概率统计专项训练模拟练习-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-10.8-高考大题规范解答——概率统计-专项训练模拟练习 1.2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏，记发放的消费券额度为x(百万元)，带动的消费为y(百万元)．某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示. x 3 3 4 5 5 6 6 8 y 10 12 13 18 19 21 24 27 (1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程． (2)①若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用(1)中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？ ②当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的．若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因． 参考公式：r＝，b＝，＝－b. 当|r|>0.75时，两个变量之间具有很强的线性相关关系． 参考数据：≈5.9. 2．第19届亚运会的开幕式于2023年9月23日在我国杭州举行.2023年8月，某商场为了吸引顾客，举行了“答题领优惠，杭州看亚运”促销活动．具体规则是：两人一组进行答题比拼，比拼分两关进行．第一关：一道题，两人抽签决定谁答题，答对得10分并获得100元优惠券，否则另一人得10分并获得100元优惠券；第二关：由第一关获得积分和优惠券的人从6道题目中抽取2道题目回答，每回答正确一道题目就获得10分和100元优惠券，每答错一道题目另一人获得10分和100元优惠券，两轮比赛结束后，积分更高者获胜，胜者将获得一张亚运会开幕式门票和200元优惠券．现有甲、乙两人组成一组参加该游戏，已知第一关的问题甲能答对的概率为，乙能答对的概率为；第二关的6道题目中甲能答对4题，乙能答对3题． (1)求甲获胜的概率； (2)设X表示甲获得的优惠券总金额，求X的分布列和期望． 3．2022年国庆节某商场进行砸金蛋活动，现有8个外形完全相同的金蛋，8个金蛋中有1个一等奖，1个二等奖，3个三等奖，3个参与奖，现甲、乙两人进行砸金蛋比赛，砸中1个一等奖记4分，砸中1个二等奖记3分，砸中1个三等奖记2分，砸中1个参与奖记1分，规定砸蛋人得分不低于8分为获胜，否则为负，并制定规则如下： ①一个人砸蛋，另一人不砸蛋； ②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的记分之和． (1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率； (2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 4．某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品. 生产线 [53,54) [54,55) [55,56) [56,57) [57,58) [58,59) [59,60] 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1 (1)完成2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？ 一等品 非一等品 合计 甲 乙 合计 (2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； (3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了20个，检出1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；x0.05＝3.841. 提能训练　 1．数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名． (1)若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率； (2)现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为，王同学每道试题答对的概率均为，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望． 2．民族要复兴，乡村要振乡，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上(含40周岁)的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示. “编织巧手” 非“编织巧手” 总计 年龄≥40岁 19 年龄<40岁 10 总计 40 (1)请完成答题卡上的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关； (2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： α 0.100 0.050 0.010 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 3．甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立，经抽签决定，第1回合由甲发球． (1)求前4个回合甲发球两次的概率； (2)求第4个回合甲发球的概率； (3)设前4个回合中，甲发球的次数为X，求X的分布列及期望． 4．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： 假设每个组内的数据是均匀分布的． (1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)； (2)从个人所得税在(6,8]，(14,16]，(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在(14,18]内的员工人数为Y，求Y的数学期望与方差． 参考答案 1.[解析]　(1)＝＝5， ＝＝18.(1分) (xi－)(yi－)＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，(2分) (xi－)2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20， (yi－)2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3分) 代入公式可得相关系数r＝＝＝≈0.97.(4分) 由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系．(5分) 经计算可得＝＝＝3.45，(6分) ＝－ ＝18－3.45×5＝0.75. 所以所求线性回归方程为＝3.45x＋0.75.(7分) (2)①当x＝10时，＝35.25， 所以预计能带动的消费达35.25百万元．(9分) ②因为>10%，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的．(11分) 发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不同，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平，A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量(只要写出一个原因即可)．(12分) 评分细则： (1)第(1)问中，x，y的平均数只求对了一个，不给分． (2)第(2)问的第②问涉及的其他因素很多，比较主观，学生只要答出一个比较合理的原因即可． 2．[解析]　(1)令事件A为“甲第一关胜出进入第二关”，事件B为“乙第一关胜出进入第二关”， 则P(A)＝×＋×＝＋＝，(2分) P(B)＝×＋×＝×＋＝＝ ，(3分) 令：C1：第二关甲两题都答对 D1：第二关乙两题都答对 C2：第二关甲答题一对一错 D2：第二关乙答题一对一错 C3：第二关甲两题都答错 D3：第二关乙两题都答错 E：经过两关比赛，甲获胜，(4分) 所以P(E)＝P(A)(1－P(C3))＋P(B)P(D3) ＝×＋×＝×＋×＝＋＝.(6分) (2)X的所有可能取值为0,100,400,500，(7分) P(X＝0)＝P(B)P(D1)＝×＝×＝， P(X＝100)＝P(A)P(C3)＋P(B)P(D2) ＝×＋×＝＋＝， P(X＝400)＝P(A)P(C2)＋P(B)P(D3) ＝×＋×＝＋＝＝， P(X＝500)＝P(A)P(C1)＝×＝＝，(9分) 所以X的分布列是： X 0 100 400 500 P E(X)＝0×＋100×＋400×＋500×＝289.(12分) 3．[解析]　(1)记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件A， 则P(A)＝＝＝.(2分) (2)如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸3个金蛋，则得分情况有6分，7分，8分，9分，10分，11分．(4分) P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝7)＝＝， P(ξ＝8)＝＝，P(ξ＝9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， P(ξ＝11)＝＝，(10分) ∴ξ的分布列为： P 6 7 8 9 10 11 ξ ∴ξ的数学期望E(ξ)＝6×＋7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝.(12分) 4．[解析]　(1)由题意得列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲 75 25 100 乙 48 32 80 合计 123 57 180 (2分) χ2＝ ＝≈4.621， ∵4.621>3.841＝x0.05，(4分) 依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．(5分) (2)由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为＝， 任取一个乙生产线零件为一等品的概率为＝， ξ的所有可能取值为0,1,2， P(ξ＝0)＝×＝＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝×＝， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P (8分) E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.(9分) (3)由已知零件为三等品的频率为＝， 设余下的40个零件中三等品个数为X， 则X～B， ∴E(X)＝40×＝2，(10分) 设检验费用与赔偿费用之和为Y， 若不对余下的所有零件进行检验，则Y＝20×5＋120X， 所以E(Y)＝100＋120×E(X)＝100＋240＝340，(11分) 若对余下的所有零件进行检测， 则检验费用为60×5＝300元， ∵340>300， ∴应对剩下零件进行检验．(12分) 提能训练　 1．[解析]　(1)设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”， 则有P(A)＝＝. (2)设张同学、王同学答对的题数分别为Y，Z， 张同学在考试中合格的概率为 P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C2×1＋C3×0＝， 王同学在考试中合格的概率为 P(Z≥2)＝P(Z＝2)＋P(Z＝3)＝C2×1＋C3×0＝. 由题意得X可取0,1,2， 则P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 因此X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 2．[解析]　(1)年龄在40周岁以上(含40周岁)的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人． 列联表如下： “编织巧手” 非“编织巧手” 总计 年龄≥40岁 19 5 24 年龄<40岁 6 10 16 总计 25 15 40 零假设为H0：“编织巧手”与“年龄”无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈7.111>6.635＝x0.010， 根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010. (2)由题意可得这6人中年龄在40周岁以上(含40周岁)的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4. 从这6人中随机抽取2人的情况有C＝15种， 其中符合条件的情况有CC＝8种， 故所求概率P＝. 3．[解析]　(1)前4个回合甲发球两次的情况分以下三种： 第一种情况，甲第1,2回合发球，乙第3,4回合发球， 其概率为××＝. 第二种情况，甲第1,3回合发球，乙第2,4回合发球， 其概率为××＝. 第三种情况，甲第1,4回合发球，乙第2,3回合发球， 其概率为××＝. 故前4个回合甲发球两次的概率为＋＋＝. (2)第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为. 第3回合甲发球的概率为×＋×＝， 乙发球的概率为×＋×＝. 第4个回合甲发球的概率为×＋×＝. (3)X可以取1,2,3,4. 当X＝1时，P1＝××＝； 当X＝4时，P4＝3＝； 由(1)得，当X＝2时，P2＝； 当X＝3时，P3＝1－P1－P2－P4＝. X的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 4．[解析]　(1)设中位数为x，前四个矩形的面积之和为(0.02＋0.03＋0.05＋0.05)×2＝0.3<0.5， 前五个矩形的面积之和为0.3＋0.15×2＝0.6>0.5， 所以可设中位数为x∈(8,10)， 由中位数的定义可得0.3＋(x－8)×0.15＝0.5， 解得x＝≈9.3. (2)由频率分布直方图，得这500名在职员工的个人所得税在(6,8]，(14,16]，(16,18]三组内的员工人数分别为：500×0.05×2＝50,500×0.04×2＝40,500×0.01×2＝10， 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从在(14,16]内的员工中抽取×10＝4人， 从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)员工的个人所得税在(14,18]内的概率为0.04×2＋0.01×2＝0.1， 从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，个人所得税在(14,18]内的员工人数为Y，则Y～B(100,0.1)，E(Y)＝100×0.1＝10，D(Y)＝100×0.1×0.9＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$