精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度上学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合、集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为奇函数，则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. -2 6. 已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 已知，正实数，且，则（ ） A. 最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（ ） A. 2 B. 4 C. D. 第II卷（非选择题共90分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（，且）的图象过定点__________. 13. 已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围__________. 14. 已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知x，y，z为正数，若，求的值. （2），，化简：. （3）求值（其中）. 16. 已知二次函数满足，且： （1）求的解析式； （2）若在区间上，的值域为，求m的取值范围. 17. 已知函数（ a为实常数）. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由; （2）当为奇函数时，对任意，不等式 恒成立，求实数u的最大值 18. 已知且，函数， （1）若，求函数的值域； （2）利用对数函数单调性讨论不等式中x的取值范围. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求值． （2）若，解关于的方程． （3）若正数，满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度上学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合、集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先利用不等式的解法计算集合A，B，再计算，最后计算即可． 【详解】因集合， 集合， 所以， 所以或. 故选：C. 2. “”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足； 若时，取，此时且不成立，即充分性不成立； 则“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据全称命题的否定进行判断即可. 【详解】命题否定为. 故选：B 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 5. 已知函数为奇函数，则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】运用奇函数性质构造方程组，计算即可. 【详解】函数为奇函数， 则,. 则，，两式联立， 解得，经检验符合题意， 则， 故选：D. 6. 已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离变量法求出为真命题时的取值范围，再由充分必要条件的概念判断． 【详解】因为，所以当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以是的充要条件，因为，但， 所以是的一个必要不充分条件， 故选：B 7. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第一步，由函数为偶函数，排除C、D选项； 第二步，通过,排除B选项. 【详解】由函数得， 即， 故函数的定义域为，且对都有， 成立， 所以函数是偶函数，，排除C、D选项； 又,排除B选项. 故选：A. 8. 设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例可得A；利用不等式的性质计算可得B、C；由可得，利用作差法即可分析出. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：由，则，，即，故B正确； 对C：由，则，又，则，故C正确； 对D：由，则，因为，则，故，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，对条件进行变形得，从而得到，再利用基本不等式，即可求解； 选项B，根据条件，直接利用基本不等式，即可求解； 选项C，根据条件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解； 选项D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确， 故选：AD 11. 对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】变形后，两次使用基本不等式进行求解，且等号成立的条件相同，从而得到，又，从而得到，求出或，从而得到答案. 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD 第II卷（非选择题共90分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（，且）的图象过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由指数函数图象所过定点求解． 【详解】令，得，，即函数图象过定点． 故答案为：． 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，掌握性质指数函数图象过定点是解这类题的关键． 13. 已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，先得到，将所求不等式化为，结合幂函数的单调性转化为自变量的不等式（组），解得即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 又因为，所以或； 因为幂函数的图象关于轴对称， 所以为偶数，故. 不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或. 故的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据是奇函数，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令，， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增， 又函数的图像是一条连续不断的曲线，所以在上递增， 又因为是奇函数， 所以， 所以在上是偶函数，又因为， 所以，即， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知x，y，z为正数，若，求的值. （2），，化简：. （3）求值（其中）. 【答案】（1） ；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （2）由，，根据根式指数运算性质化简可得； （3）由根式指数式运算性质，指数对数运算性质进行计算即可. 【详解】（1）由题意知，令，则， 所以， 所以. （2）因为，所以， ， 因为，所以 所以， 所以． （3）因为， 所以 . 16. 已知二次函数满足，且： （1）求的解析式； （2）若在区间上，的值域为，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设二次函数再应用待定系数法得出函数解析式； （2）结合二次函数性质及单调性根据已知值域列不等式组求参. 【小问1详解】 设二次函数，由题意知： ， 整理得， 解得. ∴. 【小问2详解】 因为，所以其图象的对称轴为直线，当时. 因为当时，,由二次函数性质可知解得. 所以m的取值范围是. 17. 已知函数（ a为实常数）. （1）讨论函数奇偶性，并说明理由; （2）当为奇函数时，对任意的，不等式 恒成立，求实数u的最大值 【答案】（1），奇函数，，非奇非偶函数；理由见解析；（2）3. 【解析】 【分析】 （1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又，则 不可能为偶函数，即时，函数是非奇非偶函数； （2）对任意的，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数 ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值． 【详解】（1）若函数为奇函数， 则， 即，对 恒成立， 所以， 解得， 又， 对任意实数，，所以 不可能为偶函数， 所以时，函数是非奇非偶函数. （2）当为奇函数时，，， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 令， 令， 因为，在是增函数， 所以当时，，即， 所以， 所以实数u的最大值是3. 【点睛】本题考查函数的性质和恒成立问题，考查函数奇偶性的定义，考查对勾函数的单调性，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题． 18. 已知且，函数， （1）若，求函数的值域； （2）利用对数函数单调性讨论不等式中x的取值范围. 【答案】（1）当时，值域为；当时，值域为； （2）当时x的取值范围为；当时x的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）先求得的定义域，然后求得真数的范围，最后再对分和讨论，即可分别求得的值域； （2）先将不等式转化为，此时对分和讨论，进而再利用对数的单调性进行求解，即可求得结果. 【详解】（1） 由得，所以函数的定义域为 令，，则 当时, ，即 当时, ，即 所以当时，函数值域为； 当时，函数的值域为 （2） 由得，即 ① 当时，要使不等式①成立则，解之得 当时，要使不等式①成立则，解之得 综上所述，当时不等式中x的取值范围为； 当时不等式中x的取值范围为. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值． （2）若，解关于的方程． （3）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值． 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由， 故原方程可化为：， 即：， ，即，解得：； 【小问3详解】 由，则有 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$