2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷

2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）下列计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5÷a3＝a2 D．（a+2a）2＝4a2 2．（4分）下列各数中是无理数的是（　　） A．cos60° B．1.3 C．83 D． 3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（　　） A．y＝2x B． C．y＝2﹣x D．y＝﹣2x2 4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 5．（4分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．（4分）下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：　 　． 8．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为 　 　． 9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝　 　． 10．（4分）方程x的根是 　 　． 11．（4分）不等式组的整数解是 　 　． 12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　． 13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 　 　． 14．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是　 　． 15．（4分）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是 　 　． 16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E、F分别是边AB、CD的中点．设，，那么向量用向量、表示是　 　． 17．（4分）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，⊙A的半径为1，如果以OB为半径的⊙O与⊙A“内相交”，且AB＝5，那么OB的取值范围是 　 　． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为 　 　． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）先化简，再求值：，其中x． 20．（10分）解方程组： 21．（10分）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD． （1）求AB的长； （2）如果，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由． 22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，小明骑自行车从A地去B地，小刚骑电动车从B地去A地然后立即原路返回到B地，如图是两人离B地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题： （1）求小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式； （2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到B地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）联结AE、BD，如果AC⊥ED，求证：AE2＝2FG•BE． 24．（12分）已知在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，顶点为点B，点C的坐标为（0，1），直线BC与x轴交于点D． （1）求点D的坐标； （2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求△ABC的面积； （3）如果AB⊥BC，求抛物线的表达式． 25．（14分）如图，已知圆O的半径AO＝r，P是半径AO上的一个动点（点P不与点A、点O重合），作线段OP的垂直平分线，分别交线段OP于点B、交圆O于点C和点E（点C在点E的上方）．联结CP并延长，交圆O于点D． （1）当点P是线段AB中点时，求的值； （2）当r＝4时， ①如果PA＝1，求PD的长； ②联结OD交CE于点F，联结PF，如果△PDF为等腰三角形，求CD的长． 2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）下列计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5÷a3＝a2 D．（a+2a）2＝4a2 【考点】整式的混合运算． 【答案】C 【分析】A、根据幂的乘方，底数不数，指数相乘的法则进行计算； B、根据同底数幂的乘法法则进行计算； C、根据同底数幂的除法法则进行计算； D、先合并同类项，再根据积的乘方法则进行计算． 【解答】解：A、（a2）3＝a5，所以此选项不正确； B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确； C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确； D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确； 故选：C． 2．（4分）下列各数中是无理数的是（　　） A．cos60° B．1.3 C．83 D． 【考点】无理数；特殊角的三角函数值． 【答案】D 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：cos60°是分数，1.3是有限小数，83是整数，它们都不是无理数； 3是无限不循环小数，它是无理数； 故选：D． 3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（　　） A．y＝2x B． C．y＝2﹣x D．y＝﹣2x2 【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质． 【答案】C 【分析】根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可得答案． 【解答】解：A、函数y＝2x，y随自变量x的值增大而增大，故A不符合题意， B、函数y，当x＞0或x＜0时，y随自变量x的值增大而减小，故B不符合题意， C、函数y＝2﹣x，y随自变量x的值增大而减小，故C符合题意， D、函数y＝﹣2x2，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故D不符合题意， 故选：C． 4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 【考点】众数；中位数． 【答案】B 【分析】根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案． 【解答】解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6， ∴x＝6， 把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5， 则这组数据的中位数为5； 故选：B． 5．（4分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】平行线的判定． 【答案】A 【分析】先根据邻补角的定义得到∠3＝60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°． 【解答】解：∵∠1＝120°， ∴∠3＝60°， ∵∠2＝45°， ∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c， ∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°． 故选：A． 6．（4分）下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形 【考点】等腰梯形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；多边形内角与外角． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的概念判断即可． 【解答】解：A、有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意； B、连接等腰三角形两腰的中点，得到的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意； C、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，例如直角梯形有两个相邻的内角相等，不是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意； D、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：　﹣2　． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【答案】﹣2． 【分析】先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可． 【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2． 故答案为：﹣2． 8．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为 　7.7×10﹣6　． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【答案】见试题解答内容 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6， 故答案为：7.7×10﹣6． 9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝　x（x﹣9）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可． 【解答】解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9）， 故答案为：x（x﹣9）． 10．（4分）方程x的根是 　x＝1　． 【考点】无理方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决． 【解答】解：x两边平方，得 x2＝4﹣3x， 解得，x＝1或x＝﹣4， 检验：当x＝﹣4不是原方程的根， 故原无理方程的解是x＝1， 故答案为：x＝1 11．（4分）不等式组的整数解是 　0，1　． 【考点】一元一次不等式组的整数解． 【答案】0，1． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x， ∴该不等式组的解集是x＜2， 故该不等式组的整数解是0，1， 故答案为：0，1． 12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　　． 【考点】根的判别式；解一元一次不等式． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＜0， 解得：m， 故答案为：m． 13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 　　． 【考点】概率公式；中心对称图形． 【答案】． 【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个， ∴抽到中心对称图形的概率是， 故答案为：． 14．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是　80%　． 【考点】频数（率）分布直方图． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案． 【解答】解：∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6＝45人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+6＝36人， ∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是100%＝80%， 故答案为：80%． 15．（4分）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是 　6　． 【考点】多边形内角与外角． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可． 【解答】解：依题意有 2， 解得n＝6． 故答案为：6． 16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E、F分别是边AB、CD的中点．设，，那么向量用向量、表示是　2　． 【考点】*平面向量；梯形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可． 【解答】解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点， ∴EF是梯形ABCD的中位线，FCDC， ∴EF（AD+BC）， ∵BC＝3AD， ∴EF（AD+3AD）＝2AD， 由三角形法则得，2， ∵，， ∴2． 故答案为：2． 17．（4分）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，⊙A的半径为1，如果以OB为半径的⊙O与⊙A“内相交”，且AB＝5，那么OB的取值范围是 　2.5＜OB＜3　． 【考点】圆与圆的位置关系． 【答案】2.5＜OB＜3． 【分析】设M为AB的中点，则BMAB＝2.5，画图分类讨论两种情况． 【解答】如图所示，设M为AB的中点，则BMAB＝2.5， 当O与M重合时，BOAB＝2.5，如图所示，此时A在圆B上，则OB＞2.5时，两圆“内相交”． 当OB＝AB时，两圆“内相交”． ∴2.5＜OB＜3． 故答案为：2.5＜OB＜3． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为 　　． 【考点】三角形的重心；旋转的性质． 【答案】． 【分析】先根据旋转的性质得到CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，根据三角形重心的性质得到AD为BC边上的中线，AA′＝2DA′，则DA′AD，根据斜边上的中线性质得到AD＝BD＝CD，所以DA′B′C，接着证明∠B′CA′＝∠CA′A得到AD∥B′C，所以△A′DE∽△B′CE，然后利用相似比得到的值，从而得到BE：CE的值． 【解答】解：∵△ABC绕点C旋转得到△A′B′C， ∴CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′， ∵点A′为△ABC的重心， ∴AD为BC边上的中线，AA′＝2DA′， ∴DA′AD， ∵∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝CD， ∴DA′BDBCBCB′C， ∵∠ACA′＝∠BCB′， ∴∠ACA′+∠DCA′＝∠BCB′+∠DCA′， 即∠ACD＝∠B′CA′， ∵DC＝DA， ∴∠ACD＝∠DAC， ∵CA＝CA′， ∴∠CAA′＝∠CA′A， ∴∠B′CA′＝∠CA′A， ∴AD∥B′C， ∴△A′DE∽△B′CE， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）先化简，再求值：，其中x． 【考点】分式的化简求值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题． 【解答】解： ， 当x时，原式． 20．（10分）解方程组： 【考点】高次方程． 【答案】或． 【分析】由②得2x+y＝±2从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【解答】解：由②得：（2x+y）2＝4， ∴2x+y＝±2，即2x+y＝2或2x+y＝﹣2， ∴原方程组可化为两个二元一次方程组： （Ⅰ）或（Ⅱ）， 解（Ⅰ）得：； 解（Ⅱ）得：； ∴原方程组的解是或． 21．（10分）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD． （1）求AB的长； （2）如果，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；圆周角定理． 【答案】（1）4； （2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由见解析． 【分析】（1）连接AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，得出AE⊥BC，BE＝DE．根据垂径定理可得BE＝DE＝4，利用勾股定理求出OE＝3，则AE＝8，再利用勾股定理即可求解； （2）根据正切函数的定义得tanC，可得CE＝6，则BC＝BE+CE＝10，过C作CH⊥AB于H，根据sin∠ABE可得，可求出CH＝49，即可得出答案． 【解答】解：（1）连接OD、AD、OB，连接AO并延长交BC于E点， ∵AB＝AD，OB＝OD， ∴AE⊥BC，BE＝DE． ∵BD＝8， ∴BE＝DE＝4， ∴OE3， ∴AE＝OA+OE＝8， ∴AB4； （2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由如下： ∵tanC，AE＝8， ∴CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10， 过C作CH⊥AB于H， ∵sin∠ABE， ∴， ∴CH＝49， ∴直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交． 22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，小明骑自行车从A地去B地，小刚骑电动车从B地去A地然后立即原路返回到B地，如图是两人离B地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题： （1）求小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式； （2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到B地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【考点】一次函数的应用． 【答案】（1）y＝﹣15x+30（0≤x≤2）； （2）． 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出小明的速度，根据“小明离B地的距离＝A、B两地之间的距离﹣小明离A地的距离”作答即可； （2）求出小刚离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式，并写为分段函数的形式，根据“二人相遇时，二人离B地距离相等”列方程求出相遇时间；按照x的取值范围分别求出两人途中相遇后相距3千米时对应的时间，两者之差即为所求． 【解答】解：（1）小明的速度为30÷2＝15（千米/小时），则y＝30﹣15x＝﹣15x+30， ∴小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝﹣15x+30（0≤x≤2）． （2）小刚骑电动车从B地去A地和从A地返回B地过程中速度不变，均为30÷1＝30（千米/小时）， 则小刚从B地去A地过程中离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝30x（0≤x＜1）； 小刚从A地返回B地过程中离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝30﹣30（x﹣1）＝﹣30x+60（1≤x≤2）； ∴小刚离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y． 当二人相遇时，二人离B地距离相等，得﹣15x+30＝30x，解得x； 当x≤1时，当两人间的距离为3千米时，得30x﹣（﹣15x+30）＝3，解得x； 当1＜x≤2时，当两人间的距离为3千米时，得﹣30x+60﹣（﹣15x+30）＝3，x； 由图象可知，两人途中相遇后当x时，两人间的距离超过3千米， （小时）， ∴无法用无线对讲机保持联系的总时间是小时． 23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）联结AE、BD，如果AC⊥ED，求证：AE2＝2FG•BE． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）由AD∥BC，DE∥AB得四边形ABED是平行四边形，由FG∥AD得△CFG∽△CAD，得到，同理得，进而由FG＝EF得到AD＝AB，即可求证； （2）连接BD，与AE交于点H，证明△DHE∽△AFE得到，进而由EHAE，DE＝BE，FG＝EF，可得据此即可求证； 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵FG∥AD， ∴△CFG∽△CAD， ∴， 同理可得，， ∴， ∵FG＝EF， ∴AD＝AB， 四边形ABED是菱形； （2）证明：设BD，AE交于点H，如图， ∵四边形ABED是菱形， ∴，DE＝BE，BD⊥AE， ∴∠DHE＝90°， ∵AC⊥ED， ∴∠AFE＝90°， ∴∠DHE＝∠AFE， 又∵∠DEH＝∠AED， ∴△DHE∽△AFE， ∴， ∵，DE＝BE，FG＝EF， ∴， ∴， 即AE2＝2FG•BE• 24．（12分）已知在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，顶点为点B，点C的坐标为（0，1），直线BC与x轴交于点D． （1）求点D的坐标； （2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求△ABC的面积； （3）如果AB⊥BC，求抛物线的表达式． 【考点】二次函数综合题． 【答案】（1）D（﹣1，0）； （2）S△ABC； （3）yx2﹣2x+5． 【分析】（1）求出抛物线y（x﹣m）2+m+1顶点B（m，m+1），由B（m，m+1），C（0，1）得直线BC解析式为y＝x+1，故D（﹣1，0）； （2）求出A（0，m2+m+1），知A与O（0，0）不重合，根据抛物线与坐标轴共有两个不同的交点，可得（x﹣m）2+m+1＝0有两个相等的实数解，从而m＝﹣1；可得A（0，），B（﹣1，0），即可得S△ABC1； （3）由AB⊥BC，有AC2＝AB2+BC2，即（m2+m）2＝m2+（m2）2+m2+m2，解得m＝0（舍去）或m＝2，即可得y（x﹣2）2+2+1x2﹣2x+5． 【解答】解：（1）抛物线y（x﹣m）2+m+1顶点B（m，m+1）， 设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（m，m+1），C（0，1）代入得： ， 解得， ∴直线BC解析式为y＝x+1， 在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1， ∴D（﹣1，0）； （2）在y（x﹣m）2+m+1中，令x＝0得ym2+m+1， ∴A（0，m2+m+1）， ∵m2+m+1＝0无实数解， ∴A与O（0，0）不重合， ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点， ∴抛物线y（x﹣m）2+m+1与x轴只有一个交点， ∴（x﹣m）2+m+1＝0有两个相等的实数解， ∴﹣m﹣1＝0， 解得m＝﹣1； ∵A（0，m2+m+1），B（m，m+1）， ∴A（0，），B（﹣1，0）， ∵C（0，1）， ∴AC， ∴S△ABC1； （3）∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴AC2＝AB2+BC2， ∵A（0，m2+m+1），B（m，m+1），C（0，1）， ∴（m2+m）2＝m2+（m2）2+m2+m2， 整理得：m2（m﹣2）＝0， 解得m＝0（舍去）或m＝2， ∴y（x﹣2）2+2+1x2﹣2x+5． 25．（14分）如图，已知圆O的半径AO＝r，P是半径AO上的一个动点（点P不与点A、点O重合），作线段OP的垂直平分线，分别交线段OP于点B、交圆O于点C和点E（点C在点E的上方）．联结CP并延长，交圆O于点D． （1）当点P是线段AB中点时，求的值； （2）当r＝4时， ①如果PA＝1，求PD的长； ②联结OD交CE于点F，联结PF，如果△PDF为等腰三角形，求CD的长． 【考点】圆的综合题． 【答案】（1）． （2）①； ②或． 【分析】（1）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得，∠CBO＝∠CBA＝90°，利用勾股定理可求出，即可求解； （2）①延长AO交圆O于点M，连接CM、AD，可证△APD∽△CPM，得到，据此即可求解； ②分三种情况讨论：PD＝PF，DP＝DF和FD＝FP，进行解答即可求解． 【解答】解：（1）∵CE是OP的垂直平分线， ∴OB＝PB，∠CBO＝∠CBA＝90°， ∵点P是线段AB中点时， ∴PA＝PB， ∴， ∴， 在Rt△OBC中，， 在Rt△ABC中，， ∴． （2）①如图，延长AO交圆O于点M，连接CM、AD，则∠ADC＝∠CMA，即∠ADP＝∠CMP， ∵∠APD＝∠CPM， ∴△APD∽△CPM， ∴， ∵r＝4，PA＝1， ∴MP＝7， ∵CE是OP的垂直平分线， ∴CP＝CO＝4， ∴， ∴； ②如图，分三种情况讨论： 当PD＝PF时，∠PDF＝∠PFD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠PFD＝∠OCD， ∵∠PFD+∠OFP＝180°， ∴∠OCD+∠OFP＝180°， ∴∠COF+∠CPF＝180°， ∵CE是OP的垂直平分线， ∴CP＝CO，FP＝FO， ∴∠CPO＝∠COP，∠FPO＝∠FOP， ∴∠CPO+∠FPO＝∠COP+∠FOP， 即∠CPF＝∠COF， ∴∠CPF＝∠COF＝90°， 即∠COD＝90°， ∴； 当DP＝DF时，∠DPF＝∠DFP， ∵∠FPO＝∠FOP， ∴∠PFD＝∠FPO+∠FOP＝2∠FPO， ∴∠DPF＝2∠FPO， ∵∠CPO＝∠COP，∠FPO＝∠FOP，∠OCD＝∠ODC， ∴∠CPO＝∠COP＝∠FPO＝∠FOP， ∴∠CPO＝2∠FPO， ∵∠CPD＝180°， ∴2∠FPO+∠FPO+2∠FPO＝180°， ∴∠FPO＝36°， ∴∠FOP＝36°，∠DPF＝∠DFP＝72°， ∴∠PDF＝180°﹣72°×2＝36°， ∴∠FOP＝∠PDF， ∴PD＝PO， 设PD＝PO＝x，则AP＝4﹣x，MP＝4+x， 由（1）知△APD∽△CPM， ∴， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 当FD＝FP时，∠FDP＝∠FPD， ∵FP＝FO， ∴FD＝FO， ∴， ∵∠OCD＝∠ODC， ∴∠FPD＝∠OCD， ∴PF∥CO， ∴△DPF∽△DCO， ∴， ∴， 即DP＝CP， ∵CP＝CO， ∴CD＝4+4＝8，不合题意，故此种情况不存在； 综上，CD的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$