3.2.1双曲线及其标准方程知识点练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 题型一：待定系数法求双曲线的标准方程 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 题型二：定义法求双曲线的标准方程 3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 5．代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 6．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 题型三：根据双曲型方程求参数 7．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 9．（多选）方程表示的曲线中，可以是（   ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 10．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ． 题型四：求轨迹方程 11．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 14．过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 题型五：双曲线中焦点三角形问题 15．设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 18．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 19．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 20．已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 . 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 题型六：双曲线中的最值问题 23．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 25．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 26．已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 27．已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为 . 题型七：双曲线在实际生活中的应用 28．如图，已知，两地相距600m，在地听到炮弹爆炸声比在地早1s，且声速为340m/s..以线段的中点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 29．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 30．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 31．地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为 .    32．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1双曲线及其标准方程 题型一：待定系数法求双曲线的标准方程 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解； （2）根据题意可得，， 解方程从而得到双曲线的方程； （3）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入即可得到双曲线的方程. 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 题型二：定义法求双曲线的标准方程 3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程． 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心，，即， 取，连接，是中点， 则，因此， 当两圆内切时，记点为，的中点为D，， ， 所以动点满足，而， 所以点轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A． 4．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 5．代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 【答案】 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 【分析】由， 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 6．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 题型三：根据双曲型方程求参数 7．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 8．若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的特点列不等式可解. 【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得. 故选：D. 9．（多选）方程表示的曲线中，可以是（   ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 【答案】AB 【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程即可判断. 【详解】当，且，即时，方程表示椭圆， 当即时，方程表示双曲线，故AB正确； 要想表示圆，则 无解，故C错误； 直线为一次曲线，故D错误. 故选：AB 10．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，解之即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则，解得. 故答案为： 题型四：求轨迹方程 11．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 12．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，点不在线段（不包括端点）上，对点的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程. 【详解】如下图所示： 设圆、圆的半径分别为、，则，， 设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合， 若点在线段（不包括端点）上运动时，则， 事实上，，此时点不存在； 当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时， 此时，； 当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时， 此时，. 综上，， 所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线， 设该双曲线的标准方程为，焦距为， 则，可得， 因此，两圆公共点的轨迹方程为. 故选：A. 13．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 14．过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】（且） 【分析】设P及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 题型五：双曲线中焦点三角形问题 15．设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由点在曲线上及，列出等式求解即可. 【详解】由题意可得：，设， 由题意可得：且， 两方程联立解得：， 所以. 故选：C 16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 18．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合椭圆与双曲线的定义可得，然后由向量的运算求解即可. 【详解】由椭圆的定义得, ∴，即①， 由双曲线的定义得, ∴，即②， 由①②解得， 又由题意知，，可得， ∴，而， ∴，则， 又∵为的中点， ∴. 故选：D. 19．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 20．已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可得，，进而可得. 【详解】 由双曲线的定义可得①，②， 两式相加得，即， 所以，故的周长为. 故答案为： 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【答案】a 【分析】利用圆的切线的性质及双曲线的定义即得. 【详解】由题知， 设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线定义有，得， 由圆的切线长定理知，，即 ， 即， 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x， 所以， 故答案为： 22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 【答案】 【分析】分析可知点为的重心，为线段的中点，可得出，由双曲线的定义以及的周长可得出关于、的方程组，解出这两个量，可求出，进而可求得的值. 【详解】由题意可知，点为的重心， 又因为、、三点共线，所以，为线段的中点， 所以，，即，且， 由双曲线的定义可得，所以，，所以①， 将代入双曲线的方程可得，可得， 不妨设点在第一象限，则，② 结合①②可得，，， 在中，. 故答案为：. 题型六：双曲线中的最值问题 23．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 24．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 25．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 26．已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义得到，进而根据，即可求解 【详解】设双曲线的右焦点为， 由可知，，则， 因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知： ， 所以， 因为， 当且仅当，，三点共线时，达到最小值， 因为，，所以， 即的最小值为． 故选：C． 27．已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，求出的运动轨迹，结合表示的几何意义求解. 【详解】 因为，， 所以，即， 即， 所以的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 因为动点在双曲线的右支上， 所以，即， 因为， 最小值几何意义为点到圆上点与到距离和的最小值， 又因为， 所以表示为最小， 即最小， 所以当三点共线时符合题意， 即， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题重点在于几何意义的理解，转化为点共线时最小. 题型七：双曲线在实际生活中的应用 28．如图，已知，两地相距600m，在地听到炮弹爆炸声比在地早1s，且声速为340m/s..以线段的中点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设炮弹爆炸点，可得，利用双曲线的定义即得. 【详解】设炮弹爆炸点的坐标为，则， 所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为340的双曲线的左支. 因为，所以，又， 所以，， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为. 故选：B. 29．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可. 【详解】由，，则，， 设，，则，， 由双曲线定义得，， ，解得， 所以，， 在直角三角形中，， 则，即，又， ，解得. 故答案为：3. ， 30．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 【答案】125 【分析】依题意可知曲线PQ的方程为，根据双曲线的第二定义可得当与双曲线的准线垂直时，总费用最小. 【详解】根据题意以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，易知点在以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支上； 易知，可得，所以， 所以曲线PQ的方程为， 显然曲线PQ对应的准线方程为，双曲线的离心率为； 设点到准线的距离为，由双曲线的第二定义可得，即； 总费用表达式为， 又易知，因此到准线距离为， 因此， 当且仅当与双曲线的准线垂直时，总费用最小为125万元. 故答案为：125 31．地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设震源坐标为，得到，结合双曲线的定义，即可求得其方程. 【详解】以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设震源坐标为，则， 因为，可得， 所以点为双曲线的左支，可设方程为， 则，所以，可得， 所以震源的轨迹方程为. 故答案为：.    32．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【答案】(1)的长度最短，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案； （2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$