精品解析：重庆市高新区中学联盟2024—2025学年上期期中调研测试 八年级数学试题卷

高新区中学联盟2024-2025学年上期期中调研测试 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 在下列与食品标志有关的图案中，不是轴对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 3. 估算值是在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论： ①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____． 12. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据用科学记数法表示为_____________________． 13. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角为_____． 14. 如图，在和中，，若利用“”证明，则需要加条件______ ． 15. 如图，已知的周长是12，、分别平分和，于点，且，则的面积是_____． 16. 若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为_____． 17. 如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是_____． 18. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____，若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程组：， （2）解不等式组：． 20. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过直观观察发现：在中，大于，边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明． 请根据以上思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：， （1）尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） （2）证明：平分线， ①__________． 在和中， ， ． ②__________ ③__________ ． 通过研究发现，得出如下命题：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角④_________． 21. 如图，在和中，，，，，，，．求： （1）的度数； （2）的长． 22. 如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． （1）已知，的周长为，求的长； （2）若平分求的面积． 23. 如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，求的度数： （2）若，求的度数（用含的式子表示）． 24. 学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 25. （1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 26. 在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． （1）如图①，点E在运动过程中，求的度数； （2）如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； （3）在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高新区中学联盟2024-2025学年上期期中调研测试 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数叫互为相反数”直接求解即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得的相反数是2024， 故选：A． 2. 在下列与食品标志有关的图案中，不是轴对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析. 【详解】A.是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，符合题意； C.是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，不合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，另外，旋转对称图形和中心对称图形的概念也是常考点，熟记概念是解题关键． 3. 估算值是在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 4. 已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟知“三角形任何一条边大于其它两边之差且小于其它两边之和”是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系即可解答． 【详解】解：根据三角形三边的关系得：， 即， 故选：D． 5. 下列各式运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，只有同类项才能合并，据此逐一求出答案即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，故A错误； B、，故B正确； C、与不是同类项，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 6. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴由题意得：， 故选：A． 7. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程． n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得： ， 解得， 故选：A． 8. 如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ， ， 由折叠的性质可得，； ， 故选：D． 9. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论： ①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：由题意：易证为等腰直角三角形， ∵点D是的中点， ∴，平分，且， ∴， 又， ∴， ∴， ①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ②正确； ∵ ， 又， ∴， ∴， 但很明显是变化的， ∴也是变化的， ∴③不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴④正确， 即正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形三线合一，勾股定理，解题关键是证明出和全等． 10. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，化简绝对值．理解题意，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 根据题意求①，然后判断即可；根据题意知，，计算求解，可判断②，根据，分情况求解，然后判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对1，，3进行“F运算”的结果是不是8；①错误，故不符合要求； 由题意知，， 解得，，②错误，故不符合要求； 由题意知，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能有6种不同的表达式，③正确，故符合要求； 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．先计算乘方和化简绝对值，再进行相加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据用科学记数法表示为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，掌握等腰三角形底角相等是解题的关键．先求等腰三角形的一个内角为且只能为顶角，再根据等边对等角结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴等腰三角形有一个内角为， 当等腰三角形底角为时，不符合题意， 当等腰三角形顶角为时，两个底角为， 故答案为：． 14. 如图，在和中，，若利用“”证明，则需要加条件______ ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据图形正确添加条件利用全等三角形的判定方法进行证明是解题的关键．添加，由证明即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵， ∴在和中， ， ∴， 故答案为． 15. 如图，已知的周长是12，、分别平分和，于点，且，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，过O作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案． 【详解】解：过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和于D，且， ， 即， ∵的周长为12， ， ， 故答案为：． 16. 若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 17. 如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了与三角形的中线有关的三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 18. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____，若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 ①. 774 ②. 9357 【解析】 【分析】此题主要考查了新定义，二元一次方程以及不等式的性质，根据题意列出相关式子是解本题的关键． 第一空，根据题意直接计算，即可求出答案；第二空，设的千位数字为，百位数字为得出，（，且为整数），则可得，故可推得，能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：， 故答案为：774； 设m的千位数字为a，百位数字为b， ∵“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8， ∴m的个位数字为， ∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍， ∴百位上的数字与十位上的数字之和为4， ∴m的十位数字为， ∴，（，且为整数）， ∴ ， ∵ ∴能被7整除， ∵，且为整数， ∴， ∴或0， ∴或， 当时，由， 故或（舍去） 则此， 当时， ∴或或（不符合题意）， 或， 所有满足条件的“倍和数”m的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程组：， （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组．掌握解方程组与不等式组的方法与步骤是解本题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）分别解出每个不等式的解，然后即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 20. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过直观观察发现：在中，大于，边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明． 请根据以上思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：， （1）尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） （2）证明：平分线， ①__________． 在和中， ， ． ②__________ ③__________ ． 通过研究发现，得出如下命题：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角④_________． 【答案】（1） 如图所示 （2）①；②；③；④大． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分线， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：①；②；③；④大． 21. 如图，在和中，，，，，，，．求： （1）的度数； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等式的性质可得，进而可证得，于是可得，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）由（1）可知，于是可得，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：， 即：， ， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． （1）已知，的周长为，求的长； （2）若平分求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠得，则，所以，则，求得． （2）作于点F，由折叠得垂直平分，由角平分线的性质得，则． 此题重点考查翻折变换的性质、垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正解地作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长是． 【小问2详解】 解：作于点F， ∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴点A与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∵平分于点F，于点E，且， ∴， ∴， ∴的面积是． 23. 如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，求的度数： （2）若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答； （2）同（1）思路即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 24. 学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）购买一台平板电脑需元，一台学习机需元 （2）有3种方案： 方案：购买平板电脑台，学习机台； 方案：购买平板电脑台，学习机台； 方案：购买平板电脑台，学习机台； 购买平板电脑台，学习机台最省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元，根据题意列出方程组，解方程组即可求出和的值，即可； （2）设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． 由题意得：， 解得：， 故购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． 【小问2详解】 解：设购买平板电脑台，则购买学习机台． 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴，，． 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 则购买平板电脑台，学习机台最省钱． 25. （1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 【答案】 （1），理由如下： 如图1，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，得出，，即可得出结论； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等可知：，而，的长由，的位置决定，故需要对，的位置分三种情况讨论：当E在上，D在上时，即时；当E在上，D在上时，即时；当E到达A，D在上时，即时；分别根据建立一元一次方程，解方程即可求出t的值． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）分三种情况： 当E在上，D在上时，即时， ，， ，， ， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ， ， 解得：； 当E在上，D在上时，即时， 此时D与E重合， ，， ， ， 解得：； 当E到达A，D在上时，即时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并在动点问题中运用分类讨论思想是解题的关键． 26. 在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． （1）如图①，点E在运动过程中，求的度数； （2）如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； （3）在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 如图2，作交于点G，作于点H，则， ， 为中点， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）作交于点F，用全等判定方法证明，得到，即可得出的度数； （2）作交于点G，作于点H，先用全等判定方法证明，得，再由，得，再判定等腰直角得，最后等量代换即可推导出； （3）过点C作交于G，先说明是钝角三角形，则当是等腰三角形时，只存在一种情况：，结合（1）中的结论，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，作交于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在点E运动过程中，存在是等腰三角形， ， ， 是钝角三角形， 当是等腰三角形时，只存在一种情况：， 如图3，过点C作交于G， 由（1）得，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $