福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考模拟练习数学试题

福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考模拟练习数学试题（自编供学生使用） （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则取值的集合为(    ) A． B． C． D．或 6．函数的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 8．若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9．下列说法中，正确的有（   ） A．的最小值是2 B．“方程有一正一负根”的充要条件是“” C．不等式的解集为 D．命题“”的否定为“” 10．已知，若正实数、满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“-利普希兹”条件，下列说法正确的是（    ） A．若，则在上相对于满足“2-利普希兹”条件 B．若，在上相对于满足“-利普希兹”条件，则的最小值为 C．若在上相对于满足“4-利普希兹”条件，则的最大值为 D．若在非空数集上相对于满足“1-利普希兹”条件，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为 . 13．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 . 14．定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，，则实数m与－1的大小关系是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．设，，求，. 16．定义在上的函数满足，且当时，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性. 17．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 18．设实数，若满足，则称比更接近. (1)设比更接近0，求的取值范围； (2)判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； (3)设且，，试判断与哪一个更接近. 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列条件： ①在内是单调的， ②在内的取值范围也是， 则称是函数的“优美区间”. (1)判断函数是否存在“优美区间”，并说明理由； (2)若是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D B B A BD BD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ， 因此，. 故选：D. 2．B 【分析】根据图求反应出所表示的集合的关系可得选项. 【详解】全集，集合，，， 如图所示阴影区域表示的集合为：． 故选：B． 3．B 【分析】分析可知“对任意的整数，恒成立”是真命题，对实数的取值进行分类讨论，解不等式，结合已知条件可得出关于的等式或不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题， 则“对任意的整数，恒成立”是真命题， 当时，则对任意的整数恒成立，不合乎题意； 当且时，原不等式化为. 因为，则不等式的解集为或， 所以，，即，解得且； 当时，则有对任意的整数恒成立，合乎题意； 当时，，不等式的解集为，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 4．C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 5．D 【分析】分和两种情况讨论，结合函数，可得满足的x的取值集合. 【详解】当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 取值的集合为或， 故选：D. 6．B 【解析】判断函数的单调性，利用排除法可得． 【详解】由已知，时，，函数上递减，在上递增，这样排除ACD．只有B符合． 故选：B． 7．B 【分析】根据题意求得函数是以8为周期的周期函数，进而求得，结合周期性，即可求解. 【详解】解：由函数是定义域为的奇函数，可得， 又由，可得， 所以，可得， 所以函数是以8为周期的周期函数，且， 因为函数为奇函数，可得，所以， 又由，可得，即， ， 所以， 所以 . 故选：B. 8．A 【分析】由条件等式求出，将化成，利用基本不等式可求得其最大值，得出等号成立条件：和，代入所求式，整理成二次函数，即可求出其最大值. 【详解】由，可得， 则， 因，， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，取得最大值为3. 由， 即当时，取得最大值. 故选：A. 9．BD 【分析】分和两种情况结合基本不等式即可判断A选项；方程有一正一负根的充要条件是， 解该不等式即可判断B选项；原不等式可化为，由分式不等式的方法求解可以判断C选项；由全称量词命题的否定可以判断D选项. 【详解】对于A，当时， ，当且仅当时取等号； 当时，有，当且仅当时取等号， 所以只有当时，的最小值才是2，故A错误； 对于B，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，故B正确； 对于C，不等式等价于，即，即， 即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误； 对于D，“”的否定为“”故D正确. 故选：BD 10．BD 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，结合已知条件求出，利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 且，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上单调递增， 由得， 所以，，即，且、都为正数， 对于A选项，由基本不等式可得，得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A错； 对于B选项，因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，B对； 对于C选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但为正数，故等号不成立，即，C错； 对于D选项，因为，则，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：BD. 11．BC 【分析】利用特例可判断A，利用参变分离法求函数最值可判断BC，由题可得为增函数，利用复合函数单调性判断D. 【详解】对于A，∵的定义域为， 令，则， 又， ∴，即在上相对于不满足“2-利普希兹”条件，故A错误； 对于B，由题知，均有成立， 当时显然成立， 不妨设，则， 又，， ∴，， 故，故B正确； 对于C，由题知，均有成立， 即， 当时显然成立， 当时，则恒成立，又，， ∴，即，所以的最大值为，故C正确； 对于D，由题可得在非空数集上恒成立， 当时显然成立， 不妨设，则， ∴成立， 令，则函数在非空数集上单调递增， ∵， 当时，，单调递增，单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故D错误. 故选：BC. 12． 【分析】将代入分式不等式得到相反结论，同时注意分母为0的情况，解出即可. 【详解】或,解得或, 故答案为：. 13．/ 【分析】由题意，结合一次函数与二次函数的单调性，可得的等量关系，整理函数，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且在上恒成立， 则函数在上单调递减，即， 令，可得，则，可得， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 14． 【分析】根据推导函数的单调性和奇偶性及其值域等性质，再把变形为两项差的形式，从而求出的表达式，进而判断与的大小关系 【详解】∵函数满足，令得；令得． ∴在为奇函数 当时，.因为在时，，则在时．又，故，所以，故，所以在上单调递减. ∵，且， 故 故答案为： 15．； 【分析】利用集合的交集，并集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，. 故答案为：；. 16．(1)，，偶函数 (2)函数在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由得，由得，根据定义可判断函数为偶函数. （2）由定义法可证明函数在上单调递增． 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，定义域为， ∵，∴函数为偶函数. （2）函数在上单调递增．证明如下： . ，且， 则， ∵，∴，即， ∴在上单调递增． 17．(1) (2)当年产量为百件时，获利最大. 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【详解】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为万元. 当时，万元， 当且仅当百件时等号成立. 综上所述，当年产量为百件时，获利最大. 18．(1) (2)充分不必要条件，理由见解析 (3)更接近 【分析】（1）由题得，解不等式可得解； （2）利于不等式的性质和充分条件，必要条件的应用即可求解； （3）利于已知比较与的大小，即可求解. 【详解】（1）由题意，得，即 整理得，解得 所以的取值范围是 （2）“比更接近”，等价于 所以“”是“比更接近”的充分不必要条件 （3）， ①当时，， 此时： 又在上是增函数， ，即， 即，此时更接近； ②当时，， 此时：， 又在上是增函数， 即，， 即，即更接近； 19．(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先写出函数的单调性，设是函数的“优美区间”，根据定义即可得出函数在上的单调性，由值域结合单调性即可得出方程，求解即可得出答案； （2）化简函数得出函数的单调性，根据已知结合定义即可得出在上单调递增，进而推得方程有两个同号的实数根.列出关系式，求解得出的范围.根据韦达定理得出的关系，进而表示出，根据的范围，结合不等式的性质以及二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】（1）因为函数在上单调递增，在上单调递增. 设是函数的“优美区间”，则在上单调， 所以或， 因此，在上为增函数， 则，，即方程有两个解m，n， 整理可得，解得得， 所以函数的“优美区间”为. （2）因为，在上单调递增，在上单调递增. 结合已知以及“优美区间”定义，可知在上单调递增， 所以或，则，， 所以是方程的两个同号的实数根， 即方程有两个同号的实数根，注意到 只要，解得或， 由韦达定理可得，且， 所以. 因为或，所以，或， 根据二次函数的性质可知，当时，取最大值 答案第2页，共10页 答案第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$