精品解析：浙江省山海联盟协作学校2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷

2024学年第一学期“山海联盟”协作学校期中学情调研 八年级数学 试题卷 B卷 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息．作答一律无效． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 5. 若等腰三角形的两条边长分别是8和16，则它的周长是（ ） A. 40 B. 32 C. 32或40 D. 24 6. 如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（ ） A. 先增大，后减小 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 不变 7. 已知的三条边分别为、、，三个角分别为、、，则下列选项中不能判定它是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （ ） A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 10. 如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（ ） A. 50 B. 40 C. D. 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答题卷”的相应位置上． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 12. 用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 13. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则_______． 14. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，则CD的长为___． 16. 如图点的坐标为，点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，分别以为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形（），连结，交轴于点，经过秒时，点的坐标是_____（用含的代数式表示），的长是______． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18. 已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 19. 已知点，解答下列各题． （1）若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． （2）若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 20. 尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： （1）在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 21. 如图，在等腰三角形中，，是底边上的高线，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 （1）如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ （2）如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 23. 【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【探究应用】（2）如图2，，，且，，是的中点，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 24. 如图，在中，，． （1）如图1，若，则的面积为______． （2）如图2，是腰上的一个定点，，分别是直线，上的动点，当的周长最小时，求的度数． （3）如图3，为边上的一个动点，将沿翻折至，连接．且为等腰三角形时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期“山海联盟”协作学校期中学情调研 八年级数学 试题卷 B卷 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息．作答一律无效． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题卷”上将你认为正确的选项对应 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可． 本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项是错误； C、∵ ∴， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 4. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 5. 若等腰三角形的两条边长分别是8和16，则它的周长是（ ） A. 40 B. 32 C. 32或40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分两种情况：当8为腰长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当16为腰长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长． 【详解】解：分两种情况： 当8为腰长时， ∵，不符合三角形三边关系， ∴该三角形不存在； 当16为腰长时， ∵，符合三角形三边关系， ∴该三角形周长为：； 故选：A． 6. 如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（ ） A. 先增大，后减小 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 7. 已知的三条边分别为、、，三个角分别为、、，则下列选项中不能判定它是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的三边关系和三角形的内角和180度知识点即可判定出来． 【详解】由可得，故A可以判定是直角三角形． 由可得，故B可以判定是直角三角形． ，即，，，C不为直角三角形． 由可得，故D可以判定是直角三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法，记住勾股定理和三角形内角和是解题关键． 8. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 9. 若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （ ） A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【详解】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 10. 如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（ ） A. 50 B. 40 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过作于，过作于，求解，，，，延长交于，则，由勾股定理可得：，可得：，，同理可得：，可得：，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故选：A 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答题卷”的相应位置上． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 12. 用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．向左平移个长度单位，即点的横坐标减，纵坐标不变，表示出平移后点的坐标，再结合题意可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：将点向左平移个单位得到的点的坐标为， 由题意知， 解得：， 故答案为：． 14. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，则CD的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，首先利用勾股定理求出AB的长，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明△BCD≌△BED，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE，求出AE，设CD=DE=x，表示出AD，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∵∠C=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在△BCD和△BED中， ， ∴△BCD≌△BED（HL）， ∴BE=BC=4， ， 设， 则 ， 在Rt△ADE中， ， ∴ ， 解得， 即 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查角平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形和直角三角形． 16. 如图点的坐标为，点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位的速度运动，分别以为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形（），连结，交轴于点，经过秒时，点的坐标是_____（用含的代数式表示），的长是______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度． 作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴点的坐标是， ， 在和中， ， ∴， ， 又∵点的坐标为， ， ， 故答案为：；4． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，将不等式解集表示在数轴上如图： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， 18. 已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据平行线的性质得到，再证明，然后根据“”可判断． 【详解】略 19. 已知点，解答下列各题． （1）若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． （2）若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； 【小问2详解】 解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 20. 尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： （1）在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）的周长为12． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 21. 如图，在等腰三角形中，，是底边上的高线，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理． （1）先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明，即可得证； （2）由得到即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 22. 在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 （1）如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ （2）如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】（1）装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； （2）无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【小问1详解】 解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； 【小问2详解】 解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 23. 【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【探究应用】（2）如图2，，，且，，是的中点，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 【答案】 （1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，延长交的延长线于，证明，，，可得，可得； （2）如图，延长交于，证明，可得，，求解，可得； （3）如图，延长交于，连接，证明，可得，设，证明，，可得，设，可得，，再进一步求解可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图，延长交于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∴，设， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，在中，，． （1）如图1，若，则的面积为______． （2）如图2，是腰上的一个定点，，分别是直线，上的动点，当的周长最小时，求的度数． （3）如图3，为边上的一个动点，将沿翻折至，连接．且为等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）16 （2）； （3）的度数为或． 【解析】 【分析】（1）作并交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）分别作点P关于直线的对称点，连接分别交直线于点M、N，此时，的周长最小，根据对称的性质计算即可求解； （3）连接，由折叠的性质知，，设，则，，，分①当；②当；③当时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：作并交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：分别作点P关于直线的对称点，如图， 连接分别交直线于点M、N，并连接， 由对称知，，，，， 此时，的周长最小， ∵，， ∴， 由对称知，，，， ，， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：连接，由折叠的性质知，， 设，则，，， ①当时，则， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当时，则，即， 此情况不存在； ③当时，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $