三角恒等变换专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2024-2025学年高三数学一轮复习10---三角恒等变换专项训练 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 2．在（非直角三角形）中，和是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： （   ） A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米 6．若点关于直线对称的点为，则（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在上单调递增 8．已知函数，则（    ） A．为的周期 B．函数的值域为 C．函数有且仅有两个零点 D．满足的的取值范围是 三、填空题 9．若钝角满足，则 . 10．已知和是方程的两个根，计算 . 11．已知，，满足，且，，则 . 12．已知是第二象限角，且，则 ， . 四、解答题 13．已知向量，，． (1)求的最小正周期； (2)求的最小值，并求出取得最小值时的集合. 14．已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 15．已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 16．已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C A C D AC ACD 1．B 【分析】由三角恒等变换可得，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值即可. 【详解】由，解得， 故 . 故选：B. 2．A 【分析】利用韦达定理求出，，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为和是方程的两个根， 所以，， 所以. 故选：A 3．C 【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】， ， 由于， 所以， ， 所以. 故选：C 4．A 【分析】根据题设条件可求的值，求出. 【详解】由已知可得 可知 解得， 所以 故选：A. 5．C 【分析】设，得出，，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】设，，， 同理可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故选：C． 6．D 【分析】由题意得，从而得，，然后再利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】由题意得， 则，得. 故. 故选：D 7．AC 【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误. 【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确． 因为， 的最小正周期不为选项，B错误． ，选项C正确． ，，， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减，选项D错误． 故选：AC. 8．ACD 【分析】计算可得，可判断A；只需考虑，分类讨论可求得值域判断B；分类讨论可判断零点个数判断C；分类讨论解不等式判断D. 【详解】选项正确； 所以只需考虑，当时，， 当时，，所以的值域为，B选项错误； 当时，单调递减，在有且仅有一个零点， 当时，，无零点， 当时，，无零点， 因为为偶函数，所以有且仅有两个零点，C选项正确； 当时，，解得， 当时，， 所以满足的的取值范围是，D选项正确. 故选：ACD. 9．5 【分析】根据为钝角易得，进而结合正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，，则，所以， 由，解得. 故答案为：5. 10． 【分析】解法1和解法2利用韦达定理结合三角恒等变换化简可得，解法3取特殊值求解. 【详解】解法1：， ， 所以，即. 解法2： . 解法3：令，则和0是方程的两个根， 则. 故答案为：. 11． 【分析】运用诱导公式，结合和角公式化简，再弦化切，后运用和角的正切和诱导公式计算即可. 【详解】， 则， ∴，即 . 故答案为：. 12． 【分析】首先利用辅助角公式，化简求的值，再利用角的变换，，即可求解. 【详解】，得， 因为，则， 则， 故 故答案为：； 13．(1) (2)最小值为， 【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，根据求出最小正周期； （2）在（1）的基础上，得到时取得最小值1，并得到此时的集合. 【详解】（1） , 故的最小正周期为； （2）当时，即，时， 取到最小值，最小值为， 此时的集合为. 14．(1) (2)或. 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【详解】（1）由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； （2）由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 15．(1) (2) 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求单调区间； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【详解】（1）， 令，得， 的单调递增区间为； （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$