精品解析：北京市八一学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市八一学校2024~2025学年度第一学期期中试卷 高一 数学 制卷人:高鹤 审卷人:王明辉 一、选择题.共10小题，每小题3分，共30分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是上单调减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题.共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，函数的定义域是___________. 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为______，的值为______． 13. 当时，的最小值为________． 14. 已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是_________. 15. 已知函数，对于给定的实数，若存在，，满足：，使得，则记的最大值为. ①当时，_____________； ②当且时，函数的值域为___________. 三、解答题.共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设集合，集合，集合. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数为二次函数，的零点为和2，且. （1）求的解析式，并写出的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知函数，为奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明：在区间上是增函数； （3）若函数为定义在上的偶函数，且时，.求的解析式，并求不等式的解集. 19. 已知函数，. （1）若方程的根为和，求和的值； （2）若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； （3）若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 20. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列三个函数的“区间”（直接写出结论）； ①；②；③. （2）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校2024~2025学年度第一学期期中试卷 高一 数学 制卷人:高鹤 审卷人:王明辉 一、选择题.共10小题，每小题3分，共30分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算即可得答案. 【详解】根据交集的概念和运算可得， 故选：B. 2. 下列函数中，是上单调减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一次、二次已经反比例函数的性质判断即可得答案. 【详解】对于A，结合一次函数的性质可知是R上的递增函数，故A错误； 对于B，结合反比例函数的性质可得在上的单调递增，故B错误； 对于C，结合二次函数的性质可得在上的单调递减，故C满足题意； 对于D，因为与都是上的增函数，所以在上的单调递增，故D错误， 故选：C. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立. 【详解】当时，有，，所以A错误； 当时，由得，所以B错误； 当时，由得，所以C错误； 由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，D正确, 故选：D 4. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简“”，利用充要条件的定义可以判定. 【详解】化简得，因为时，；而时，不一定得出. 所以选A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定.利用集合间的关系或者借助数轴能方便求解. 5. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可. 【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为， 当时，； 因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC； 因为，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故排除D， 故选：A 6. 若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 7. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，再由零点存在性定理即可直接判断. 【详解】如图：作出与的图象，两图象只有一个交点，即有且只有一个零点， ， 所以，且在上是连续函数，故的零点在上， 故选：C. 8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【详解】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B 9. 已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 10. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，分、、三段讨论即可． 【详解】分情况讨论， 当时，要使有三个不同的根，则； 当时，要使有三个不同的根，同理可知，需要． 当时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去． 的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到临界位置的高低是难点，属于中档题． 二、填空题.共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式型函数的定义域列不等式即可直接求得答案. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：. 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为______，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据韦达定理可求得，再根据即可求解. 【详解】因为是一元二次方程的两个根， 则， 所以. 故答案为：；. 13. 当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 14. 已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别确定每段函数单调递减时参数的取值范围，再考虑分段点处函数值的大小关系. 【详解】对于二次函数，其对称轴为. 因为二次函数开口向上，要使其在上单调递减，则对称轴需在或其右侧，即，解得. 对于一次函数，要使其单调递减，则，解得. 考虑分段点处函数值的大小关系 当时，的值为；的值为. 因为函数在上单调递减，所以在分段点处，应有. 即，移项可得，，解得. 综合以上三个条件，取交集可得，所以的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数，对于给定的实数，若存在，，满足：，使得，则记的最大值为. ①当时，_____________； ②当且时，函数的值域为___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】取，找到，从而得解；按分类讨论求出，再由单调性得出值域. 【详解】依题意，，当时，，使得， 即，则，解得，由， 得，解得，则，所以； 当且时，，则， 当时，，依题意，， 整理得，，而函数在上单调递增，， 当时，，则，整理得， 于是，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，， 所以函数的值域为， 故答案为：： 【点睛】关键点点睛：第二空，按分类讨论求出函数的解析式是求解的关键. 三、解答题.共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设集合，集合，集合. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、补集的定义求出结果. （2）按分类讨论，结合集合的包含关系求出范围. 【小问1详解】 解不等式，得或，则或，而， 所以，. 【小问2详解】 当时，，满足，则； 当时，，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数为二次函数，的零点为和2，且. （1）求的解析式，并写出的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），递减区间为，递增区间为； （2）最大值为8，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数的两根式设出解析式，进而求出解析式及单调区间. （2）利用二次函数的性质求出最值. 【小问1详解】 由二次函数的的零点为和2，设， 由，得，解得，则， 所以的解析式，递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，的图象对称轴为，， 当时，；当时，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为8和. 18. 已知函数，为奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明：在区间上是增函数； （3）若函数为定义在上的偶函数，且时，.求的解析式，并求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 任取，且， 则=， 因为，所以，，，， 所以，即. ∴函数在上为增函数. （3）， 【解析】 【分析】（1）利用，即可得到的解析式； （2）利用定义法，证明为增函数即可； （3）利用奇偶性和单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 ∵函数是定义上的奇函数， ∴，即，经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 所以， 由于为定义在上的偶函数，且在上是增函数， 所以不等式，可得或， 得. 19. 已知函数，. （1）若方程的根为和，求和的值； （2）若函数在区间上的最小值，与函数在区间上的最小值相同，求的值； （3）若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）结合一元二次方程根与系数的关系即可求得答案； （2）先确定在上的最小值为2，在结合二次函数的性质分类讨论即可求得a的值； （3）将原问题转化为恒成立，利用判别式即可求得a的范围. 【小问1详解】 因为的两个根分别是-1和b， 所以，解得； 【小问2详解】 在上的最小值为， 所以在上的最小值为2， 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得（舍）； 当，即时，，解得； 综上：； 【小问3详解】 因为函数的图象总在函数图象的上方，所以恒成立， 因此恒成立， 所以，解得. 20. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列三个函数的“区间”（直接写出结论）； ①；②；③. （2）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”. 【答案】（1）①是，②不是，③不是； （2） 对于任意区间，记， 依题意，在上单调递减，则. 因为，所以， 即S的长度大于的长度，故不满足性质①. 因此，如果为的“区间”，只能满足性质②，即， 即只需存在使得，或存在使得. 因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“区间” . 记，先证明函数有唯一零点； 因为在上单调递减，所以在上单调递减. 若，则为的唯一零点； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 综上，函数有唯一零点，即， 已证的所有“区间”都满足条件②，所以. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论； （2）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且. 【小问1详解】 对①，当，，满足性质1， 是函数的“区间”， 对②，当时，，当时，， 故不满足性质1，2，不是函数的“区间”， 对③，当，当时，，当时，， 故不满足性质1，2，不是函数的“区间”. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $