精品解析：江苏省通州高级中学、泗洪中学2024～2025学年高三上学期期中联考数学试卷

2025届高三期中质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定的值域，再结合交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数和复数相等的概念求得复数，即可求解. 【详解】，则，则， ∴，∴，， 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半径即可求其表面积. 【详解】根据题意， 底面外接圆半径设为，则，∴， 外接球半径设为R， 则，. 故选：C. 5. 若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而，恒成立.分离常数，结合对勾函数的单调性求最值即可. 【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立， ，令，则，， 所以， 根据对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，， ∴. 故选：A. 6. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，求导函数，表示切线方程，利用切线过原点即可得到结果. 【详解】由得， 设切点，则， 切线方程为： 由题意得，切线过，故，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方运算可求得和，再由和余弦函数的最值求解. 【详解】根据题意， ，∴ ， 设为的夹角， . 故选：A. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（ ） A. 2025 B. 0 C. -4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，所以 所以关于对称，同时， 又为奇函数，则，所以关于对称， 即，所以常数， 令可得：， 所以， 则关于对称，结合，所以， 所以，又， 所以， 所以 ，也即， 所以 所以是周期为4的函数， ，， ，，，， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，下列选项中错误的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最大值为2 D. 的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用乘1法判定A，变形后直接使用基本不等式判定B，C，运用基本不等式结合对数性质计算即可判定D. 【详解】，A错. ， 当且仅当即时取“=”，此时，故等号取不到，B错. ，当且仅当时等号成立，故C对 ，D错 故选：ABD. 10. 已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点A.以F为圆心，为半径的圆记为圆F，B是抛物线C与圆F的一个公共点，P是圆F上的动点，则（ ） A. 直线轴 B. 直线与C相切 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】表示出圆的方程，与抛物线联立求出点坐标验证选项A；求出直线的方程，与抛物线联立判断解的情况，验证选项B；记的中点，化简得，由的范围求的最大最小值，验证选项CD. 【详解】圆的方程为，联立抛物线和圆的方程，得， 解得或（舍去），不妨设，所以直线轴，所以A正确； ，直线的方程为，代入抛物线的方程，得， 因为，所以直线与抛物线相切，所以B正确；    ，记的中点，， 则， 圆上动点到定点的距离满足， 所以， 即的最小值为，最大值为，所以C错误，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，是偶函数 B. 当时，没有零点 C. 存在实数，使得函数的最大值为 D. 对任意实数， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由偶函数的定义可判断A，通过方程无解可判断B， 通过不能同时成立，判断C，结合积化和差公式可判断D. 【详解】对于：时， ，即为偶函数，A对. 令， 可得：， ， 所以或， 也即或， 而， 显示上面两个方程都无解，所以无零点，B对. 若取最大值，则， 则，， 又，对于任意，上面方程无解，故C错. 构造函数，恒成立， 所以单调递减，当时，， 当时，，即， 当时，，即， 则结合图象可知： 所以，D对，（和差化积公式） 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的对称性，可得，再由双曲线的性质可解. 【详解】根据题意，由双曲线的对称性，可得， ∴，∴，双曲线：. 故答案为： 13. 已知，，满足，且，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合和角公式化简，再弦化切，后运用和角的正切和诱导公式计算即可. 【详解】由题可得， 则， ∴，即， ， . 故答案为：. 14. 若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得有正根，参变分离后构造函数，借助导数研究其单调性即可得其值域，即可得解. 【详解】当时，，有解，∴有正根， 即，令， 则， 故当时，，当单调递增，， 故在单调递减，单调递增， ，∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 函数的图象上存在关于原点对称的点，问题转化为有解，得到在上有解，通过构造函数求值域解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若为在方向上的投影向量的长，且满足. （1）求的值； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，再结合边化角即可求解； （2）由余弦定理列出等式，求得即可求解. 【小问1详解】 如图可得： ∴，∴. 【小问2详解】 ①， 而②， 联立①②，∴周长为：. 16. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减. （2） ，由（1）知 下证：，即证：，令， 即证：. 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ∴，证毕! 【解析】 【分析】（1）求出导函数，通过，两类情况讨论即可； （2）由（1）令，将问题转换成，构造函数通过求导确定最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，在上单调递增； 当，令 且当时，，单调增； 当时，，单调递减 综上：当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减. 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆C：的焦距为2，直线与交于两点,是上异于的一点设直线，的斜率分别为，，满足. （1）求的方程； （2）点在上，满足，直线，相交于点，求证：的面积为定值. 【答案】（1） （2） 设方程为， ， ∴，， ， ∴， ∴， 因为， 所以为三角形的中位线， 所以， 所以， 又与两平行间的距离为：， ∴ 为定值. 【解析】 【分析】（1）设，，，结合点在椭圆上及斜率公式即可求解； （2）设方程为，结合弦长公式，及即可求证. 【小问1详解】 设，∴，， ∴ ， ∴，，又，而，∴，， ∴C的方程为. 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，，，M为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，，平面平面，二面角的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1） 取中点N，连接， ∵，又∵， ∴∴四点共面， ∵平面，平面， 平面平面，∴， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，再结合中位线即可求证； （2）建系，通过二面角的向量法求得,即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，，∴， ∴， ∵，都在平面内， ∴平面， 由（1）知四边形为等腰梯形，， 则， 由等腰梯形的性质可知，， 解得：，又， 可知，如图建系， 设，，，，， ，，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 易知：， 令，得 可得： 设上一点，∴， 因为在平面内，即坐标平面面内， ∴ ∴，平面的一个法向量. ∴令得： 可得： 二面角平面角为，所以 ∴，即， ∴. 19. 对于定义在D上的函数其导函数为.若存在，使得且是的极值点，则称为“极致k函数”.设函数，其中，. （1）判断函数是否为“极致0函数”?请说明理由； （2）若函数单调递减，求实数a的取值范围； （3）对任意，证明：函数是“极致0函数”. 【答案】（1）不是，理由如下： ，令 . 若为极致0函数，则，. 当时，，时，，单调递减， 0不是的极值点，∴不为极致0函数. （2） （3） ， ，首先， ，， 若，时，则，当时，，单调递增， ∵，∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴0为的极小值点，∴为“极致0函数”. 若，即时，则，当时，，单调递减， ∵，∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴0为的极大值点，∴为“极致0函数”， 若，即时，，∴在上单调递减， ，在上单调递增；上单调递减， ∴0为的一个极大值点，∴也为“极致0函数”， ∴对，为“极致0函数”. 【解析】 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）对恒成立，参变分类求最值即可； （3）通过，，三类情况结合新定义逐个讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对恒成立， ∴， 而，有同号， 所以，当时取“=”， ∴. 【小问3详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三期中质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 4. 已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（ ） A. 2025 B. 0 C. -4 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，下列选项中错误的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最大值为2 D. 的最大值为1 10. 已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点A.以F为圆心，为半径的圆记为圆F，B是抛物线C与圆F的一个公共点，P是圆F上的动点，则（ ） A. 直线轴 B. 直线与C相切 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，是偶函数 B. 当时，没有零点 C. 存在实数，使得函数的最大值为 D. 对任意实数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为_________. 13. 已知，，满足，且，，则_________. 14. 若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若为在方向上的投影向量的长，且满足. （1）求的值； （2）若，，求的周长. 16. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）证明：当时，. 17. 已知椭圆C：的焦距为2，直线与交于两点,是上异于的一点设直线，的斜率分别为，，满足. （1）求的方程； （2）点在上，满足，直线，相交于点，求证：的面积为定值. 18. 如图，四棱锥中，，，M为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，，平面平面，二面角的正弦值为，求四棱锥的体积. 19. 对于定义在D上的函数其导函数为.若存在，使得且是的极值点，则称为“极致k函数”.设函数，其中，. （1）判断函数是否为“极致0函数”?请说明理由； （2）若函数单调递减，求实数a的取值范围； （3）对任意，证明：函数是“极致0函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $