精品解析：广东省广州市第七中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024学年（上）期中考试高二年级数学科试卷（问卷） 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知、，若，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出、，即可求出，从而得到椭圆方程. 【详解】因为、且， 由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且、，解得，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B 2. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 3. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 4. 在平面直角坐标系内，将直线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到直线，直线与直线间的距离为，则直线l的斜率为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的一般方程为，求出平移后直线的方法，利用平行线之间的距离可计算原直线的斜率. 【详解】设， 则即， 故直线与直线之间的距离为， 所以即，故直线的斜率为，选A. 【点睛】本题考查直线的平移以及直线斜率的求法，属于基础题. 5. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知对称圆半径不变，圆心与点关于已知直线对称，根据点关于直线对称求圆心，即可得方程. 【详解】圆，即，可知圆心为，半径为， 若两圆关于直线对称，则对称圆半径不变，圆心与点关于已知直线对称， 设对称圆圆心为，则解得， 所以所求圆的方程为. 故选：C. 6. 椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得. 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 7. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的上半圆，曲线表示两条直线与，而直线与有两个交点，则直线与半圆有2个除外的交点，利用数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解. 【详解】由得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆， 曲线表示两条直线与， 显然直线过圆心，则其与有两个交点， ∴直线与半圆有2个除外的交点， 由得， 则直线过定点，， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离，即， 解得或（舍）， 所以时，直线与半圆有2个除外的交点， 此时曲线与曲线有四个不同的交点. 故选：C. 8. 已知直线截圆所得的弦长为，点，在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦长可求得圆的半径，利用直线系方程求得定点坐标，设的中点为，求得的轨迹方程，进而求得的范围，从而可求得的取值范围. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 依题意，解得， 因为直线，即， 由，解得，所以定点， 设的中点为，则， 即，化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又到圆心的距离为，所以的取值范围为， 而，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种： ①可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点P为平面ABC上的一点，点是平面ABC外一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 已知，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的意义判断A；利用共面向量的推论计算判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得共面， 不是空间的一个基底，A错误； 对于B，由，点P在平面ABC上， 得，解得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，，则， 所以在上的投影向量为，D正确. 故选：BD 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若直线与互相垂直，则实数或 B. 直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 C. 若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则； D. 若直线与圆交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），则实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用垂直的充要条件求出判断A；求出直线过线段的中点的方程判断B；求出圆心到直线距离列式求解判断C；由向量等式可得，求出圆心到直线距离求解判断D. 【详解】对于A，由，得，解得或，A正确； 对于B，符合条件的直线可以过线段的中点，方程为，B错误； 对于C，圆的圆心为，点到直线距离 ，由圆上有且只有两个点到直线的距离为1， 得，解得，C正确； 对于D，由，两边平方得，则， 而，则圆心到直线距离为，即，解得，D正确. 故选：ACD 11. 已知圆M：，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若圆与圆M恰有一条公切线，则 B. 直线与圆M恒有两个公共点 C. 过点作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 D. 点在圆上，点在圆上，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两圆内切求出判断A；求出直线所过的定点，探讨点与圆的位置判断B；求出为直径的圆方程，再求出直线AB的方程判断C；求出两圆的圆心距，再求出最小值判断D. 【详解】圆M：的圆心，半径为1， 对于A，圆的圆心，半径， 依题意，两圆内切，则且，解得，A正确； 对于B，直线，由，得该直线恒过定点， 而，即点在圆外，直线与圆M可以不相交，B错误； 对于C，依题意，点共圆，圆心为中点，半径为， 该圆方程为，两圆方程相减得直线AB的方程，C正确； 对于D，圆的圆心，半径6，， 圆内含于圆，则， 当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数的值为__________. 【答案】4或 【解析】 【分析】分焦点在轴或焦点在轴上两种情况讨论，结合之间的关系即可求得. 【详解】因为，所以， （1）当焦点在轴上时，由椭圆的标准方程知，解得 （2）当焦点在轴上时，由椭圆的标准方程知，解得 综上，解得或. 故答案为：4或 13. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】用表示出，求向量的模. 【详解】， 则， 则 所以， 所以，BN的长为 故答案为：. 14. 已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则_______，_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】设直接计算可得，由角平分线定理可得，由此求出，得出点坐标，再由直角三角形求出点坐标即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心， 则为的角平分线，所以． 设，则， 所以，则， 即，解得，则， 所以点与重合， 此时，可得， 所以． 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：根据角平分线定理，可转化为，建立方程求出参数，得到圆的圆心、半径，求出M的坐标是解题的关键. 四、解答题：共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 取线段的中点为，连接， 因为为线段的中点，所以，且； 又是的中点，所以，且； 所以 ，且，故四边形为平行四边形； 所以， 因为平面，平面， 所以 直线平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，通过线线平行判断线面平行. （2）先确定，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的中点，所以，所以； 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 16. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. （1）求顶点和的坐标； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标； （2）设圆的一般方程为，将三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； 【小问2详解】 设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 17. 如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD垂直，P是半圆弧上一点（端点除外），AD是半圆的直径，AB=1，AD=2． （1）求证：平面PAB⊥平面PDC； （2）是否存在P点，使得二面角的正弦值为?若存在，求四棱锥P- ABCD的体积；若不存在，说明理由， 【答案】（1） 在矩形中，， 又平面平面，平面平面平面， 所以，平面， 又平面，所以， P是为直径的半圆上一点，所以， 又平面， 所以，平面， 又平面，则平面平面 （2）存在，四面体的体积为，理由如下： 取中点E，以的中点O为坐标原点，为x轴，为y轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面平面可知，半圆在平面平面内，设， 则，又， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又， 则，取，则， 设二面角的大小为， 若，则，又， 所以，，又， 得 所以，四面体的体积 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证平面，结合直径所对圆周角为直角可证平面，然后由面面垂直判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角为正弦值为时点P坐标，然后计算可得体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为. ①求的方程，并说明是什么图形； ②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）①，是圆；②存在， . 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据题意，得到半径，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出，从而可得圆心和半径，进而可得出结果； （2）①设，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到，代入圆的方程，即可得出结果； ②假设存在一点满足（其中为常数），设，根据题意，得到，再由①，得到，两式联立化简整理，得到，推出，求解得出，即可得出结果. 【详解】（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径. ∵圆心到直线的距离，由，解得. 故圆心为或，半径等于. ∵圆与轴正半轴相切 圆心只能为 故圆的方程为； （2）①设，则：，， ∵点A在圆上运动 即： 所以点的轨迹方程为， 它是一个以为圆心，以为半径的圆； ②假设存在一点满足（其中为常数） 设，则： 整理化简得：， ∵在轨迹上， 化简得：， 所以 整理得 ， 解得：； 存在满足题目条件. 【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型. 19. 已知圆以及圆. （1）求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程； （2）设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点. （i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）联立两圆求交点，根据几何法求圆心和半径，可得答案； （2）（i）由题意设出直线方程，利用弦长公式，求得弦长，利用基本不等式，可得答案； （ii）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，利用两直线求交点，求点的横坐标表示，可得答案. 【小问1详解】 联立两圆方程，可得，消去整理可得：，解得，则， 则所求圆所过点分别为，，， 由的中垂线为轴，则可设圆心， 由，则，解得， 故所求圆的半径，故圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由，则圆心，半径， 由直线过点D且斜率非0，则可设， 即点到直线的距离，故， 由，且直线过点D，则可设， 即点到直线的距离，故， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故四边形EPFQ的面积为S最大值为. （ii）设，设直线， 联立，消得，则，即， 直线的方程为，直线的直线方程为， 联立，消得， 解得， 由，则，即， N在定直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年（上）期中考试高二年级数学科试卷（问卷） 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知、，若，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 2. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系内，将直线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到直线，直线与直线间的距离为，则直线l的斜率为． A. B. C. D. 5. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 20 7. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 已知直线截圆所得的弦长为，点，在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点P为平面ABC上的一点，点是平面ABC外一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 已知，则在上的投影向量为 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若直线与互相垂直，则实数或 B. 直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 C. 若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则； D. 若直线与圆交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），则实数 11. 已知圆M：，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若圆与圆M恰有一条公切线，则 B. 直线与圆M恒有两个公共点 C. 过点作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 D. 点在圆上，点在圆上，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数的值为__________. 13. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为___________. 14. 已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则_______，_______． 四、解答题：共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 16. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. （1）求顶点和的坐标； （2）求的外接圆的方程. 17. 如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD垂直，P是半圆弧上一点（端点除外），AD是半圆的直径，AB=1，AD=2． （1）求证：平面PAB⊥平面PDC； （2）是否存在P点，使得二面角的正弦值为?若存在，求四棱锥P- ABCD的体积；若不存在，说明理由， 18. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为. ①求的方程，并说明是什么图形； ②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 19. 已知圆以及圆. （1）求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程； （2）设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点. （i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $