2025年贵州中考数学重难题型攻关-题型五 几何探究题

2025年贵州中考数学重难题型攻关- 题型五 几何探究题 学生版 类型1 几何操作类（贵州：2024.25，2023.25） 例 （本题满分12分） 在等腰直角中， ，，是上一点. （1） 【操作判断】 如图1，过点作交于点，根据题意在图1中画出，图中__ ； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，过点作,交的延长线于点，探究线段与的数量关系，并说明理由； 图2 （3） 【拓展延伸】 点在直线上，当，时，过点作，交直线于点，求的长. 备用图 变式1．在等边中，是上一动点，连接. （1） 【操作判断】 如图1，当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，连接，根据题意画图，则的形状为____________； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，当在线段的延长线上时，将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，连接，，求证：； 图2 （3） 【拓展延伸】 如图3，在等边中，，是射线上的动点，点在上，，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到（点在上方），连接，.当为直角三角形时，求的长. 图3 在识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在正方形中，过点作射线，垂足为，点在上. 图1 （1） 【操作判断】 如图2，若是线段的中点时，连接，并将绕点逆时针旋转 与交于点，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系为____________； 图2 （2） 【问题探究】 若点在线段上时，连接，并将绕点逆时针旋转 与交于点，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立请说明理由； （3） 【拓展延伸】 如图3，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转 与交于点，如果，，求的长. 图3 类型2 图形的变化类（贵阳：2022.25，2020.25） 例 [2024贵阳市观山湖区模拟改编]小红同学在进行数学探究活动中发现：将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形. （1） 如图1，当 时，点在上，连接，则的度数为____________； 图1 （2） 如图2，连接，，过点作交于点.求证：； 图2 （3） 在（2）的条件下，射线分别交，于点，，如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由. 图3 腰的直角顶点重合， ，，.将绕点顺时针旋转，连接，，延长交射线于点. 图1 【猜想证明】 （1） 如图2，当时，四边形的形状是________； 图2 （2） 如图3，在旋转的过程中，连接，探究，，之间的数量关系； 图3 【拓展应用】 （3） 在（2）的条件下，若，当中有一个角为 时，求的长. （1） 【问题发现】 如图1，线段与的数量关系为______________，位置关系为______________； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，将绕点旋转，再将绕点顺时针方向旋转 至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； 图2 （3） 【拓展延伸】 将绕点旋转至，延长交于点，交于点，根据题意，在图3中画出图形，若，，求的长. 图3 类型3 动点问题 例 [2024遵义市汇川区模拟]已知四边形是矩形，是边上的一点，连接，，是边上一动点（不与，重合），连接，过点作，交于点. 【问题感知】 （1） 如图1，当，时，则________; 图1 【探究发现】 （2） 在（1）的条件下，如图2，当点运动到的中点时，求的长； 图2 【拓展提升】 （3） 如图3，当 时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 图3 变式1．[2023贵阳市白云区模拟]在菱形中， ，为对角线的中点，为线段上的一个动点（点不与点重合），分别过点，向直线作垂线和，垂足分别为点，. 【问题解决】 （1） 如图1，当点在线段上，垂足与的中点重合，点与点重合时，求证：； 图1 【问题探究】 （2） 如图2，当点在线段上，与还相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 图2 【拓展延伸】 （3） 当点在线段上运动， ，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想. 备用图 变式2．在菱形中， ，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化. （1） 如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______________，与的位置关系是______________； 图1 （2） 如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 图2 （3） 当点在直线上时，其他条件不变，连接.若，，求的面积. 备用图 类型4 图形形状变化类 例 [2024贵州模拟25题12分]在中， ，点在直线上，直线与的夹角为，且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，. （1） 【问题解决】 如图1，若 ，则的度数为____________，的值为________； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，若 ，判断的值是否发生变化？并说明理由； 图2 （3） 【拓展延伸】 如图3，，交于点，点在线段上，，，求线段的长. 图3 【问题解决】 （1） 如图1，若四边形是正方形，为的中点，则图中与全等的三角形是____________,____________ ； 图1 【问题探究】 （2） 如图2，若四边形是菱形，，为的中点，求的长； 图2 【拓展延伸】 （3） 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 图3 2025年贵州中考数学重难题型攻关- 题型五 几何探究题 教师版 类型1 几何操作类（贵州：2024.25，2023.25） 例 （本题满分12分） 在等腰直角中， ，，是上一点. （1） 【操作判断】 如图1，过点作交于点，根据题意在图1中画出，图中__ ； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，过点作,交的延长线于点，探究线段与的数量关系，并说明理由； 图2 （3） 【拓展延伸】 点在直线上，当，时，过点作，交直线于点，求的长. 备用图 【答案】（1） 45 （2） 规范答题，理由如下：→得分点：答对得1分. 如解图2，过点作，交于点, 例题解图2 在中， ，， ， ，， ，.→得分点：正确求出，得1分. ，. ， ， ， ，→得分点：正确证明 得1分. ， .→得分点：正确求出 得1分. （3） 规范答题，， ， .→得分点：正确求出的长得1分. 【解析】 （1） 规范答题解：画出图形如解图1，→得分点：正确画出解图1得2分. .→得分点：答对得2分. 例题解图1 （3） 【易错提醒】点 的位置不确定，需分 在射线 上和 在射线 上两种情况.<><>当点在射线上时，补全图形如解图3.过点作，交的延长线于点，，.，，，，.，.→得分点：正确求出的长得1分.<><>，，，；→得分点：正确求出的长得1分. 例题解图3 当点在射线上时，补全图形如解图 4.过点作，交的延长线于点，，.，，，，.，.，，，.综上所述，的长为或.→得分点：正确求出的长得1分. 例题解图4 变式1．在等边中，是上一动点，连接. （1） 【操作判断】 如图1，当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，连接，根据题意画图，则的形状为____________； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，当在线段的延长线上时，将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，连接，，求证：； 图2 （3） 【拓展延伸】 如图3，在等边中，，是射线上的动点，点在上，，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到（点在上方），连接，.当为直角三角形时，求的长. 图3 【答案】 （1） 等边三角形；画出图形如解图1所示. 变式1解图1 （2） 证明：根据题意画出图形如解图2， 和是等边三角形，，， ， ，. 在和中，，，. ，. 变式1解图2 （3） 解：过点作交于点，则为等边三角形. 当点在线段上时，如解图3，同（2）理可得，， ， ，此时只有有可能为 . 当 时， ，，. 又，； 当点在线段延长线上时，如解图4，此时只有有可能为 . ， . ， ，，. 综上所述，的长为或. 变式1解图3 变式1解图4 变式2．如图1，在学习了正方形相关知识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在正方形中，过点作射线，垂足为，点在上. 图1 （1） 【操作判断】 如图2，若是线段的中点时，连接，并将绕点逆时针旋转 与交于点，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系为____________； 图2 （2） 【问题探究】 若点在线段上时，连接，并将绕点逆时针旋转 与交于点，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立请说明理由； （3） 【拓展延伸】 如图3，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转 与交于点，如果，，求的长. 图3 【答案】 （1） ；解：画出图形如解图1. 变式2解图1 （2） 成立.证明如下：如解图2，过点作交于点， ，是等腰直角三角形， ，,，即，，同理，. 变式2解图2 （3） 若点在线段上时，如解图2， 由（2）可知，，，，，，，，. 若点在线段的延长线上时，如解图3，过点作交于点. ， ， ，是等腰直角三角形， ，, ，，. 同理可得，，. ，，，. 综上所述，的长为或. 变式2解图2 变式2解图3 【解析】 （1） 【解法提示】 四边形为正方形，， ，， ， .如解图1，取的中点，连接是线段的中点，，是等腰直角三角形， ，，，. 类型2 图形的变化类（贵阳：2022.25，2020.25） 例 [2024贵阳市观山湖区模拟改编]小红同学在进行数学探究活动中发现：将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形. （1） 如图1，当 时，点在上，连接，则的度数为____________； 图1 （2） 如图2，连接，，过点作交于点.求证：； 图2 （3） 在（2）的条件下，射线分别交，于点，，如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由. 图3 【答案】（1） . （2） 证明：如解图1，连接. 例题解图1 在和中，， ，. ， ，. ，， ，. （3） 解：，理由如下： 如解图2，连接. 例题解图 2 在和中，， ， . ，， ，. ，， ，， ，. 变式1．[2024黔东南州模拟]【问题情境】 如图1，等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合， ，，.将绕点顺时针旋转，连接，，延长交射线于点. 图1 【猜想证明】 （1） 如图2，当时，四边形的形状是________； 图2 （2） 如图3，在旋转的过程中，连接，探究，，之间的数量关系； 图3 【拓展应用】 （3） 在（2）的条件下，若，当中有一个角为 时，求的长. 【答案】（1） 正方形. （2） 解：同（1）理可证，，. 如解图1，过点作，交于点，则 ， . 又 ，.又，，， ，，，，. 变式1解图1 （3） 设与交于点，由（2）得，. ， ， . 又 ， 点，，，在以为直径的圆上， . 分两种情况讨论： 当 时，如解图2，过点作于点， 则，； 当 时，如解图3，过点作于点， 则，， ，. 综上可知，的长为或. 变式1解图2 变式1解图3 【解析】 （1） 【解法提示】 ， ，.又，，， .又 ， 四边形是矩形.又， 四边形是正方形. 变式2．[2024遵义市红花岗区模拟]如图1，已知正方形和等腰直角， ，点在上，连接，. （1） 【问题发现】 如图1，线段与的数量关系为______________，位置关系为______________； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，将绕点旋转，再将绕点顺时针方向旋转 至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； 图2 （3） 【拓展延伸】 将绕点旋转至，延长交于点，交于点，根据题意，在图3中画出图形，若，，求的长. 图3 【答案】（1） ； （2） 解：，，理由如下：如解图2，延长交于点，交于点. 四边形是正方形，， . 是等腰直角三角形， ， ，，，，， ，， ， ，，, 四边形为平行四边形，，. 变式2解图2 （3） 根据题意画出图形有两种情况： 情况一：如解图3. ， ， . ，, 四边形为正方形， ，. ，，，，. ，，，； 情况二：如解图4.同理得，，. 综上所述,的长为3或15. 变式2解图3 变式2解图4 【解析】 （1） 【解法提示】如解图1，延长交于点为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，，，， ， ， ，，即. 变式2解图1 类型3 动点问题 例 [2024遵义市汇川区模拟]已知四边形是矩形，是边上的一点，连接，，是边上一动点（不与，重合），连接，过点作，交于点. 【问题感知】 （1） 如图1，当，时，则________; 图1 【探究发现】 （2） 在（1）的条件下，如图2，当点运动到的中点时，求的长； 图2 【拓展提升】 （3） 如图3，当 时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 图3 【答案】（1） （2） 解:如解图1，作于点,延长交于点， 例题解图1 四边形是矩形，，,. 又为的中点，. 又, ，为的中点,, 是的中位线,. 又, , , 四边形是矩形, ，. , . ,,，， ，. （3） ，理由如下： 如解图2，过点作于点，作于点，延长至点,使得,连接, 例题解图2 . 四边形是矩形， . ，平分，, 四边形是正方形， . 又， ， ， ， ，，,， ，， ， 是等腰直角三角形，，. 变式1．[2023贵阳市白云区模拟]在菱形中， ，为对角线的中点，为线段上的一个动点（点不与点重合），分别过点，向直线作垂线和，垂足分别为点，. 【问题解决】 （1） 如图1，当点在线段上，垂足与的中点重合，点与点重合时，求证：； 图1 【问题探究】 （2） 如图2，当点在线段上，与还相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 图2 【拓展延伸】 （3） 当点在线段上运动， ，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想. 备用图 【答案】 （1） 证明：如解图1，连接，则，，三点共线. 四边形为菱形，为对角线的中点，,. ，与的中点重合，点与点重合， ，，, ，，. 变式1解图1 （2） 解：与相等,证明如下：如解图2，当点在线段上时，延长交于点. ，，，. ，，，. ，，. 变式1解图2 （3） 解：或,证明如下： 由（2）知，. 在中，， ， ，是等边三角形， ，，，； 如解图3，当点在线段上时，延长交于点. 同理可证，，. ，，.在中，， ， ，是等边三角形，，. 综上所述，或. 变式1解图3 变式2．在菱形中， ，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化. （1） 如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______________，与的位置关系是______________； 图1 （2） 如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 图2 （3） 当点在直线上时，其他条件不变，连接.若，，求的面积. 备用图 【答案】（1） ； （2） 解：仍然成立,证明如下：如解图2，连接，设与交于点 四边形是菱形， ， 变式2解图2 和都是等边三角形，， ，. 是等边三角形，， ，， ，，， ， . ， ， ，. ，.故（1）中的结论仍然成立. （3） 如解图3，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， 四边形是菱形，，平分 ，， ， ，，.由（2）知，，. ，，. 由（2）知，，，. 是等边三角形，； 如解图4，当点在的延长线上时，同理可得， .综上所述，的面积为或. 变式2解图3 变式2解图4 【解析】 （1） 【解法提示】如解图1，连接，延长交于点 四边形是菱形， ，是等边三角形，，是等边三角形，， ，，， 四边形是菱形， ， ， ，. 变式2解图1 类型4 图形形状变化类 例 [2024贵州模拟25题12分]在中， ，点在直线上，直线与的夹角为，且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，. （1） 【问题解决】 如图1，若 ，则的度数为____________，的值为________； 图1 （2） 【问题探究】 如图2，若 ，判断的值是否发生变化？并说明理由； 图2 （3） 【拓展延伸】 如图3，，交于点，点在线段上，，，求线段的长. 图3 【答案】（1） ； （2） 解：的值不会发生变化,理由如下： 如解图1，延长交于点 ， . 又，，，. ，，，，. 例题解图1 （3） 如解图2，过点作分别交，于点，， 则四边形是矩形，. 又，，. 例题解图2 ，，， ，分别是，的中点，. ，， 设，则，，. 在中，由勾股定理得，即，解得， . 【解析】 （1） 【解法提示】 ，， ，，， ，，，，，. 变式．如图1，在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【问题解决】 （1） 如图1，若四边形是正方形，为的中点，则图中与全等的三角形是____________,____________ ； 图1 【问题探究】 （2） 如图2，若四边形是菱形，，为的中点，求的长； 图2 【拓展延伸】 （3） 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 图3 【答案】（1） ； （2） 解：如解图1，过点作，交于点 四边形是菱形，. ，为的中点，为的中位线，，． 设，则，，，， 解得（负值已舍去），． 变式解图1 （3） 四边形是矩形，，，，，，． ， ， ． 如解图2，当 时，设，则，． ，． ，， ，，，解得或，或． 如解图3，当 时，过点作，交的延长线于点，，，．，，，，．， ， ， ，，，． 综上所述，的长为或或2． 变式解图2 变式解图3 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$