第五章 二元一次方程组 提升卷 2024--2025学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 提升卷 2024--2025学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．x，y满足方程，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 4．用代入法解方程组时，下列说法中，正确的是（　　） A．直接把①代入②，消去y B．直接把①代入②，消去x C．直接把②代入①，消去y D．直接把②代入①，消去x 5．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 6．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有(   ) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 8．通讯员要骑车到达某地．若他每小时行驶千米，则提前分钟到达；若他每小时行驶千米，则要迟到分钟．设通讯员到达某地的路程是千米，原定的时间为小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．已知甲、乙两数的和是7，甲数比乙数的2倍少2，设甲数为x，乙数为y，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 10．在新年来临之际，梅梅打算去花店为妈妈挑选新年礼物．已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．梅梅购买这两种花18枝恰好用去100元，设她购买枝康乃馨，枝百合，可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 11．函数y=2x+1与y=－x+6的图象的交点坐标是（    ） A．(－1,－1) B．(2,5) C．(1,6) D．(－2,5) 12．已知直线经过点，直线的表达式为，若与关于y轴对称，则与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．某“品牌产品网络直播”的收益（元）与直播时间（小时）之间满足一次函数关系，若直播1小时的收益为500元，直播4小时的收益为1100元，则直播3小时的收益为（    ） A．1000元 B．900元 C．800元 D．700元 14．若函数的图象经过，两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 15．下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 16．如图，两个正方形的面积分别为25，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　） A．4 B．9 C．16 D．25 二、填空题 17．关于x，y的方程是二元一次方程，则 ． 18．如果关于、的方程是二元一次方程，那么 ． 19．写出二元一次方程2x－y=5的一个整数解 ． 20．如果是关于x、y的二元一次方程，那么的值是 ． 21．“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 22．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺．则可列出方程组为： ． 23．在一年一度的“药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材.甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤.设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，为了求解x和y的值，你认为小明应该列出的方程组是： . 24．秋天的一个周末，王明的同学去帮王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同学（包括王明）继续摘梨，一半同学把梨搬运到果园外的车上以备运走，结果梨都摘完了，而需搬运的梨还留下一个人二天的工作量．如果每个人每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨，那么王明和他的同学共 人． 25．小明和小丽同时到一家水果店买水果．小明买苹果和雪梨，共花了33元；小丽买苹果和雪梨，共花了36元．设苹果每千克元，雪梨每千克元，请根据题意，列出方程组： ． 26．已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则 ． 27．如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 .    28．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 29．写出一个y随x增大而增大且图象经过(1，-3)一次函数的解析式： ． 30．已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 31．已知x、y、z满足，则 ． 32．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需 元． 三、解答题 33．已知是关于，的二元一次方程组的解，求的值． 34．x,y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下： x*y=mx+ny，x△y=kxy,其中m，n，k均为自然数（零除外），已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值. 35．在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五，值金十六两，问牛羊各值金几何？”译文：“五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两，问牛和羊各值金多少两？”请你解决这个问题． 36．王大厨去超市采购鸡蛋,超市里鸡蛋有两种包装，其中各鸡蛋品质相同且只能整盒购买,商品信息如下: 包装盒 包装盒 每盒鸡蛋个数（个） 每盒价格（元） 若王大厨购买包装盒, 包装盒 ①则共买鸡蛋 个，需付 元(用含，的代数式表示) . ②若王大厨买了两种包装共盒,一共买到 个鸡蛋,请问王大厨花了多少钱? 37．由于近期出现新冠肺炎疫情，口罩出现热卖．某药店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后宫获利2800元．进价和售价如下表： 品名 价格 甲种口罩 乙种口罩 进价（元/盒） 20 25 售价（元/盒） 26 35 求该药店购进甲、乙两种口罩各多少盒？ 38．问题：探究函数的图象及其性质． 小华根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究；下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在的中，自变量可以是任意实数；下表是与的几组对应值： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -1 0 1 2 3 2 1 0 m … 则= ；若为该函数图象上不同的两点，则= ． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； (3)根据函数图象可得该函数的最大值为 ，函数的图象与直线围成的图形面积是 ． 39．通过实验获得u，v两个变量的各对应值如下表． u 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 v 50 100 155 207 260 290 365 470 判断变量u，v是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求v关于u的函数式，并利用函数式求出当时函数v的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C A A D A A 题号 11 12 13 14 15 16 答案 B A B D D C 1．A 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程即可得，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、符合定义，故符合题意； B、最高次数是2，不符合定义，故不符合题意； C、不是整式方程，不符合定义，故不符合题意； D、只含有一个未知数，不符合定义，故不符合题意； 故选：A． 2．D 【分析】运用二元一次方程组的定义逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B.有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； C.有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D．此方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 3．A 【分析】利用整体法将两式相加，即可求得. 【详解】解：， ①＋②得：， ， 故选A. 【点睛】本题考查代数式的求值，灵活运用加减消元的思想是关键. 4．B 【分析】根据代入消元法求解的步骤即可得． 【详解】解：将①代入②，得：3y﹣2y＝2， 由此可知①代入②可消去x， 故选B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．C 【分析】设有x人分银子，银子的总数为y两，根据“若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设有x人分银子，银子的总数为y两， 依题意得： ， 解得：， ∴银子的总数为46两． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．A 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由题意得：； 故选A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程的应用是解题的关键． 7．A 【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解． 【详解】解：设买x支2元一支的圆珠笔，y支3元一支的圆珠笔， 根据题意得：，且x，y为正整数， 符合条件的整数解有： 故共有3种购买方案， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用及解得情况；解题定关键是找到一元二次方程的整数解． 8．D 【分析】设通讯员到达某地的路程是x千米，原定的时间为y小时，根据通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟列出方程组． 【详解】解：设通讯员到达某地的路程是x千米，原定的时间为y小时，由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确理解题意找出题目中的等量关系是解题的关键. 9．A 【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+乙数=7，②甲数=乙数×2-2，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】设甲数为x，乙数为y， 根据题意可列方程组：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 10．A 【分析】本考查了二元一次方程的实际应用：购买枝康乃馨，枝百合，根据“康乃馨每枝6元，百合每枝5元，两种花18枝恰好用去100元”，即可作答． 【详解】解：依题意，得 故选：A 11．B 【分析】联立两函数解析式，解方程组即可. 【详解】联立两个函数解析式可得：， 解得：， 所以交点坐标为. 故选：. 【点睛】本题考查了两直线的交点的求解，联立两直线解析式解方程即可，比较简单. 12．A 【分析】由两直线关于y轴对称，可得的表达式为，再将代入求出k的值，再联立与即可求出交点坐标. 【详解】∵直线的表达式为，且与关于y轴对称， ∴的表达式为， ∵直线经过点，把代入直线的表达式， 得，解得， 联立与得，解得 ∴与的交点坐标为. 【点睛】错因分析：对一次函数的图象与性质没有掌握. 本题考查了一次函数的图像与性质，以及直线交点问题，由对称得到的表达式是解题的关键. 13．B 【分析】设收益与直播时间函数解析式为，由，；，求出、值，得到一次函数解析式， 代入函数解析式即可求解． 【详解】设收益与直播时间函数解析式为， 将，；，代入函数解析式得， ， 解之得，， 一次函数解析式为， 将代入函数解析式， ． 故答案为B． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，由已知得出一次函数关系式是解题的关键． 14．D 【分析】把，代入建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：函数的图象经过，两点， ， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“待定系数法”是解本题的关键． 15．D 【解析】略 16．C 【分析】设空白长方形的面积为x，根据图形表示出两个正方形的面积，由已知面积列出方程组求解． 【详解】解：设空白出长方形的面积为x， 根据题意得： 两式相减得：a﹣b＝16， 故选C． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，列出方程组是解本题的关键． 17． 【分析】根据二元一次方程的定义，可列方程求解，再代入代数式求值． 【详解】解：根据题意知：，， 解得，． 所以． 故答案为：． 【点睛】此题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义（如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程）是解题的关键． 18． 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，得： 且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值，二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 19． （答案不唯一） 【分析】设x等于某个已知整数求出y,即可确定出整数解． 【详解】解:∵2x－y=5, ∴y=2x-5, 当x=3时,y=1, 则方程的整数解为, 故答案为:． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程,解题的关键是设x等于某个已知整数求出y． 20． 【分析】本题考查二元一次方程的定义，理解二元一次方程满足的条件是解题的关键．首先根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组求得m、n的值，再将m、n的值代入代数式求得结果即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴ 故答案为： 21． 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．根据“雉的数量兔的数量，雉的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 22． 【分析】由绳子比木头长4.5尺得：y-x=4.5；由绳子对折后比木头短1尺得：，组成方程组即可． 【详解】解：由题意，得 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系是解题的关键． 23． 【分析】设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程组． 【详解】解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤， 由题意得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系． 24．8 【分析】根据题中总梨数相等及每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨可以列出两个方程，可以把人数、一人一天摘的筐数、一人一天运的梨筐数设为未知数，列出方程组即可得解． 【详解】解：设王明和他同学共x人，一人一天摘的梨筐数为a，一人一天运的梨筐数为b，根据题意得： 解得：x=8． 故答案为:8. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 25． 【分析】根据“买苹果和雪梨，共花了33元；买苹果和雪梨，共花了36元”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意可得 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键． 26． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于，的二元一次方程组， 得：， ∴， ∴， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， ∴， 故答案为：． 27． 【分析】两个一次函数图象的交点，就是两个函数的解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵和的图象交于点P，且P（1，2） ∴二元一次方程组的解是 故答案为 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系． 28． 【分析】先根据点P的坐标，求得参数m、k的值，然后解二元一次方程组即可． 【详解】由题意可知， ， 解得：， 所以原方程组为， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数求参数与解二元一次方程组，根据P点求得参数的值并掌握解二元一次方程组的方法是关键． 29．y=x-4 【分析】根据y随着x的增大而增大推断出k与0的关系，再可以利用过点（1，﹣3）来确定函数的解析式，答案不唯一． 【详解】解：∵y随着x的增大而增大， ∴k>0， 又∵直线过点（1，﹣3）， 则解析式为y＝x-4． 故答案为：y＝x-4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查对一次函数的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能理解一次函数的性质是解此题的关键． 30． 【分析】本题考查动点最值问题-三角形三边关系模型，涉及图形与坐标、待定系数法确定一次函数关系式、一次函数图像与性质、点的对称等知识，根据动点最值问题-三角形三边关系模型的解法，作出图形，如图所示，即可得到取得最大值时，点为直线与轴的交点，利用待定系数法确定函数关系式，求出直线与轴的交点坐标即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定一次函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出关于轴的对称点，连接并延长交轴于，如图所示： ，在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线时，，即取得最大值时，点为直线与轴的交点， 设直线的表达式为，则将，两点代入得 ，解得， 直线：， 当时，，解得，即使取得最大值时则的坐标为， 故答案为：． 31． 【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键． 把两个方程相加，可得，据此可得；①3②4，可得，据此可得，进而得出答案． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴； ①3②4，得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 32．/ 【分析】根据题意，设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，由购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，则 ， ①②得， 现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需元， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程组解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程，根据问题灵活求解是解决问题的关键． 33． 【分析】把代入到已知的方程组就可得到关于，的方程组，求出，的值，进而求出结果． 【详解】是方程组的解， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解本题的关键． 34．10 【分析】根据新定义运算，得出m,n,k的式子为m=5-2n，k（10-n）=16，再根据m，n，k均为自然数可推出n=2，即可求出m,k的值，再代入所求即可求解. 【详解】由1*2=5    则 m+2n=5      即 m=5-2n 由(2*3)Δ4=64  则4k(2m+3n)=64   即k（2m+3n）=16① 代入① 则k（10-n）=16       又因为x.y.m.n.k均为自然数, 要使k为自然数,则10-n要为16的因数,即为1.2.4.8.16 则n可能为9.8.6.2 要使m=5-2n为自然数,     则n只可能为2 所以,n=2,m=1,k=2               ∵(1Δ2)*3=2k*3=2km+3n 把n=2,m=1,k=2代入得4+6=10 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意得出新定义的运算法则求出参数的值. 35．牛和羊各值金3两、2两 【分析】设牛和羊各值金x、y两，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】设牛和羊各值金x、y两， 根据题意有：， 解得：， 答：牛和羊各值金3两、2两． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出方程组，是解答本题的关键． 36．①;②王大厨付了元. 【分析】①由题意购买包装盒, 包装盒，则可得则共买鸡蛋个，需付元； ②由题意可得等式和，两式联立进行计算即可得到答案； 【详解】①； ②解：可得方程组： 解得 （元） 答：王大厨付了元. 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是读懂题意，得到等式关系. 37．该药店购进甲种口罩200盒，乙种口罩160盒． 【分析】分别根据药店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，得出等式组成方程求出即可 【详解】设该药店购进甲种口罩盒，乙种口罩盒， 根据题意，得， 解得 答：该药店购进甲种口罩200盒，乙种口罩160盒． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键． 38．(1)－1；－12 (2)图象见解析 (3)3，4 【分析】（1）分别将x=4、y=－9代入中，即可求出m、n值； （2）根据表格数据画出该函数图象即可； （3）根据函数的图象可求得最大值，再在同一直角坐标系中画出直线，然后求出两函数图象的交点，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将x=4代入中，得：m=3－4=－1， 将y=－9代入中，得：x=12或x=－12， ∵为该函数图象上不同的两点， ∴n=－12， 故答案为：－1；－12； （2）解：该函数的图象如图所示； （3）解：由（2）中图象知，该函数的最大值为3； 在同一平面直角坐标系中画出直线，如下图， 当x＜0时，由得x=－4，则y=－1， 当x＞0时，由得x=1，则y=2， ∴两函数图象的交点为（－4，－1）和（1，2）， 当x=0时，，则直线与y轴的交点坐标为（0，）， ∴函数的图象与直线围成的图形面积是=4， 故答案为：3；4． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，利用数形结合思想正确画出函数图象是解答的关键． 39．u，v近似地满足一次函数关系式，，当时，v的值为281 【分析】直接利用一次函数的定义进行判定，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：u，v近似地满足一次函数关系式； 理由：由图中数据可知，当u的值依次增加1时，v的值都增加105，当u的值每增加0.5时，大部分的v的值都增加了50左右，因此，u，v近似地满足一次函数关系式． 设， 将、代入解析式可得： ， 解得：， ∴v关于u的函数式为：； 当时，； ∴u，v近似地满足一次函数关系式，；v的值为281． 【点睛】本题考查了一次函数的定义和待定系数法，解题关键是牢记一次函数的特点，并能利用待定系数法求解析式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$