精品解析：广西壮族自治区贵港市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

2025届上学期高三11月月考 数学试题 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：浔高高三数学各课组 审题人：浔高高三数学各课组 注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（ ） A. 中位数为 B. 众数为 C. 百分位数为3 D. 平均数为 4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线 ，交 轴于点，则直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 6. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附： 的值取3，） A. B. C. D. 7. 在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（ ）． A. B. C. 6 D. 9 8. 若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个命题，其中不正确命题为（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象 B. 若，则当时，的值域为 C. 若在区间上恰有个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则 11. 双曲线，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点，与其两条渐近线分别交于，两点，则下列命题正确的是（ ） A. 不存在直线，使得 B. 在运动的过程中，始终有 C. 若直线的方程为 ，存在，使得取到最大值 D. 若直线的方程为，，则双曲线的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有______种. 13. 已知数列满足，且，该数列的前项和为，则______. 14. 已知函数则函数的零点个数是___________. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为 ，求实数的值 （2）若 ，求函数在区间上的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形， ，且分别为 的中点. （1）试判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）若四棱锥的体积为，求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 19. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届上学期高三11月月考 数学试题 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：浔高高三数学各课组 审题人：浔高高三数学各课组 注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再由复数的除法运算可得答案. 【详解】∵复数z在复平面内对应的点为， ∴ ，， . 故选：B． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由绝对值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】解：由题意，集合，或， 所以， 故选：B. 3. 已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（ ） A. 中位数为 B. 众数为 C. 百分位数为3 D. 平均数为 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据的样本的数字特征值的概念分别判断各选项. 【详解】将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共个数， 中位数为，A选项错误， 出现最多的是和，均出现次，故众数为2和3，B选项错误， ，故分位数为 ，C选项正确， 平均数为，D选项错误； 故选：C. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线 ，交轴于点，则直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得 的斜率为，直线方程可求. 【详解】设直线与轴交于点，连接， 因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为， 则，因为是等边三角形，的中点为， 则轴，所以准线为，为矩形，则， 故是边长为4的等边三角形， 易知，则. 因为 ，所以直线 的斜率为, 直线 的方程为. 故选：B 5. 设，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若， 且，则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A，B；由基本不等式可判断C；由在上单调递增可判断D. 【详解】对于A，若，则 ，则，正确； 对于B，若，则，则，不正确； 对于C，若，则，正确； 对于D，因为函数在上单调递增， ，，正确. 故选：B. 6. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：的值取3，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中 ）， 则，，， 所以， 故圆台部分的侧面积为， 圆柱部分的侧面积为， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为. 故选：B. 7. 在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（ ）． A. B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值. 【详解】由题意可得：，， ∵，① ，② ①－②得：，即， ∴． 故选：A． 8. 若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易知，原式可变形为，结合隐零点的解题思路，求出，由可得，结合函数的单调性解得 ，即可求出a的取值范围即可. 【详解】由题意知，，由 ，得. 原式可化为， 设，则， 又函数在 上单调递增，所以函数在 上单调递增， 则当时，，当时，， 故存在 使得，即，得，即， 且当时，；当时，， 所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以， 即，设， 由函数在 在单调递减， 知函数 在 在单调递减，且，所以 ， 所以，故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需 恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个命题，其中不正确命题为（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是函数为奇函数的充要条件 D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，根据单调性验证充分性和必要性；对于B项，取特值验证必要性不成立；对于C项，充分性考察幂函数的奇偶性，必要性求出和对应系数相等；对于D项，必要性根据幂函数的单调性验证. 【详解】对于A 项，设函数，因为在上单调递增， 则， 因为在上单调递增，当 时，即，所以充分性成立； 若，即，又因为在上单调递增，所以 ，必要性成立； 所以“ ”是“”的充要条件，A不正确． 对于B项，取满足，但是不满足， 则“”不是“”的必要条件，B不正确． 对于C 项，时，的定义域为关于原点对称， 又因为， 所以是定义在奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则 并且，又因为，则，所以必要性成立. 故是函数为奇函数的充要条件，所以C正确. 对于D项，因为函数在上单调递增，所以，故必要性成立，所以D项不正确. 故选：ABD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象 B. 若，则当时，的值域为 C. 若在区间上恰有个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． 【详解】 ， 当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到： ，故A正确； 当时，，当时，， 故，则的值域为，故B错误； 令， ，则， ， 又， 若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误； 若 在区间上单调递增， 则，又，所以，解得， 又，所以， 由可得， 要使 在区间上单调递增，则，解得，故D正确． 故选：AD． 11. 双曲线，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点，与其两条渐近线分别交于，两点，则下列命题正确的是（ ） A. 不存在直线，使得 B. 在运动的过程中，始终有 C. 若直线的方程为 ，存在，使得取到最大值 D. 若直线的方程为，，则双曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线与直线的位置关系可判断A选项，联立直线与双曲线，直线与直线，结合韦达定理可得线段与线段 的中点重合，即可判断B选项，易知，即可得知无最大值，判断C选项，根据，可得，即可得离心率. 【详解】A选项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，A选项正确； B选项：设直线，与双曲线联立， 得：， 设，，由根与系数关系得：，， 所以线段中点即， 将直线与渐近线联立得点， 将直线与渐近线联立得点， 所以线段 中点， 所以线段与线段 的中点重合，所以，故B选项正确； C选项：由B选项可得， 则， 因为为定值，当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷， 所以会趋向于无穷，无最大值，故C选项错误； D选项：联立直线与渐近线，解得， 联立直线与渐近线，解得， 由题可知，，所以，即， 所以，解得 ， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有______种. 【答案】192 【解析】 【分析】先考虑最后位置必为宣传广告，再考虑4个商业广告的顺序，最后另一宣传广告插入4个商业广告之间，即可求解. 【详解】先考虑最后位置必为宣传广告，有 种， 再考虑4个商业广告的顺序，有种， 另一宣传广告插入4个商业广告之间，有种， 故共有种. 故答案为：192. 13. 已知数列满足，且，该数列的前项和为，则______. 【答案】4049 【解析】 【分析】由题意写出求和的式子，利用分组求和与等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】 . 故答案为：4049. 14. 已知函数则函数的零点个数是___________. 【答案】5 【解析】 【分析】令， ，则，分别作出和直线，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数． 【详解】解：令， ， 则， 分别作出和直线， 由图象可得有两个交点，横坐标设为，， 则 ，， 即有 有2根； 时，有3个不等实根， 综上可得 的实根个数为5， 即函数的零点个数是5． 故答案为：5． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据同角三角函数关系式可得解； （2）根据余弦定理及三角形面积列方程，解方程可得 ，即可得周长. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可知可转化为， 即， 即，， 由在中，， 则； 【小问2详解】 在中， 由， 即， 又直线为的平分线， 则， 所以， 即， 又由余弦定理可得，即， 可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为 ，求实数的值 （2）若 ，求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值； （2）求导，构造函数，再根据确定的最值，进而可得的单调性，即可得最值. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为曲线在点处的切线方程为 ， 切线的斜率为 ， 所以，得，解得： ； 【小问2详解】 当 时，令，， 所以在恒成立， 即单调递增， 又，， 所以至少存在唯一的实数，使得， 当时，， ，函数单调递减； 当时，， ，函数单调递增， 又 ，， 又函数，， 当 时，，函数单调递增， 所以当 时，， 所以， 所以， 所以. 【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 17. 如图，在四棱锥 中，底面，若四边形为菱形， ，且分别为 的中点. （1）试判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）若四棱锥 的体积为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）直线与不垂直， 证明如下： 假设，连接，连接 ，由分别为 的中点，得， 由平面，得 平面，而平面，则 ， 又 ， 平面 ，于是平面 ，又平面 ， 则 ，由四边形是菱形，得，因此 ，与 矛盾， 所以直线与不垂直. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用反证法，结合线面垂直的性质、判定及菱形的性质导出矛盾即可得证. （2）利用给定的体积求出，进而求出 ，再利用几何法结合余弦定理求解即得. 【小问1详解】 直线与不垂直，证明略； 【小问2详解】 菱形中， ，则， 菱形的面积，而平面， 于是四棱锥 的体积为，解得 ， 由 平面，得 ， ， ， 由，得 或其补角即为异面直线与所成的角， 在中，，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）存在，2条； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程； （2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案. （3）设切线方程为 ，切线方程为，且 ，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理及椭圆有界性求范围. 【小问1详解】 由题意，，得，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知：，显然直线不与轴重合， 设直线为，， 联立，得，显然 ， 所以，， 则， 圆半径为1，则，故， 所以（负值舍），即满足条件的直线有2条； 【小问3详解】 设切线方程为 ，切线方程为，且 ， 圆与相切，则，化简得， 同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又 在椭圆上，故，则， 由存在，则，即， 所以. 19. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 【答案】（1）； （2）2； （3）13. 【解析】 【分析】（1）根据子集的定义， 即可容易求得； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得 与矛盾即可； （3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【小问1详解】 当时，，的所有子集为. 【小问2详解】 当时，取，因为，所以是的子集，此时； 若，设且， 根据题意，，其中； 因为，所以，所以； 又因为，所以； 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以 ，与矛盾. 综上所述，. 【小问3详解】 设 ， 设的元素个数为， 若不是的子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素； 令，易验证不是的子集， 当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集， 所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则； 当时，存在，使得中必有两个元素属于， 同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂， 所以是的子集； 所以，的最小值为 . 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $