精品解析：上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北郊中学2024学年第一学期高三年级数学期中 2024.11 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是________． 2. 若（为虚数单位），则的共轭复数为______. 3. 已知函数，则______． 4. 用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝______. 5. 在中，若，，，则的面积是________． 6. 二项式的展开式中含项的系数为________． 7. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 8. 已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为______． 9. 已知函数若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则＝___________. 10. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为________． 11. 在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 12. 已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是__________． 二、选择题（共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 14. 已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. -2 C. -4 D. 15. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最小项 D. 数列有最大项 16. 已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5题，满分78分） 17. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 20. 已知椭圆的右焦点为，直线. （1）若到直线的距离为，求； （2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围. 21. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北郊中学2024学年第一学期高三年级数学期中 2024.11 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 2. 若（为虚数单位），则的共轭复数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则的共轭复数为. 故答案为：. 3. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可结合导数的定义求解. 【详解】，则，故， 故. 故答案为： 4. 用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的定义求解. 【详解】因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取，个体a在第一次就被抽取的可能性为， 因此，所以. 故答案为：8 5. 在中，若，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为, 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 6. 二项式的展开式中含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令得，，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 7. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 8. 已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出即可得解. 【详解】令椭圆长半轴长为，半焦距为，依题意，， 即，解得，则椭圆短半轴长， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 9. 已知函数若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则＝___________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据函数定义，求出值后再计算函数值． 【详解】因为（）是增函数，（）也是增函数， 要使成立，则有， 由得，解得（舍去）， 所以． 故答案为：8． 【点睛】本题考查分段函数求函数值，解题时需根据自变量范围确定选用的函数解析式． 10. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，分析可知同为最大值点或最小值点，结合集合的元素特征可知在内有个最值点，再根据正弦函数的最值分析求解. 【详解】因为， 若，等价于或， 即同为最大值点或最小值点， 若，则点；若，则点； 据此可知：若集合恰有五个元素，等价于在内有个最值点， 不妨设，可知最值性相同，与不同， 此时集合B的元素为，符合题意， 因为，且，则， 可得，解得， 所以的范围取值为. 故答案为：. 11. 在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【解析】 【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解. 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 故答案为：12 12. 已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出直线必过点，取抛物线位于轴上方部分，设上一点到直线的距离最小，由几何关系得出，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求解． 【详解】因为实数成公比为的等比数列，所以， 所以，即直线必过点，且斜率， 不妨取抛物线位于轴上方部分，则，，， 由题可知，，则， 设上一点到直线的距离最小， 则处的切线斜率等于直线的斜率，即，所以， 点到直线的距离， 整理得，解得，因为，所以， 根据直线和抛物线得对称性得，， 故答案为：． 二、选择题（共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 14. 已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. -2 C. -4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设的中点为C，∵，， 则， ∵C为的中点，∴， 设向量与的夹角为， ∴， 又，∴的最小值为. 故选：C. 15. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最小项 D. 数列有最大项 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，分析等比数列的公比范围，进而可以判断的单调性，判断A，B；由，分，进行讨论，判断C，D． 【详解】设等比数列的公比为，则， 由可得，又，所以即，又，所以，即， 故等比数列首项，公比满足或， 当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调； 当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确； 又，且 所以当时，由于， 则，， 此时数列的最小项为，最大项为； 当时，有， 则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确. 故选：C. 16. 已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设（），由题意结合法向量的定义得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意得，则， 设（），则， 因为是平面的一个法向量， 所以， 即， 对于A，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以A错误， 对于B，若在上，则，符合题意，所以在上，所以B正确， 对于C，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以C错误， 对于D，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以D错误， 故选：B 三、解答题（共5题，满分78分） 17. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】（1）或；当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. 【小问2详解】 若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 19. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）4 （2）；平均数为71；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解； （3）独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 从图中可知组距为，则的频率分别为, 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时, 成绩不高于50分的人数为（人）. 【小问2详解】 由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 . 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 【小问3详解】 记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则 三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于 . 20. 已知椭圆的右焦点为，直线. （1）若到直线的距离为，求； （2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求，点到直线的距离公式求O到直线的距离，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分和两种情况讨论，易知不合题意，当时，根据题意可得直线的方程为或，代入方程可求点坐标，从而可求直线的方程，联立与椭圆方程，利用即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以右焦点为， 又因为，所以到直线的距离，解得； 【小问2详解】 设，， 由得， 所以，即，且， 所以 ， 又因为O到直线的距离为， 所以的面积为 ， 解得满足，所以； 【小问3详解】 若，则直线经过点，此时直线和直线的夹角为（舍去）， 若，由直线和直线的夹角为，且得， 直线的方程为或代入得或， 所以直线的方程为或代入椭圆方程得 或， 由或 解得或， 综上得的取值范围为且． 21. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【小问1详解】 与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. 【小问2详解】 令， 因为，，所以， 令，则，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. 【小问3详解】 因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，显然当时，， 当时，因为在上单调递增，且， 故在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上：，即. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $