二项分布与超几何分布 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-10.6-二项分布与超几何分布-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．设随机变量X，Y满足：Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则D(Y)＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为( ) A. B． C． D． 3．某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标．若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为( ) A. B． C． D． 4．某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为( ) A．1 B． C．2 D． 5．若离散型随机变量X满足X～B(5，p)，且E(X)＝，则P(X≤2)＝( ) A. B． C． D． 6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为( ) A. B． C． D． 7．端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为( ) A. B． C． D． 二、多选题 8．下列关于随机变量X的说法正确的是( ) A．若X服从正态分布N(1,2)，则D(2X＋2)＝4 B．已知随机变量X服从二项分布B(2，p)，且P(X≥1)＝，随机变量Y服从正态分布N(2，σ2)，若P(Y<0)＝，则P(2<Y<4)＝ C．若X服从超几何分布H(4,2,10)，则期望E(X)＝ D．若X服从二项分布B，则方差D(X)＝ 9．设随机变量X～B，Y～B，则下列说法正确的是( ) A．X，Y服从正态分布 B．P(X>6)＝ C．E(X)<E(Y)，D(X)＝D(Y) D．当且仅当k＝5时，P(Y＝k)取最大值 三、填空题 10．设随机变量ξ～B(2，p)，若P(ξ≥1)＝，则p的值为　　　. 11．袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)＝　　　. 12．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．则 (1)质点回到原点的概率为　　　； (2)质点位于4的位置的概率为　　　. 三、解答题 13．某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1 500米、3 000米、4×100米接力． (1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3 000米服务的概率； (2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 14．某商超为庆祝开业十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：方案①：一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．方案②：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次． (1)现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率； (2)如果某顾客获得一次抽奖机会．那么他选择哪种方案更划算． 【B级　能力提升】 1．泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点．著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点．为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件．若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会．每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物，假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立． (1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率； (2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率． 2．北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动．为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望； (2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 3．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩(满分：100分)，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该校学生成绩的中位数； (2)已知样本中竞赛成绩在[90,100]的女生有3人，从样本中竞赛成绩在[90,100]的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为X，求X的分布列及期望． 4．哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达25亿元，号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到“四季绽放”2023年1月至5月的游客数以及对游客填写满意与否的调查表，统计如下： 月份x 1 2 3 4 5 游客人数y(万人) 130 m n 90 80 满意率 0.5 0.4 0.4 0.3 0.35 已知y关于x的线性回归直线方程为＝－11.5x＋134.5. (1)求2月份，3月份的游客数m，n的值； (2)在1月至5月的游客中随机抽取2人进行调查，把满意率视为概率，求评价为满意的人数X的分布列与期望E(X)． (参考公式：＝＝，＝－ ) 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( A )[解析]　由题意可得：P(X≥1)＝1－P(X＝0) ＝1－C(1－p)2＝，解得p＝. 则：D(X)＝np(1－p)＝2××＝，D(Y)＝32D(X)＝4.故选A. 2．( A )[解析]　所求概率P＝C2×＋3＝.选A. 3．( C )[解析]　由题意，恰好有2只测量过该指标的概率为＝＝.故选C. 4．( C )[解析]　记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 秒杀解法：E(X)＝3×＝2.故选C. 5．( C )[解析]　因为X～B(5，p)，且E(X)＝，所以P＝，所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C×2×3＋C××4＋C×0×5＝＝. 6．( C )[解析]　因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为4＋C×3×＝.故选C. 7．( D )[解析]　由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子，所以P＝C×2×2＝，故选D. 二、多选题 8．( BCD )[解析]　由于X～N(1,2)，所以D(X)＝2，根据方差的性质，D(2X＋2)＝22D(X)＝8，故A错误；X服从二项分布B(2，p)，∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋p2＝2p－p2＝，解得p＝，∴P(Y<0)＝，根据正态分布的对称性可得，P(2<Y<4)＝，故B正确；X服从超几何分布H(4,2,10)，根据超几何分布的期望公式，E(X)＝＝，故C正确；X服从二项分布B，根据二项分布方差公式得，D(X)＝np(1－p)＝4××＝，故D正确．故选BCD. 9．( BC )[解析]　随机变量X～B，Y～B，则X，Y服从二项分布，故A错误；P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝C7×＋C8＝，故B正确；E(X)＝8×＝，E(Y)＝8×＝，D(X)＝8××＝，D(Y)＝8××＝，所以E(X)<E(Y)，D(X)＝D(Y)，故C正确； 设P(Y＝k)(2≤k≤7)为最大值， 则， 即 解得5≤k≤6，所以当k＝5或6时，P(Y＝k)取最大值，故D错误．故选BC. 三、填空题 10．[解析]　P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝⇒(1－p)2＝，由于1>p>0，所以p＝. 11．[解析]　设袋中有m个黑球，则白球有(10－m)个， 由题意可得：＝＝1－，解得m＝5或m＝－4(舍去)， 故X的可能取值有0,1,2,3，则有： P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 12．[解析]　(1)质点向左、向右各移动了3次，故所求概率P1＝C×3×3＝. (2)质点向右移动了5次，向左移动了1次，故所求概率P2＝C××5＝. 三、解答题 13．[解析]　(1)记事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为“3 000米服务”， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 则P(B|A)＝＝， 所以小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3 000米服务的概率. (2)依题意，随机变量X可以取0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝＝， 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 14．[解析]　(1)在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案①，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为P＝＝. 设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则P(A)＝C××2＝. 故这位顾客获得180元返金券的概率为. (2)若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60,120,180,240. 则P(X＝60)＝C×3＝， P(X＝120)＝C××2＝， P(X＝180)＝C×2×＝， P(X＝240)＝C×3＝. 所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 E(X)＝60×＋120×＋180×＋240×＝105(元)； 若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则Y～B，故E(Y)＝3×＝. 选择方案②，该顾客获得返金劵金额的数学期望为E(Z)＝E(100Y)＝100×＝75(元)， 从而有E(X)>E(Z)，所以应选择方案①更划算． 【B级　能力提升】 1．[解析]　(1)设3人抽奖总次数为X，则X的可能取值为3,4,5,6. 由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为. 依题可得P(X＝4)＝C××2＝， P(X＝5)＝C×2×＝， P(X＝6)＝3＝， 所以P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＝0.999. (2)记事件A＝“每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”， 则＝“每位打卡十八景游客只打卡一个景点”， 事件B＝“一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”， 则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝， P(B|)＝， 则P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 2．[解析]　(1)X的所有可能取值为0,1,2,3.参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所． 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为p＝C2·＋C3＝， 小明在n次测试中获“优秀”次数ξ满足ξ～B(n，p)，由np≥5⇒n≥≈19.286， 所以理论上至少要进行20次测试． 3．[解析]　(1)因为(0.008＋0.024)×10＝0.32<0.5,0.32＋0.036×10＝0.68>0.5， 所以中位数在[70,80)内． 设中位数为m，则0.32＋(m－70)×0.036＝0.5. 解得m＝75. (2)由题意可知成绩在[90,100]的学生有12人， X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 4．[解析]　(1)由题意可得＝3，＝，且＝－11.5×3＋134.5＝100， 所以m＋n＝200，iyi＝2m＋3n＋890,5＝1 500，＝55,52＝45， 所以＝＝－11.5，所以2m＋3n＝495， 解得m＝105，n＝95， (2)任取1个人满意的概率P＝＝， 所以满意的人数X服从二项分布，即X～B，随机变量X的取值分别为0,1,2， P(X＝0)＝C×0×2＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C×2×0＝， X 0 1 2 P 所以期望E(X)＝2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$