定理得：， ∵是边的中点， ∴， 如图，当时， ∴， 解得：， 即；， 如图，当时，过点D作于点F，则，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或0（舍去）， 即； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市毓秀学校2024学年第一学期九年级数学期中练习 （完成时间：100分钟 满分：150分） 考生注意：所有试题答案必须用蓝色或黑色圆珠笔或水笔填写在答纸上，试题采用连续编号，所有答案务必按照规定在答题纸上完成，做在试卷上不给分． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 将抛物线 向左平移个单位后得到的抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，如果，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线与相交于点，，由此推得的正确结论是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_______． 8. 已知地图比例尺为，地图上长度为10厘米，则实际距离为______千米． 9. 点是线段上的一点，如果，那么的值是________． 10. 沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）． 11. 如果二次函数的图象经过原点，那么______． 12. 在中，，，，那么______． 13. 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m. 14. 如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是 _____． 15. 如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于______． 16. 如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于______． 17. 在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 18. 在中，，，将绕着点顺时针旋转，点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，那么的值是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标. 21. 如图，在中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且，. （1）求证：； （2）如果AF＝2，EF＝4，，求的值． 22. 图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） （1）当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． （1）求证：； （2）延长、交于点，求证：． 24. 如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 25. 如图1，在中，，，，点、分别在边、上，，设为，四边形的面积为． （1）当点与点重合时，求的正弦值； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）是边的中点，联结，当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $