第3章 勾股定理 本章综合提升（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年七年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第三章　勾股定理 本章综合提升 1. 转化思想 在利用勾股定理进行计算时，常常利用转化思想，如求立体图形上两点间的 最短距离问题时，通常先将立体图形展开，把空间中的距离问题转化为一个平面 上的两点间的距离问题，然后构造直角三角形，应用勾股定理进行求解. 　　【例1】　如图所示，长方体的长为9 cm，宽为6 cm，高为12 cm，点B与点 C的距离是3 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行 的最短路程是 cm. 15　 　　【变式训练1】如图所示，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的 高为16 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正 好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行 的最短路径为20 cm，则该圆柱底面周长为 ⁠. 24 cm　 2. 方程思想 在直角三角形中，利用勾股定理列方程求有关线段的长. 　　【例2】　如图所示，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点 A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游 客，决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路 CH. 测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米， （1）CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明. 解：（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线. 在△CHB中，因为CH2＋BH2＝42＋32＝25，BC2＝25， 所以CH2＋BH2＝BC2. 所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°. 所以CH⊥AB. 所以CH是从旅游地C到河的最近的路线. （2）求原来路线AC的长. 解：（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝（x－3）千米， 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2＝AH2＋CH2， 即x2＝（x－3）2＋42. 解得x＝ . 答：原来的路线AC的长为 千米. 　　【变式训练2】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20 cm，AC ＝16 cm，点P从点A出发，以每秒1 cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时 间为t秒（t＞0）. 　　（1）BC＝ cm. 12　 　　（2）当PA＝PB时，求t的值. 解：（2）由题意，得PA＝PB＝t，则PC＝16－t. 在Rt△PCB中，因为∠PCB＝90°， 由勾股定理，得PC2＋BC2＝PB2，即（16－t）2＋122＝t2. 解得t＝12.5. 所以当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5. 1. （2024·山东烟台莱州期中）下列几组数中，为勾股数的是（　C　） A. ， ，1 B. －3，－4，－5 C. 5，12，13 D. 0.9，1.2，1.5 2. （2024·山东青岛莱西期中）已知Rt△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， 则斜边上的高为（　D　） A. 6 B. 12 C. 5 D. 2.4 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. （2024·山东威海文登期中）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB ＝4 cm，AD＝2 cm，BC＝CD，E是AB上的一点.若沿CE折叠，使B，D两 点重合，则△AED的面积为 ⁠. cm2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. （2024·山东济南莱芜区期中）如图所示，圆柱形玻璃杯，底面周长为16 cm， AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且BC＝20 cm，PC＝ BC，一只蚂 蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为 cm. 第4题图 17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. （2024·山东烟台莱州期中）如图所示，一圆柱高20 cm，底面周长是12 cm， 一只螳螂在AB的中点E处，一只昆虫在CD的某处，螳螂以最快的速度，最短的 爬行距离捕捉到了昆虫，螳螂共爬行了10 cm，那么昆虫所在位置离点C的距离 为 ⁠. 第5题图 2 cm或18 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. （2024·山东烟台莱州期中）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑 道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑 梯高BC＝1.5 m，且BE＝0.5 m，求滑道AC的长度. 解：设AC＝x m，则AE＝AC＝x m，AB＝AE－BE＝（x－0.5）m. 由题意得∠ABC＝90°. 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即（x－0.5）2＋1.52＝x2.解得x＝2.5. 故滑道AC的长度为2.5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. （2024·山东青岛莱西期中）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之 下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图所示，已知AB＝9 m， BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°. （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出 入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实 施工完成，居民从点A到点C将少走多少米？ 解：（1）如图所示，连接AC. 因为∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m， 所以AC2＝AB2＋BC2＝225.所以AC＝15 m. 所以AB＋BC－AC＝9＋12－15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）这片绿地的面积是多少？ 解：（2）因为CD＝17 m，AD＝8 m，AC＝ 15 m，所以AD2＋AC2＝DC2. 所以△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°. 所以 ＝ AD·AC＝ ×8×15＝60 （m2）， ＝ AB·BC＝ ×9×12＝54（m2）. 所以 ＝60＋54＝114（m2）. 答：这片绿地的面积是114 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2023·山东日照中考）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分 别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内， 如图所示，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则 （　C　） A. S1＞S2 B. S1＜S2 C. S1＝S2 D. S1，S2大小无法确定 第8题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. （山东济宁中考）如图所示，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2， AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸 片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　A　） A. B. C. D. 第9题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$