精品解析：广东省汕头市金山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2022级高三第一学期期中考试 数学试卷 命题人：肖冬璇 审题人：袁明星 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合满足，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设等差数列的公差不为0，若构成等比数列，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 7. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 4是的一个周期 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的对称中心为 C. 在上的递增区间为 D. 在上的极值点个数为1 11. 设等比数列公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则在处切线方程为__________. 13. 在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的最大值为_____． 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab取值范围为____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求AB边上的高． 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）记曲线在两点处的切线斜率分别为，直线的斜率为，其中，求证：当时，有. 19. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”． （1）若，求值； （2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级高三第一学期期中考试 数学试卷 命题人：肖冬璇 审题人：袁明星 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性及特殊角的三角函数值即可判断. 【详解】因为单调递增，， 所以时，成立，充分性成立， 又时，，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 设等差数列的公差不为0，若构成等比数列，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式基本量运算结合三项成等比列式即可求解. 【详解】因为构成等比数列，所以, 设等差数列公差为,所以,又因为, 即得,即,又因为不是0， 所以, 所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由二倍角公式求得，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】， ， . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题. 5. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解. 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 7. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合周期性可知为的一条对称轴，进而可得在之后的零点，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知，的最小正周期， 因为，可知为的一条对称轴， 所以在之后的零点依次为，，，，…， 若在区间上恰有3个零点，所以. 故选：C. 8. 定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数可得，由可得，再由这两个关于的恒等式可得到周期性，最后利用函数的性质进行判断即可. 【详解】由，把换成可得：， 两式相加得：，故关于点对称，故A正确； 再由为偶函数可得，， 可知：关于直线对称，故B正确； 再由上面关于两式可得：， 即有，可知：4是的一个周期，故C正确； 令，有，， 又因为，所以， 则，故D不正确； 故选：D. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为， ∴，A选项正确； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：ABD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的对称中心为 C. 在上的递增区间为 D. 在上的极值点个数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由三角函数定义域即可判断；对于B，代入检验即可判断；对于C，由复合函数单调性、正弦函数单调性即可判断；对于D，由复合函数单调性、值域即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，时，，且关于单调递增， 又在时单调递增， 令，解得， 所以在上的递增区间为，故C正确； 对于D，时，， 在时，当且仅当，即时，函数有唯一极值点. 故选：ACD. 11. 设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解. 【详解】若，则，可得，即选项A错误； 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得， 即，解得，即选项C正确. 若，当时，， 又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，， 所以，， 则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：由首项和公比确定等比数列的单调性的几种情况： （1），时，等比数列为单调递减数列， （2），时，等比数列为单调递增数列， （3），时，等比数列为单调递增数列， （4），时，等比数列为单调递减数列， （5）时，等比数列为摆动数列， （6）时，等比数列为常数列， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则在处切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的几何意义求出以及，最后利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以在处切线方程的斜率，即切线方程为. 故答案为：. 13. 在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的最大值为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，将表达式化简并代入计算由辅助角公式可求得其最大值. 【详解】由根据余弦定理可得， 即， 所以 （其中,）, , 当取最大值时，的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即， ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求AB边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可. （2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， 由正余弦边角关系得，①， 又，② 由①②得，， ∴，∴ 【小问2详解】 由（1）得，， （或由余弦定理得） ∵为锐角，∴， ∴的面积， ∴， 设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明//即得； （2）先证明平面，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接,由是的中点可得， 易得与相似，所以， 又，所以//， 又平面平面，所以//平面； 【小问2详解】 因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得 又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， ，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 设平面的法向量为，由， 则，故可取. 故平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值1 【解析】 【分析】（1）根据面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可. 【小问1详解】 双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 【点睛】方法点睛： （1）根据题意设直线方程，联立圆锥曲线的方程，得出韦达定理； （2）将条件利用点的坐标结合弦长公式，代入韦达定理化简证明. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）记曲线在两点处的切线斜率分别为，直线的斜率为，其中，求证：当时，有. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，由根的判别式结合进行分类讨论，得到函数单调性； （2）求导，根据导数几何意义得到要证，不妨设，，则只需证①，由（1）可知在上单调递增，所以，设，求导得到其单调性，得到，因为，所以要证①，只需证，设，求导得到其单调性，证明出，得证. 【小问1详解】 定义域为，， 若时，即时，在单调递增， 若，即时， 有两个零点， 且， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增， 在单调递减； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 要证，只需证， 即证， 不妨设，则只需证， 即证， 设，则只需证①， 由（1）可知在上单调递增， 则当时，，所以， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 又因为，所以要证①成立， 只需证， 设，则， 所以在上单调递增.所以，得证. 【点睛】关键点点睛：导数处理双变量不等式，需进行消元或换元，本题关键点为不妨设，，则所证明不等式转化为①，再结合，继续将所证不等式进行转化，进行求解. 19. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”． （1）若，求的值； （2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，17 【解析】 【分析】（1）将分别代入即可求解； （2）利用等差数列的定义和绝对值不等式性质先证充分性，再证必要性即可； （3）构造等比数列求出的通项公式，进一步求其前n项和，分n为奇数和偶数两种情况结合数列的单调性，确定的通项，进而确定，再解不等式求解即可. 【小问1详解】 由题：令则，即，故， 得，又，同理可得，. 【小问2详解】 由题意， 故， 从而，即， 因为，所以即，故数列是等差数列. 【小问3详解】 因为,则，解得， 又，故是以为首项，公比为的等比数列， 则，即， 当n为奇数时，，易知单调递减， 故，得，进一步有； 当n为偶数时，，易知单调递增， 故，即，得，进一步有； 综上，， 易知 当n为偶数时，由，得即，无解； 当n为奇数时， 由,得即， 故，所以存在正整数，使得，正整数的最小值为17. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$