精品解析：山东省青岛莱西市（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 10，20，30 B. ，， C. 6，9，12 D. 9，12，13 4. 已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 12 7. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A. 1号袋 B. 2号袋 C. 3号袋 D. 4号袋 9. 如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 10. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是（ ） ；；；． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米． 12. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____． 13. 如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是__________. 14. 如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____． 15. 如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________． 16. 如图，在长方形中，是边上的一点，将沿着翻折，点C恰好落在边上的点E处，则阴影部分的面积为 ___________________． 三．作图题（本题满分4分） 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 四．解答题（本题满分68分，共9小题） 18. 如图，在中，，，BD是的平分线，求的度数. 19. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，求腰的长． 20. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 21. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，且，若，求的长． 22. 如图，在和中，、、、在一条直线上，，，添加一个条件：_____________，使得． 23. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 24. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； （2）【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 25. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 26. 如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长． （2）如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容） 27. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所不以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键． 利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意； C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选∶B． 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 10，20，30 B. ，， C. 6，9，12 D. 9，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理判断即可求解． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，不合题意； B、，故是直角三角形，符合题意； C、，故不是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，不合题意； 故选：B． 4. 已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为3，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键． 根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中点， ， ， ， 故选：A． 6. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 7. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 8. 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A. 1号袋 B. 2号袋 C. 3号袋 D. 4号袋 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 9. 如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选A． 10. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是（ ） ；；；． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的定义，可证明；过点作于，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可证得；根据题目给定的条件，无法证明；由结论正确可证得，由可得，于是可得． 【详解】解：对于结论： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， 故结论正确； 对于结论： 如图，过点作于， 平分，， ， ， ， ， 故结论正确； 对于结论： ， ， 又， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 条件不足，无法证明， 故结论不正确； 对于结论： 由结论正确得：， ， ， ，即， ， 故结论正确； 综上所述，正确的有， 故选：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，垂线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米． 【答案】48 【解析】 【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵ ∴∠BAC=180°-60°-60°=60° ∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=BC=48米． 故答案为48． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键． 12. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____． 【答案】40海里 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里， 根据勾股定理得：=40（海里）． 故答案为：40海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 13. 如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是__________. 【答案】7cm 【解析】 【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为cm． 这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是 =7cm． 故答案为：7． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形． 14. 如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 15. 如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得出，然后根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：，正方形和正方形的面积分别是289和225， ， ， 以为直径的半圆的面积是， 故答案为： 16. 如图，在长方形中，是边上的一点，将沿着翻折，点C恰好落在边上的点E处，则阴影部分的面积为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长并且证明是解题的关键． 由长方形的性质得，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠得， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三．作图题（本题满分4分） 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 【答案】 如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了作三角形；根据题意作，．连接，即可求解． 【详解】略 四．解答题（本题满分68分，共9小题） 18. 如图，在中，，，BD是的平分线，求的度数. 【答案】75° 【解析】 【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠ABC=∠C=70°，已知BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，在△BDC中根据三角形内角和定理可求出∠BDC的度数. 【详解】∵AB=AC, ∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=∠A)= 70°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBC==35°， 在△BDC中，∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-35°-70°=75°. 19. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，求腰的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】是等腰三角形，底边， ． 当时，，根据三角形三边关系，此时，，不构成三角形，不符合题意． 当时，“是“倍长三角形”， 所以当等腰是“倍长三角形”，腰的长为6. 20. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，且，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．根据题意设，则，继而根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵根据勾股定理可得：， ∴，解得：， ∴的长为． 22. 如图，在和中，、、、在一条直线上，，，添加一个条件：_____________，使得． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法，根据，得出，进而利用全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：， ， ， 添加，利用得出； 添加，利用得出； 添加，利用得出； 故答案为：或或． 23. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】 （1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 24. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； （2）【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】（1） ． 理由如下： 和均是顶角为的等腰三角形 ，，． ，即． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，最后用角的差，即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上， ． ． 由（1）知， 为等边三角形， ． ． 25. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 【答案】12米 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 设米，米，在和中，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设米，米， 在中，， ． 在中，， ． ． ∴ ， 解得：． ． ， ∴楼的高度为12米． 26. 如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． （1）当秒时，求的长． （2）如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容） 27. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $