第三章勾股定理单元复习讲义2024-2025学年鲁教版(五四制)数学七年级上册

勾股定理 复习小结 1、 知识结构图 ( 定理： ) ( 直角三角形的性质:勾股定理 ) ( 勾股定理 ) ( 应用:主要用于计算 ) ( 直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足 则它是一个直角三角形. ) 二、本章相关知识 1. 勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 。 A 直角三角形 a2+b2=c2 (数) （形） C B 公式的变形：（1）c2= , c= ; （2）a2= , a= ; （3）b2= , b= ; ( C B A )（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是 ． a2+b2=c2 (数) 直角三角形 （形） 注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系， 它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据； （2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据． 利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数法计算 a2+b2 和c2 的值； ③判断a2+b2和 c2 是否相等。 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 2、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 3、勾股定理的验证 4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等） （三）考点剖析 考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边 1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做 cm . 2、在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=______；②若a=15，c=25，则b=________； ③若c=61，b=60，则a=____；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=___。 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． （提示：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch） 考点2：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆， 试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ） A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1 4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。 5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。 ( A B C D E F )考点3：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想） 1、如图 ，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD折叠使C点与A点重合，则EB的长是（ ） A、3 B、4 C、 D、5 ( A B C D E )2、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，试求CD的长。 ( A B C D E D / ／ ／／ )3、如图，四边形ABCD是长方形，把 △ACD沿AC折叠到△ACD／ ,△ACD ／与BC交于E,若AD=4，CD=3，求BE的长. ( A D E B C )4、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ ( D B C A )5、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。 考点3：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 1、若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角 是 度 2、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　） A、a=1.5，b=2, c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6, b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=5 3、下面的三角形中： ①△ABC中，∠C=∠A－∠B； ②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：其他 1、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______． 2、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动几米？ 3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑2米，那么，梯子底端的滑动距离是几米？ ( A 289 2253 （1题图） )【巩固练习】 1、如图中字母A所代表的正方形的面积为( ) A、4 B、8 C、16 D、64 2、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A、 第三边一定为10 B、三角形的周长为24 C、三角形的面积为24 D、第三边有可能为10 3、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm，则h的取值范围是 4、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________ A 56 B 48 C 40 D 321 5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边 （1）已知c＝4，b＝3，求a；　　　（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。 （3）已知b=，∠B＝30°，求a、c；（4）已知a=，c=6，求∠A，∠B。 6、已知 求由此为三边的三角形的面积。 7、已知：如图，在△中，，，，于，求的长． 8、如图，已知：，，，，求的长． 9．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？ 10、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$