精品解析：河北省秦皇岛市卢龙县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 下列各组线段中，长度成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长之比是（ ） A. 1∶16 B. 1∶4 C. 4∶1 D. 1∶2 3. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 6. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 7. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差 8. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 9. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，则参赛队个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 11. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 12. 某班人数共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩的中位数说法正确的是（ ） A. 无法确定 B. 不变或者变大 C. 不变 D. 变大 13. 某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽xm，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 4或 B. 3或 C. 2或4 D. 1或6 二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心!每小题3分，共18分） 15. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处，那么小玻璃管口径是________． 16. 已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么______. 17. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按，面试按计算加权平均数作为总成绩，小王笔试成绩分，面试成绩分，那么小王的总成绩是_______分． 18. 某养殖户为估计鱼塘中鱼的数量，先随机捕捞了条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回，一周后，再从鱼塘中随机捕捞条鱼，发现其中条鱼有标记，从而估计该鱼塘中鱼的数量为________条． 19. 小聪同学在计算一组数据1、3、4、5、x的方差时，写出的计算过程是：，如果他的计算是正确的，你认为这组数据中的x为________． 20. 若甲组数据1，2，3，4，5的方差是，乙组数据101，102，103，104，105的方差是，则 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧!共60分） 21. 解下列方程： （1）； （2）； 22. 在平面直角坐标系内，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将绕点O顺时针旋转得到，作出． （2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． （3）（2）中的坐标为______；______． 23. 如图所示是测量河宽的示意图，与相交于点于点，于点，测得，求河宽． 24. 甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数为整数，其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图、如图2所示的折线统计图，其中折线统计图部分不小心被污染，甲、乙两名队员的成绩分析表如下． 姓名 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 7 b 1.2 乙 7 c 8 4.2 （1）a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　； （2）如果规定8环及以上为优秀，试比较两人的优秀率； （3）如果乙再射击1次，命中7环，则乙的射击成绩的方差 　 　．（填“变大”“变小”或“不变”） 25. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且. （1）求证：； （2）若，，求的长. 26. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个． （1）求八、九两月销量的月平均增长率； （2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个． ①设该品牌头盔每个降价元，则每个头盔的利润为____________元，该月销售量是____________个．（请用含的代数式表示） ②若该月超市十月能获利1800元，求每个头盔的售价是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 下列各组线段中，长度成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意； B、由于，所以不成比例，不符合题意； C、由于，所以不成比例，不符合题意； D、由于，所以成比例，符合题意． 故选：D． 2. 如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长之比是（ ） A. 1∶16 B. 1∶4 C. 4∶1 D. 1∶2 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4， ∴它们的相似比为1：2， ∴它们的周长之比是1：2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质即可完成解答． 【详解】解：由题意知：，故选项A错误； 由题意得，故选项B错误； 由题意得，即，则有，故选项C正确； 由题意得，则，故选项D错误； 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边同时加1，可得，左边是一个完全平方式. 【详解】解：方程两边同时加1，可得，即. 故选A 【点睛】本题考核知识点：配方. 解题关键点：理解配方的方法. 5. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 【答案】A 【解析】 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例． 6. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 【答案】B 【解析】 【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ∴， ∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算． 7. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选． 【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选； 故选：B． 【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键． 8. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论. 【详解】一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数；由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数. 故选为D. 【点睛】本题考查众数和中位数的定义，熟记定义是解题的关键. 9. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 10. 在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，则参赛队个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据每两队之间都要进行一场比赛，列出一元一次方程． 【详解】解：设共有x个队参加了比赛． 根据题意： 解得：或（舍） 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据每两队之间都要进行一场比赛，列出方程，注意两队之间只有一场比赛，所以要乘以． 11. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 12. 某班人数共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩的中位数说法正确的是（ ） A. 无法确定 B. 不变或者变大 C. 不变 D. 变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，把一组数据按大小排列后，中间一个数或两个数的平均数就是中位数；根据定义进行分析即可． 【详解】解：40个人成绩的中位数是按大小排列后的第20、21个人的成绩的平均数，则第21个人的成绩可能为85分或大于85分；缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，此时41个人成绩的中位数为第21个人的成绩，因此当第21个人的成绩为85分时，现在的中位数不变，当第21个人的成绩大于85分时，现在的中位数大于85分，即变大； 故选：B． 13. 某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽xm，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 14. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 4或 B. 3或 C. 2或4 D. 1或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故选：B． 二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心!每小题3分，共18分） 15. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处，那么小玻璃管口径是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 16. 已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 故答案为： 17. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按，面试按计算加权平均数作为总成绩，小王笔试成绩分，面试成绩分，那么小王的总成绩是_______分． 【答案】87 【解析】 【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可． 【详解】∵笔试按，面试按， ∴总成绩是分， 故答案为：87． 【点睛】本题主要考查加权平均数的知识点，准确分析是解题的关键． 18. 某养殖户为估计鱼塘中鱼的数量，先随机捕捞了条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回，一周后，再从鱼塘中随机捕捞条鱼，发现其中条鱼有标记，从而估计该鱼塘中鱼的数量为________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估记总体，先求出有记号的鱼在第二次捕捞的鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：第二次从鱼塘中随机捕捞的条鱼中有标记的鱼有条， 从而可得：第一次捕捞的条鱼占鱼塘中鱼的总数量的比例大约为， 所以鱼塘中鱼的总数量大约为 故答案为： ． 19. 小聪同学在计算一组数据1、3、4、5、x的方差时，写出的计算过程是：，如果他的计算是正确的，你认为这组数据中的x为________． 【答案】7 【解析】 【分析】先求出这组数据的平均数，进而利用平均数计算公式即可计算x 【详解】解：，如果他的计算是正确的， ， ， 解得x=7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了平均数及方差，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20. 若甲组数据1，2，3，4，5的方差是，乙组数据101，102，103，104，105的方差是，则 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算，解题关键是熟记方差公式，准确进行计算．求出各组数据的方差，比较大小即可． 【详解】解：甲组数据的平均数为，方差为； 乙组数据的平均数为，方差为； ∴； 故答案为：． 三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧!共60分） 21. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法． 用十字相乘法分解因式可得，从而得到个关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求解； 用公式法解即可． 【小问1详解】 解： 用十字相乘法分解因式得：， ，， 解得：，； 【小问2详解】 ，，． ， 方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴，． 22. 在平面直角坐标系内，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将绕点O顺时针旋转得到，作出． （2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． （3）（2）中的坐标为______；______． 【答案】（1）解：如图，即为所作； （2） 解：如图，即为所作； ． （3），6 【解析】 【分析】此题考查了旋转和位似图形的作图． （1）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）分别连接并分别延长到点，使得，顺次连接即可； （3）根据点的位置写出坐标即可，根据割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的坐标为， ． 故答案为：，6． 23. 如图所示是测量河宽的示意图，与相交于点于点，于点，测得，求河宽． 【答案】120米 【解析】 【分析】证明，再根据相似三角形的性质对应边成比例列式求出AB的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴河宽为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键掌握相似三角形的性质和判定． 24. 甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数为整数，其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图、如图2所示的折线统计图，其中折线统计图部分不小心被污染，甲、乙两名队员的成绩分析表如下． 姓名 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 7 b 1.2 乙 7 c 8 4.2 （1）a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　； （2）如果规定8环及以上为优秀，试比较两人的优秀率； （3）如果乙再射击1次，命中7环，则乙的射击成绩的方差 　 　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）7，7，； （2）乙的优秀率高； （3）变小 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和平均数的定义可得a的值，根据众数的定义求得b的值，根据折线统计图平均数的定义可求出被污染的两次成绩的和，再结合众数求出中位数c； （2）用优秀环数的次数除以总次数求解，然后比较即可； （3）先得出平均数不变，再利用方差的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 由条形统计图可得，射击环数为7的次数最多， ∴众数为7，即， ∵乙射击成绩的平均数为7， ∴被污染的两次成绩的和为：7×10−（3＋4＋6＋7＋8＋8＋9＋10）＝15， ∵乙射击成绩的众数为8， ∴乙被污染的两次成绩分别为7、8， ∴乙射击成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为7、8， ∴乙射击成绩的中位数， 故答案为：7，7，； 【小问2详解】 解：甲8环及以上有3次，优秀率为， 乙8环及以上有5次，优秀率为， ∵， ∴乙的优秀率高； 【小问3详解】 如果乙再射击1次，命中7环，则平均数不变， 方差为：∴方差变小， 故答案为：变小. 【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算和方差的计算，能够根据计算的数据进行综合分析． 25. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且. （1）求证：； （2）若，，求的长. 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质与判定； （1）根据平行四边形的性质，可知，＋，根据，＋，可知，由此即可证得结果； （2）根据平行四边形的性质勾股定理求得，进而根据（）中的相似三角形，得出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ， ， 即， ． 26. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个． （1）求八、九两月销量的月平均增长率； （2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个． ①设该品牌头盔每个降价元，则每个头盔的利润为____________元，该月销售量是____________个．（请用含的代数式表示） ②若该月超市十月能获利1800元，求每个头盔的售价是多少元？ 【答案】（1） （2）①，；②26元 【解析】 【分析】（1）本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题；先设八，九两月销量的月平均增长率为，再表示九月份的销量为，再建立方程求解即可； （2）本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用，销售问题；①由每个头盔的利润减去降价的数量可得每个头盔的利润，再利用九月份的销量加上增加的销量可得实际销量；②由总利润等于每个头盔的利润乘以总的销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设八，九两月销量的月平均增长率为， 由题意可得：， 解得：，，（不符合题意，舍去）． 答：八，九两月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 ①设该品牌头盔每个降价元，则每个头盔的利润为元，该月销售量是个； ②依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （元）， 答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $