课后分层练(三十二)　双曲线及其标准方程的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十二)]　双曲线及其标准方程的应用 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，△PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值为，则a与b的关系为(　　 ) A．b＝a B．b＝a C．b＝a D．b＝2a 解析：选C．F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，不妨设点P在第一象限，由 △PF1F2是等腰三角形，可得|PF2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，又该三角形底角的余弦值为，则有＝，即c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴ b＝a. 2．(易错题)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A的运动轨迹方程是(　　 ) A．－＝1 B．－＝1(x>3) C．－＝1 D．－＝1(x>3) 解析：选B．以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(－5，0)，C(5，0).因为|AB|－|AC|＝c－b＝6<10，所以点A的轨迹是双曲线的右支，其轨迹方程为－＝1(x>3). 3．(2025·海南期末模拟)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，且|PF1|＝1＋，则△PF1F2的面积为(　　 ) A．－1 B．6 C．3 D．＋1 解析：选C．点P在双曲线右支上，a＝1，b＝，c＝2，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝1＋，两式联立得|PF2|＝－1.又|F1F2|＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，即△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝3. 4．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　 ) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选A．因为·＝0，所以⊥，即MF1⊥MF2，所以|MF1|2＋|MF2|2＝40， 则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36， 故||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.又c＝，所以b2＝c2－a2＝1，则该双曲线的方程是－y2＝1. 5．已知定点A(3，1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　 ) A． B．5＋4 C．5－4 D．＋4 解析：选C．设F1是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4， 结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值， 所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4. 6．已知点P在曲线C1：－＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　 ) A．6 B．8 C．10 D．12 解析：选C．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，且|PF1|－|PF2|＝8， 而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心， 且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1， 所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10. 7．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km. 解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)， |DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知轨迹为双曲线的右支． 故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故轨迹方程为x2－＝1(x≥1). 根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2， 当且仅当A，M，C三点共线时等号成立． 答案：x2－＝1(x≥1)　2－2 8．在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A，B. 设△ABC的外接圆半径为R， 由正弦定理得sin ∠CAB＝，sin ∠CBA＝，sin C＝. ∵2sin ∠CAB＋sin C＝2sin ∠CBA， ∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，∴|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|， 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支． ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6， ∴顶点C的轨迹方程为－＝1. 9．已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l：x＝的距离之比为2. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)直线l的方程为x＋y－2＝0，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则由题意得＝2， 化简得x2－＝1，即为点P的轨迹C的方程． (2)将y＝－x＋2代入x2－＝1中，并化简得2x2＋4x－7＝0， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由韦达定理可得x1＋x2＝－2，x1x2＝－， 故|AB|＝＝6. 【综合运用】 10．(五育并举)如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　 ) A．2π B．3π C．2π D．4π 解析：选C．由题意可设M(，2m)，N(m>0)，代入双曲线方程可得即 作差可得＝，解得a＝， 所以杯身最细处的周长为2π. 11．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选C．设F1(－5，0)，F2(5，0)，P(8，y0)在第一象限，－＝1⇒y0＝3， |PF2|＝＝6， |PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，cos ∠F1PF2＝＝. 12．过椭圆＋＝1(m>9)右焦点F的圆与圆O: x2＋y2＝4外切，该圆直径FQ的端点Q的轨迹记为曲线C．若P为曲线C上的一动点，则|FP|长度最小值为(　　 ) A．0 B． C．1 D．2 解析：选C．椭圆＋＝1(m>9)，c＝＝3，所以F(3，0). 设以FQ为直径的圆圆心为O1，如图所示， 因为圆O与圆O1外切，所以|OO1|－|O1F|＝2， 因为|QF1|＝2|OO1|，|QF|＝2|O1F|， 所以|QF1|－|QF|＝2(|OO1|－|O1F|)＝4<|F1F|， 所以Q的轨迹为以F1，F为焦点，2a＝4的双曲线的右支． 即a＝2，c＝3，b＝＝，曲线C：－＝1(x≥2). 又P为曲线C上的一动点，则|FP|长度的最小值为c－a＝1. 13．(信息科技)某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线C：－＝1的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为F(10，0)，Q(30，9).为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为________．(填写坐标即可) 解析：如图，设E(－10，0)，F(10，0)分别为双曲线C的左、右焦点，连接EQ，与双曲线C的右支交于点P，则点P即为港口所在位置． 由双曲线的定义可得，|PE|－|PF|＝2a＝16，即|PF|＝|PE|－16，则|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PE|－16≥|EQ|－16，当且仅当Q，P，E三点共线时，|PQ|＋|PE|取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小，又E(－10，0)，Q(30，9)，则直线EQ的方程为y＝x＋，联立化简可得91x2－180x－7 300＝0，解得x＝10或x＝－(舍)，将x＝10代入直线方程y＝x＋可得y＝，故点P的坐标为. 答案： 14．设声速是a m/s，在相距10a m的A，B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6 s，已知声强与距离的平方成反比．试建立适当的坐标系． (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标． 解：(1)以A，B所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A(－5a，0)，B(5a，0)，则点P满足||PA|－|PB||＝6a<|AB|， 故点P在以A，B为焦点的双曲线上，设其方程为－＝1， 则2m＝6a，m2＋n2＝25a2，解得m2＝9a2，n2＝16a2， 故点P所在曲线的方程为－＝1. (2)根据题意可得：9|PB|2＝|PA|2，即|PA|＝3|PB|， 又|PA|－|PB|＝6a ，故可得|PB|＝3a，设点P坐标为(x，y)， 由点P在双曲线上，故可得－＝1，则y2＝x2－16a2， 由|PB|＝3a，故可得(x－5a)2＋y2＝9a2，即(x－5a)2＋x2－16a2＝9a2， 整理得5x2－18ax＝0，解得x＝0(舍)或x＝ ，此时y2＝，y＝±a， 故点P的坐标为(a，±a). 【创新探索】 15．在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3.假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注：v0为信号传播速度)，C处舰艇保持静默． (1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？ 解：(1)如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设敌舰艇的位置为P(x，y), 由题意可知|PB|－|PA|＝v0·＝4<6＝|AB|. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝. 所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1(x≤－2). (2)设方程－＝1(x≤－2)上一点M(x0, y0)， 由题意知－＝1(x0≤－2)， 即x＝4＋y， 又C(0，3)，所以|MC|＝＝＝＝(y0∈R)， 所以当y0＝时，|MC|min＝2，即无人机飞行的距离最小是2. 学科网（北京）股份有限公司 $