上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

市一中学高三期中数学试卷 2024.11 一.填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分） 1.已知集合A=(0,4),B=[2,5],则A∩B= 2.设复数(1-i)z=2i,则川z= 3函数f)=a(2x+孕的最小正周期为 4.角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过点(3，-4)，则sin(a+π)=_ 5.若实数x、y满足y=1,则x2+3y2的最小值为 6.已知a=(2,-3),b=(L,0),则a在b方向上的投影为 7.方程|2x+1川+|2x-2=3的解集为 8.若函数y=cosx-sinx在区间[0，a]上是严格减函数，则实数a的最大值为 9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数 y=f(x)满足条件：①在闭区间[a,b]上是连续不断的：②在区间(a,b)上都有导数 则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f'(t)b-a),其中t称为“拉格 朗日”中值.函数y=sinx在区间[0，白]的“拉格朗日”中值t= 10.如图，正六边形的边长为2，圆0的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六 边形的边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA·MB的取值范围是 (第10题图) (第11题图) 11.如图，互不相同的点A、A2、…、An、…和B、B2、、Bn、…分别在角O的两 条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形A,BnBn1An1的面积均相等.设OAn=an,若 a,=1,a2=2,则数列{an}的通项公式an=_ 12.设函数y=f是奇函数，当x之0时，f)=0x-d21+x-2a21-3a).若对任 意的x∈R,不等式f(x-1)≤f(x)都成立，则实数a的取值范围为 二，选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分. 13.已知x∈R,则“x>1”是“x2>1”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 14.若函数y=f(x)在x=x,处的导数等于a,则lim f(。+2△)-f的值为()》 Ax-0 △x A.0 a B. C.a D.2a 已知函数y=fx),fG)=2sim(or+ 实数0>0，下列选项中正确的是() A.若0=2，函数y=f(x)关于直线x= 5π 对称 12 B,若ù函数y=因在0，小上是增函数 4 C.若函数y=f(x)在[-π，0]上最大值为1，则0≤ 3 D.若o=1,则函数yf(x)川的最小正周期是2π 16已知f=sinx,集合D=l-受r=x训2f+f0)=0yeD, 2={(x,y)川2f(x)+f(y)≥0，x,y∈D}.关于下列两个命题的判断，说法正确的是() 命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形： 命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于5 12 A.①真命题，②假命题 B.①假命题，②真命题 C.①真命题，②真命题 D.①假命题，②假命题 三.解答题（本大题满分76分） 17.已知a=1,|b=2,且(a+b)(a-2b)=-6. (1)求向量a与b的夹角大小： (2)求|a+2b. 18.设常数k∈R,f(x)=kcos2x+V3 sinxcosx,x∈R. (1)若f(x)是奇函数，求实数k的值： (2)设k=1.△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若f(4)=1,a=V7, b=3,求△ABC的面积S. 19.已知递增的等差数列{an}的首项a1=1,且a、a2、a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式an: (2)设数列{bn}满足bn=2,+(-1)”an,Tn为数列{亿n}的前n项和，求Tn 20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6 万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加：②补助款不低于原纳税 额x(万元)的50%，经测算政府决定采用函数模型f)=-b+4(其中6为参数)作 4 x 为补助款发放方案 (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款： (2)判断使用参数b=12是否满足条件，并说明理由： (3)求同时满足条件①、②的参数b的取值范围， 21.已知f(x)=2√x-alnx-ax-1. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点P(L,I)处的切线方程； (2)若函数y=f(x)存在两个不同的极值点x、x2,求证：f(x)+f(x2)>0: (3)若a=1,g(x)=f(x)+x,数列{an}满足a1∈(0,1)，an1=g(an) 求证：当n≥2时，an+an+2>2an+1 2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分） π 1.[2,4) 2.2 3. 5.2W5 5 6.(2,0) 1.2 3π 8. 2 9.arccos 10.[2,3] π 11.√3n-2 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分. 13.A 14.D 15.C 16.A 三、解答题（本大题满分76分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 解(1) (2)13 18.(本题满分14分)第(1)小题6分，第(2)小题8分 解(1)k=0: 2)S=35或25. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 解()由题可知d>0,a=1,且aa4=a2,即a,(a,+3d)=(a,+d)2, 可得a,d=d2,a=d=l,∴.an=a+(n-l)d=n,neN (2)b=2”+(-1°m,Tn=(2+2+…+22"+[-1+2-3+4--n-12n] 20-2）+n=2+n-2 1-2 20.（本题满分16分)本题共有3小题，第(1)题4分，第(2)题4分，第(3)题8分. 解af=5-号 33 2)因为当b=12时，f③)=手2所以当b=12时不满足条件②， 3)由条件0可知.f儿)-音4在可上单调道说， →国-片-：0在相立6≥-学在x啡阳度立所以6：-号 由条件包可知，寸()≥行，即不等式若。≤4在[B,6上恒成立， 等价于6≤-号+4=-8+16，当x=3时，y=-8+16取最小值程，所b5 39 939 综上，参数b的取值范围是 4’4 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 解（)当a=0时，f闭=左f四- 所以曲线y=f(x)在点P(1,)处的切线方程为y=x4分 (2)由f)=0,得：左x ↓-g-a=0,令1=，则>0 原方程可化为：a2-t+a=0①，则5=√氏，5=√：是方程@的两个不同的根 △=1-4a2>0 所以 1>0 ,解得0<a<23分 所以f(x)+fx)=2(V+V2)-anx+lnx)-a(x+x2)-2 =26+6)-anG)-a62+5)-2=2a+12 a 因为0<a<分所以2a+日-2>25-2>0，所以/)+>0…6分 a （3)由题意，8)=2G-hx-1,所以g以=丘-」 当x∈(0,1)时，g'(x)<0，所以函数y=g(x)在区间(0,1)上严格减， 当x∈(L,+o)时，g'(x)>0,所以函数y=g(x)在区间(L,+o∞)上严格增，3分 因为0<a<1,所以a=g(a)>g()=1,a3=g(a)>g)=1, 以此类推，当n22时，a1=g(an)>g)=1,4分 区了)2×行-上上Y2420,所以函数y=)在区间0烟)上严格减 当n22时，f(an)=g(an)-an<f)=0,所以a1<an,7分 所以f(ai)>fa)，即a+2-ai>a1-an,故an+an+2>2an18分