广东省潮州市湘桥区某校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省潮州市湘桥区城西中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，2，4 C．3，3，5 D．2，6，3 3．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（3分）点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 5．（3分）若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为（　　） A．40° B．50° C．65° D．60° 6．（3分）如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△D'O'C'≌△DOC，故∠A'O'B'＝∠AOB．其中说明△D'O'C'≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7．（3分）下列尺规作图，能确定AD是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（　　） A．∠COP＝∠DOP B．PC＝PD C．OC＝OD D．∠COP＝∠OPD 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，PQ＝AB，当△PAQ与△ABC全等时，AP的长度为（　　） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 10．（3分）在第1个△ABA1中，∠B＝52°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，第2022个三角形的以A2022为顶点的底角的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）从五边形的一个顶点出发，可以画出 　 　条对角线． 12．（3分）如图，△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是 　 　．（只需填一个即可） 13．（3分）如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　 　米． 14．（3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，那么从C岛看A，B两岛的视角∠ACB为 　 　度． 15．（3分）如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，点E是高AD上的一个动点，点F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则EB+EF的最小值是 　 　． 三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 16．（7分）如图，已知：AO＝CO，BO＝DO，求证：△AOB≌△COD． 17．（7分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标． 18．（7分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB交BD于点E，∠A＝70°，∠ABC＝50°，求∠BEC的度数． 19．（7分）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC； ②测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°； ③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC＝15°； ④测得DE的长度为30米. 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB． 四、解答题（二）（本大题共3小题，20、21题各8分，22题9分，共25分） 20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC，BC于E，F．求证：OE＝OF． 22．（9分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． （1）求证：BE＝AD； （2）求∠BPQ的度数； （3）若PQ＝3，PE＝1，求BE的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，23题10分，24题12分，共22分）. 23．（10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD； 操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上． 完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是 　 　，直线BC，AE的位置关系是 　 　． （2）深入探究 操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平． 根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由． （3）结论应用 如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的度数． 24．（12分）【理解探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝8cm，BE＝3cm，求DE的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为（7，3），点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点，求点C的坐标． 2024-2025学年广东省潮州市湘桥区城西中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 2．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，2，4 C．3，3，5 D．2，6，3 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不合题意； B、2+1＝3＜4，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、3+3＝6＞5，能组成三角形，故此选项符合题意； D、3+2＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解． 【解答】解：设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180°＝540°， 解得n＝5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 4．（3分）点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点P（3，2）关于x轴的对称点的坐标是（3，﹣2）． 故选：B． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5．（3分）若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为（　　） A．40° B．50° C．65° D．60° 【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得． 【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°， ∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握． 6．（3分）如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△D'O'C'≌△DOC，故∠A'O'B'＝∠AOB．其中说明△D'O'C'≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】由三条边对应相等的两个三角形全等，即可解决问题． 【解答】解：由作图知：OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′， 在△D'O'C'和△DOC中， ， ∴△D'O'C'≌△DOC（SSS）， ∴△D'O'C'≌△DOC的依据是SSS． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS． 7．（3分）下列尺规作图，能确定AD是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】要确定BC中线，首先确定BC中点，再连接AD即可． 【解答】解：根据作图方法可得A选项中D为BC中点，则AD为△ABC的中线， 故选：A． 【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法，掌握中线定义． 8．（3分）如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（　　） A．∠COP＝∠DOP B．PC＝PD C．OC＝OD D．∠COP＝∠OPD 【分析】先根据角平分线的性质得出PC＝PD，∠POC＝∠POD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出OC＝OD即可判断． 【解答】解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D， ∴PC＝PD，∠POC＝∠POD，故A，B正确； 在Rt△OCP与Rt△ODP中， ， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴OC＝OD，故C正确． 不能得出∠COP＝∠OPD，故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC＝PD是解题的关键． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，PQ＝AB，当△PAQ与△ABC全等时，AP的长度为（　　） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合． 【解答】解：①当AP＝CB时， ∵∠C＝∠QAP＝90°， 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP＝BC＝6； ②当P运动到与C点重合时，AP＝AC， 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL）， 即AP＝AC＝12， ∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． 综上所述，AP＝6或12． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 10．（3分）在第1个△ABA1中，∠B＝52°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，第2022个三角形的以A2022为顶点的底角的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝52°， ∴∠BA1A＝＝＝64°， ∵∠BA1A是△A1A2C的外角，A1A2＝A1C， ∴∠CA2A1＝＝＝32°； 同理可得， ∠EA4A3＝8°，∠DA3A2＝16°， ∴∠An＝， ∴A2022为顶点的底角的度数＝， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）从五边形的一个顶点出发，可以画出 　两　条对角线． 【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，可知n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，据此求解即可． 【解答】解：∵n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线， ∴从五边形的一个顶点出发可以画出5﹣3＝2（条）对角线． 故答案为：两． 【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是需要熟记的内容． 12．（3分）如图，△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是 　AC＝AD　．（只需填一个即可） 【分析】根据∠C＝∠D＝90°利用HL定理推出两三角形全等即可． 【解答】解：添加的条件是AC＝AD，理由是： ∵∠C＝∠D＝90°， ∴在Rt△ACB和Rt△ADB中 ， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）． 故答案为：AD＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一． 13．（3分）如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　20　米． 【分析】根据多边形的外角和即可确定小明走的边数，边数乘以2即可得出答案． 【解答】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°， 由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边， ∴小明一共走了10×2＝20米， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查正多边形的外角和定理，关键是要牢记多边形的外角和为360°． 14．（3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，那么从C岛看A，B两岛的视角∠ACB为 　90　度． 【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此求出∠ABC． 【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向， ∴∠ACB＝50°+40°＝90°， ∴从C岛看A，B两岛的视角∠ACB为 90°， 故答案为：90． 【点评】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键． 15．（3分）如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，点E是高AD上的一个动点，点F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则EB+EF的最小值是 　1　． 【分析】根据题意，点F关于AD的对称点F′在AC的中点处，当点B，E，F′三点共线时，EB+EF＝BF′值最小，由此即可求解． 【解答】解：在等边△ABC中，点E是高AD上的一个动点，点F是边AB的中点， ∴点F关于AD的对称点F′在AC的中点处，连接EF′，BF′，如图， ∴EB+EF＝EB+EF′≥BF′， ∴当点B，E，F′三点共线时，EB+EF＝BF′值最小， ∵AD＝6， ∴BF′⊥AC， ∴BF′＝AD＝6， ∴EB+EF的最小值是1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 16．（7分）如图，已知：AO＝CO，BO＝DO，求证：△AOB≌△COD． 【分析】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【解答】证明：在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS． 17．（7分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标． 【分析】根据轴对称的性质找到各点的对应点，然后顺次连接即可，画出图形后即可直接写出各点的坐标． 【解答】解：所画图形如下所示： 由图形可得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）； 【点评】本题考查了轴对称作图的知识，难度不大，注意掌握轴对称的性质，准确找出各点的对称点是关键． 18．（7分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB交BD于点E，∠A＝70°，∠ABC＝50°，求∠BEC的度数． 【分析】根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：∵BD⊥AC，∠A＝70°， ∴∠ABD＝90°﹣70°＝20°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝50°﹣20°＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝90°﹣30°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCE＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 19．（7分）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC； ②测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°； ③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC＝15°； ④测得DE的长度为30米. 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB． 【分析】根据AAS证明△ACD≌△ECB得出AC＝CE，即可推出结果． 【解答】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°， ∴∠CAD＝15°， ∴∠CAD＝∠BEC， 在△ACD与△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（AAS）， ∴AC＝CE， 又∵CB＝CD， ∴AB＝DE＝30米． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，20、21题各8分，22题9分，共25分） 20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝50°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示； （2）∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝50°， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC，BC于E，F．求证：OE＝OF． 【分析】由△ABC是等腰三角形且O是AB的中点，考虑连接OC，则易得∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，进而得到OC＝OB、CO⊥AB，从而不难得到∠EOC＝∠FOB；运用全等三角形的判定方法可得△EOC≌△FOB，再运用全等三角形的性质即可证明结论． 【解答】证明：连接OC． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠BCO＝∠ACO＝45°， ∴OB＝OC， ∵AC＝BC，点O为AB的中点， ∴CO⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠FOB＝∠EOC， 在△EOC与△FOB中， ∵， ∴△EOC≌△FOB（ASA）， ∴OE＝OF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（9分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． （1）求证：BE＝AD； （2）求∠BPQ的度数； （3）若PQ＝3，PE＝1，求BE的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°； （3）利用（2）的结果求得∠PBQ＝30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ＝BP＝6，则易求BE＝BP+PE＝7． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°， 在△AEB与△CDA中， ， ∴△AEB≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AD； （2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°， ∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°； （3）解：由（2）知∠BPQ＝60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°， ∴PQ＝BP＝3， ∴BP＝6 ∴BE＝BP+PE＝7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 五、解答题（三）（本大题共2小题，23题10分，24题12分，共22分）. 23．（10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD； 操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上． 完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是 　∠ABD＝∠CBD　，直线BC，AE的位置关系是 　BC⊥AE　． （2）深入探究 操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平． 根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由． （3）结论应用 如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的度数． 【分析】（1）根据折叠的性质进行求解即可； （2）由折叠的性质可得DF∥BC，则有∠DBC＝∠BDF，从而可求解； （3）由三角形的内角和可求∠BAC＝74°，再由折叠可求得∠ABD＝29°，利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：（1）∠ABD和∠CBD的大小关系是：∠ABD＝∠CBD，直线BC，AE的位置关系是：BC⊥AE． 故答案为：∠ABD＝∠CBD，BC⊥AE； （2）∠DBF＝∠BDF，理由如下： 由（1）得：∠CBD＝∠FBD，AE⊥BC，AE⊥DF， ∴DF∥BC， ∴∠CBD＝∠FDB， ∴∠DBF＝∠BDF； （3）∵∠ABC＝58°，∠ACB＝48°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝74°， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ABC＝29°， ∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝103°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°． 24．（12分）【理解探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝8cm，BE＝3cm，求DE的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为（7，3），点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点，求点C的坐标． 【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△CBE； （2）由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD＝CE＝8cm，BE＝CD＝3cm，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求AD＝BE，CD＝AE，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠D＝∠E＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠CAD， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠CAD， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； ∴AD＝CE＝8cm，BE＝CD＝3cm， ∴DE＝CE﹣CD＝5cm； （3）解：如图3，当点B在第一象限角平分线上时，过点A作AD⊥直线CO于D，过点B作BE⊥直线AD于E， ∴∠ADC＝∠BEA＝90°＝∠CAB， ∴∠CAD+∠BAE＝90°＝∠CAD+∠ACD， ∴∠ACD＝∠BAE， 又∵AB＝AC， ∴△ACD≌△BAE（AAS）， ∴AD＝BE，CD＝AE， ∵点A坐标为（7，3）， ∴AD＝7，DO＝3， ∴BE＝AD＝7，DE＝7+3＝10＝DA+AE， ∴AE＝3＝CD， ∴CO＝6， ∴点C（0，6）； 如图4，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作AD⊥直线CO于D，过点B作BE⊥直线AD于E， 同理可求：△ACD≌△BAE（AAS）， ∴AD＝BE，CD＝AE， ∵点A坐标为（7，3）， ∴AD＝7，DO＝3， ∴AD＝BE＝7， ∴DE＝4， ∴AE＝11＝CD， ∴CO＝14， ∴点C（0，14）， 综上所述：点C（0，14）或（0，6）． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/24 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