精品解析：河南省郑州市中牟县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年上期期中考试 高二年级数学试题卷 注意事项： 1.试题卷共4页，四大题19小题，满分150分，作答时间120分钟. 2答题前，先将自己的姓名､班级､考场号､坐位､准考正号正确填写在答题卡上.再将条形码貼在答题卡的“贴条形码区”. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黒；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.作答填空题和解答题时，用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知倾斜角为，等价于斜率为1，结合选项分析判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，等价于斜率为1， 对于A：斜率为，不合题意； 对于B：斜率为1，符合题意； 对于C：斜率不存在，不合题意； 对于D：斜率为0，不合题意； 故选：B. 2. 向量，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直关系的坐标表示列式计算即得. 【详解】向量，由，得， 所以. 故选：D 3. 直线与椭圆的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知直线和均过，结合图象即可判断. 【详解】直线和均过， 结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个. 故选：C. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行问题判断即可. 【详解】当时，直线为，直线为，两直线重合； 当直线与直线平行时，， 解得或，而时，两直线重合， 当时，直线为，直线为，两直线平行， 因此直线与直线平行时，，则， 所以“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 若直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，可得为等边三角形，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 可知，即为等边三角形，所以. 故选：B. 6. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 7. 在中，，则点到直线的距离为( ). A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由坐标运算求出，，进而求出在方向上的投影，然后即可求出点到直线的距离. 【详解】由题意可知因为，，所以，， 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 8. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，由，根据余弦定理可得，再由离心率公式求解即可. 【详解】由题可知， 所以，解得， 因为，即， 整理得，所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若向量满足，则 B. 若是空间的一组基底，且，则四点共面 C. 若向量满足，则 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】BD 【解析】 【分析】举例判断AC，利用共面向量基本定理的推论判断B，利用空间向量基本定理判断D. 【详解】对于A，正方体共点的两条棱对应的向量，它们的模相等，而这两个向量不共线，A错误； 对于B，向量不共面，由， 得，即， 则向量共面，又它们有公共点，因此四点共面，B正确； 对于C，正方体共点的三条棱对应的向量，其中一个向量都垂直于另两个向量， 而另两个向量不共线，C错误； 对于D，若向量共面，则存在实数对使得， 而向量，则，此方程组无解， 即向量不共面，D正确. 故选：BD 10. 已知圆与圆，则下列结论正确的是（ ） A. 两圆相切 B. 两圆的公共弦所在的直线方程为 C. 两圆的公切线有两条 D. 两圆的公共弦长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系，进而判断两圆相切是否正确；通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程；根据两圆位置关系判断公切线的条数；再利用弦长公式计算公共弦长. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，圆心距. ，，而，所以两圆相交，故A选项错误. 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即，化简得，故B选项正确. 因为两圆相交，所以公切线有两条，故C选项正确. 先求圆心到公共弦的距离， . 根据弦长公式，则弦长，故D选项错误. 故选：BC. 11. 如图，造型为“”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线C上，则下列结论正确的是（ ） A. B. PO C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断. 【详解】依题意，，即， 由曲线过原点，得， 对于A，， 当且仅当时取等号，解得，即，A正确； 对于B，，即， 解得，因此，B正确； 对于C，令，由，得， 则， 当且仅当时，有最大值1，，C正确； 对于D，，当且仅当，即时取等号， 因此在中，，其周长，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解题关键在于数形结合思想的运用，既要化简曲线方程，又要结合图形，关注图形经过的定点，区域范围，以及对称性等特点，常运用基本不等式或函数的最值求解范围、最值问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的焦距为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为标准形式，进而可得，即可得焦距. 【详解】因为，即， 可知，则， 所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 13. 已知空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，若三根绳子上的拉力大小都为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积求出三根绳子上拉力的合力大小即得答案. 【详解】设三根绳子上的拉力分别为，则，， ，令物体的重力为，则， 因此， 所以该物体的重量. 故答案为： 14. 已知，动点满足，则点的轨迹方程为__________.若动点的轨迹上有且只有两个点到直线的距离等于1，试写出符合条件的实数的一个值为__________. 【答案】 ①. ②. 3（答案不唯一，或） 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案；求出圆心到直线距离，再由已知列出不等式求出的范围即可. 【详解】设点，由，得，化简题得， 所以点的轨迹方程为； 点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 圆心到直线的距离， 由点的轨迹上有且只有两个点到直线的距离等于1，得， 解得，即，解得或，取. 故答案为：；3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）若，求的值； （2）求. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【小问1详解】 由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， 又因为， 所以. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，再联立已知直线方程求出圆心坐标，然后根据圆心与点或的距离求出半径. （2）先设出直线方程的点斜式，然后根据圆心到直线的距离等于半径来求解斜率. 【小问1详解】 首先求线段的斜率,则垂直平分线的斜率为. 中点坐标为. 根据点斜式可得垂直平分线方程为，即. 联立 将代入得，即. 把代入得，所以圆心. 半径. 则圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，等于半径，所以是圆的切线. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得. 即.两边平方解得. 此时直线的方程为，即. 综上所得，直线的方程为或. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，且为等边三角形，且. （1）求证：； （2）请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值. ①四棱锥的体积为2； ②向量与所成角的余弦值为. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 由题意可知：， 可知为等边三角形，且， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可得，结合线面垂直关系证明； （2）根据面面垂直的性质可知点在底面内的投影.若选①：求得，可知点与点重合，建系，利用空间向量求二面角；若选②：可知，求得，可知点与点重合，建系，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面，且平面， 可得平面平面，且平面平面， 由面面垂直的性质可知：点在底面内的投影. 若选①：四棱锥的体积，解得， 注意到是边长为2的等边三角形，则，可知点与点重合， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 设，则，可得， 由题意可知：平面的法向量， 则， 由题意可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为； 若选②：因为，可知向量与所成角即为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 又因为，则， 可得，可知点与点重合， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 设，则，可得， 由题意可知：平面的法向量， 则， 由题意可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍. （1）求椭圆C的方程； （2）若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，,. 因为，在椭圆上，代入可得，. 已知，则，，. 把代入得，其值不为， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，，. 联立直线与椭圆方程，得. 展开可得， 整理得. 根据韦达定理，，. 因为，所以，，. 即，. 展开得. 将，代入上式并化简可得. 即，解得或. 当时，直线的方程为， 经过原点. 当时，直线的方程为，所以直线恒过定点，不合题意. 综上所得，直线恒过定点原点. 【解析】 【分析】（1）根据短轴长求出，再结合的最值关系求出和，从而得到椭圆方程； （2）设出直线方程和交点坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理和斜率公式求出直线所过定点. 【小问1详解】 已知短轴长为，根据椭圆的性质，. 设椭圆的半焦距为，已知的最大值是最小值的倍，即. 展开可得，即. 又因为，把代入可得. 即，解得，那么. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）.如图，将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后在新图形中对应点记为. （1）当时， ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为15？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①证明：依题意，椭圆的半焦距，则，椭圆的方程为， 直线，由消去得，解得或， 而点在轴上方，则，， 折叠后有，而二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，所以平面. ②； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）①求出椭圆方程及直线的方程，联立求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用面面垂直的性质推理得证；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. （2）设折叠前，表示折叠后点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合建立关系，求出，即得的值. 【小问1详解】 ①略 ②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 假定存在符合条件的，设折叠前，折叠后， 设直线方程为，由消去得， 则， 折叠前，折叠后， 由，，则， 即， 分子有理化得， 即， 解得，则， 即，， 整理得，解得，由，得 所以存在，使得折叠后的周长为15，. 【点睛】 思路点睛：在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期期中考试 高二年级数学试题卷 注意事项： 1.试题卷共4页，四大题19小题，满分150分，作答时间120分钟. 2答题前，先将自己的姓名､班级､考场号､坐位､准考正号正确填写在答题卡上.再将条形码貼在答题卡的“贴条形码区”. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黒；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.作答填空题和解答题时，用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 2. 向量，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3. 直线与椭圆的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 7. 在中，，则点到直线的距离为( ). A. B. C. 1 D. 8. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若向量满足，则 B. 若是空间的一组基底，且，则四点共面 C. 若向量满足，则 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 已知圆与圆，则下列结论正确的是（ ） A. 两圆相切 B. 两圆的公共弦所在的直线方程为 C. 两圆的公切线有两条 D. 两圆的公共弦长为 11. 如图，造型为“”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线C上，则下列结论正确的是（ ） A. B. PO C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为6 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的焦距为__________. 13. 已知空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，若三根绳子上的拉力大小都为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重量为______. 14. 已知，动点满足，则点的轨迹方程为__________.若动点的轨迹上有且只有两个点到直线的距离等于1，试写出符合条件的实数的一个值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）若，求的值； （2）求. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，且为等边三角形，且. （1）求证：； （2）请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值. ①四棱锥的体积为2； ②向量与所成角的余弦值为. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍. （1）求椭圆C的方程； （2）若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 19. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）.如图，将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后在新图形中对应点记为. （1）当时， ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为15？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $