第一章 集合与常用逻辑用语章末总结 课件-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 专题1 与集合有关的新定义问题 例1 ［多选题］(2024·江苏省苏州市调研)在整数集中，被5除所得余数为 的所有整 数组成一个“类”，记为,即, ,1,2,3,4.则以下结论正确的是 ( ) CD A. B. C. D.若整数,属于同一“类”，则 ,反之也成立 2 【解析】表示被5除所得余数为 的所有整数.（将符号语言转化为文字语言） ， ,故A不正确. , ,故B不正确. 整数集中的数要么被5整除，要么余数为1,2,3,4， 整数可以且只可以分成五类, ，故C正确. 整数,属于同一“类”， 整数,被5除所得余数相同， 被5除所得余数为 0， ;反之也成立.故D正确. 3 例2 ［多选题］(2024·山东省菏泽市期中)当两个集合中有一个集合为另一集合的子 集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时 称这两集合之间构成“偏食”.对于集合,,，,，若 与 构成“全食”或构成“偏食”，则 的取值可以是( ) ABD A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】当时， ，此时满足 ，两个集合之间构成“全食”,符合条件. 当 ，即时，, ， 当时，，，构成“全食”，此时 ； 当时，，，构成“偏食”，此时 . 综上所述，的取值集合为 . 4 例3 ［多选题］(2024·重庆市南开中学月考)对非空有限数集,, , ，定 义运算“”：表示集合中的最小元素．现给定两个非空有限数集， ，定 义集合,,，我们称为集合， 之间的“距离”，记 为 ．则下列结论正确的是( ) AC A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.对任意有限数集，，，均有 5 【解析】对于A，若 ，则A，B中最小的元素相同，故A正确； 对于B，取集合， ， 满足，但 ，故B错误； 对于C，若 ，则A,B中存在相同的元素，所以交集非空集，故C正确； 对于D，取集合，，，可知，， ， 则 不成立，故D错误. 6 专题2 生活中的命题及逻辑推理问题 例4 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约， 王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.” 张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又 走了.”李四听了大怒，拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人离去的原因. 【解析】张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉 得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该 走”，李四觉得自己是应该走的. 7 例5 住同一房间的四名女生，，， ，在某天下午课外活动时间中，有一人在 看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不 一样的事情，有以下五个命题： （1） 不在修剪指甲，也不在看书； （2） 不在听音乐，也不在修剪指甲； （3）若在修剪指甲，则 在听音乐； （4） 不在看书，也不在修剪指甲； （5） 不在看书，也不在听音乐. 若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？ 8 【解析】由以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下： 修剪指甲 不在做 不在做 不在做 看书 不在做 不在做 不在做 梳头发 听音乐 不在做 不在做 由表格看出，在修剪指甲，在看书.又由命题（3）可知 在听音乐，最后我们推 出 在梳头发. 9 例6 运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、 1人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”，结果王老师只猜对 了一人，那么甲、乙、丙分别获得____、____、____牌． 铜 金 银 【解析】先设王老师猜对的是“甲得金牌”，则“乙不得金牌”是错的，故乙也得金牌， 产生矛盾．再设“乙不得金牌”是对的，则“甲得金牌”是错的，故甲也不得金牌，只 有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得 铜牌”，此时甲、乙、丙分别得铜、金、银牌． 10 例7 设是由任意个人组成的集合，如果 中任意4个人当中都至少有1个人 认识其余3个人（本题中的认识是相互的，即不存在甲认识乙而乙不认识甲的情况）， 那么下面的判断中正确的是( ) B A.中没有人认识中所有的人 B.中至少有1人认识 中所有的人 C.中至多有2人认识不全中所有的人 D.中至多有2人认识 中所有的人 11 【解析】如果设中所有人都相互认识，显然这样的 符合题目条件，从而A，D都是 错误的；又设，，是中的三个人，，,三人间相互不认识，而除，， 之 外其他 个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C是错误的． 若集合 中任何两个人不都互相认识，则不妨设甲、乙互相不认识．任取另外两个人， 设为丙、丁.依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一个人认识其余三个人，显然， 这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，则丙认识丁（当然也认识甲和 乙）．再在剩下的人中另取一个人戊，并考虑甲、乙、丙、戊，依题意知丙与戊也 必相互认识，从而可知丙认识 中所有的人，故B是正确的． 12 命题点1 集合中的求参问题 例8 (2023·全国高中数学联赛浙江赛区预赛)已知集合 ， 若，则实数 ___. 1 【解析】将代入方程，得 . 13 例9 (2022·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知集合,,0, ,若 ，，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】,,, ， . 14 命题点2 集合中的元素和子集问题 例10 (2022·上海交大强基测试),2, ,,, ,求 中元素的个数. 【解析】中的元素均是6的倍数，所以，12，18， ， ，一共3 3个元素. 15 例11 (2022·上海交大强基测试)设集合,2,,其中为实数.令 , .若的所有元素之和为6，则 的所有元素之积为( ) D A.1 B. C.8 D. 【解析】由条件知1，2，4，, （允许有重复）为C的全部元素. 因为（恒成立）,,所以 与其 余几个数重复，故只可能是，2，4，，且，于是 （经检验符合题意），此时C的所有元素之积为 . 16 例12 (2022·全国高中数学联赛一试A卷)集合, }的所有 元素之和为____. 57 【解析】当为整数时，，即 , ，即 ， 因此，8，9，10，11， . 所求的和为 . 17 例13 (2021·全国高中数学联赛A卷一试)设，, ， ，,，，则 的所有元素之和为____. 12 【解析】枚举可得， ， 所以，所以 的所有元素之和为12. 18 例14 (2021·全国高中数学联赛广西赛区预赛)集合，2，3，4，5， 的所有子 集的元素的和等于_____. 672 【解析】所有子集的元素的和为 . 19 例15 (2023·北京大学强基计划)集合,2, ,,则 的元素两两互素的三元子集 （含有三个元素的子集）的个数为____. 42 【解析】中2的倍数有,3的倍数有，5的倍数有，显然 的元 素两两互素的三元子集包含上述每个集合中的最多一个数. 若该子集含元素1,则对应三元子集有 （个）; 若该子集含元素7，则对应三元子集有 （个）; 若该子集含元素1,7,则对应三元子集有8个; 若该子集不含元素1,7,则对应三元子集有 （个）. 所以的元素两两互素的三元子集的个数为 . 20 例16 (2023·北京大学强基计划)集合,2, ,，则 的各元素之和为17的倍 数且互不相交的二元子集（含有两个元素的子集）最多有_____个. 179 【解析】,34, ,,,18, , , ,19, ,, ,,26， , , ,27, ,, ,,33, , . 集合中有21个元素，且自配对，最多得到10个二元子集;与 配对，最多得 到21个二元子集，同理, ,分别与, ,配对,各最多得到21个二元子集; 与 配对，最多得到22个二元子集. 所以满足要求的二元子集最多有 （个）. 21 命题点3 集合中的最值问题 例17 (2022·全国高中数学联赛广西赛区预赛)设，是集合,2, , 的两个子 集， ，且时.记为的元素之和，则 的最大值是. 【答案】39 【解析】由，得 . 当时， ； 当时， ； 当时， . 由 可知，若1,2,,则4，6，,则4，6，, 非最大值，故1， 2，,至多有6个元素.当时， 取最大值，为39. 22 例18 (2022·全国高中数学联赛福建赛区预赛)已知,, ,是集合 ,2,3, ，的个非空子集，若对于任意的，,2,3, ,，均有,则 的 最大值为_____. 511 【解析】将集合,2,3, ,的 个非空子集分成512组：第1组为 集合；第2组到第512组，每组2个子集，且这2个子集的并集为集合 （易知这种分 组是存在的，事实上只需将的非空真子集与在 中的补集分在同一组即可）. 当时，若,, ,中含有集合，则显然不符合要求，若,, , 中 不含有集合，则根据上述分组和抽屉原理知，,, , 中必有两个集合在同一 组，它们的并集为集合，也不符合要求，所以 . 另一方面，集合，2，3， ，有511个非空子集，对于其中任意两个子集和 ， 均有.可见 符合要求. 所以 的最大值为511. 23 感谢观看 $$