精品解析：山西省晋中市介休市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 2. 在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程．如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的全等 D. 图形的相似 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是(　　) A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 5. 如图，在四边形纸片中，，，将纸片按如图方式折叠2次后，沿虚线剪开，阴影部分展开后得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法判断 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面（即为的中点），那么此时水面高度（即点到桌面的距离）是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为____． 12. 如图，菱形的边长，则菱形的周长为___． 13. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明同学对甲骨文很感兴趣，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为________． 14. 如图1，在线段上找一个点，把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，为的黄金分割点（），长度为，则的长度为________．（结果用根号表示） 15. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，垂直平分且分别交、于点H、G，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长． 18. 老师为了帮助学生分清裸子植物与被子植物，制作了一些带有植物图案的卡片（如图，这些卡片除图案不同外，其他均相同），分别放入甲、乙两个不透明的箱子中，甲箱中装有A、B、C三张卡片，乙箱中装有a、b、c三张卡片．其中A．银杏、B．红豆杉、c．落叶松是裸子植物，C．牡丹、a．向日葵、b．菊花是被子植物． （1）老师从甲箱中随机抽取一张卡片，所抽卡片上的植物是裸子植物的概率是______； （2）老师先从甲箱中随机抽取一张卡片，再从乙箱中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求所抽取的两张卡片上的植物都是被子植物的概率． 19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 应用题：山西有着多年的制醋史，山西老陈醋凝结着黄土高原上特有的风土人情，成为山西熠熠发光的文化名片，也是致富一方的产业．某陈醋厂在传统技术的基础上不断创新，推出了一款养生醋进行线上销售，引得广大网友争相购买品尝，据了解得知，成本价为每盒元，如果按每盒元销售，每天可售出盒；为了扩大知名度，该厂家决定降价销售，经调查发现，当销售单价每下降元，平均每天的销售量可增加盒，若该厂既想每天的利润达到元，又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为多少元? 21. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 22. 项目化学习： 项目主题 如何改造儿童游乐公园? 项目背景 为了在儿童游乐公园的花圃场地改造出一块空地来安装大型儿童游乐设施，特提出“如何改造儿童游乐公园？”方案设计的项目学习，以下是项目学习小组对游乐场所改造设计的研究过程． 实践活动一 场地改造前，如图1，有一块长与宽之比为的长方形场地上，阴影部分区域为两条宽度都为米的花圃．剩余空地面积为场地面积的一半． 驱动问题一 （1）项目学习小组需确定场地的尺寸，不再测量的情况下，请你根据以上信息求出长方形场地的长和宽． 实践活动二 确定改造方案：如图2，已知米，米，阴影部分区域栽种花草， 长方形空地安装游乐设施． 驱动问题二 （2）若剩余空地面积为场地面积的，，则 米， 米． 驱动问题三 （3）若比大米，求长方形空地面积的最大值． 23. 综合与实践 问题情境 在中， ，，现取一块等腰直角三角尺（，），将角的顶点D放在斜边的中点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转，三角尺的两边、分别交，于点M、N． 问题解决 （1）如图1，当经过点A时，的长为 ； 猜想证明 （2）如图2，求证：； 实践探究： （3）如图3，三角尺绕点D继续旋转的过程中，若时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴==， 故选：D 2. 在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程．如图所示的图案，是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若，则图中直角三角形之间存在的变换关系是（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的全等 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角相等证明三角形相似． 【详解】解：∵， ， ∴图中的直角三角形都相似， 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式的值．，有两个不相等的实数根；，有两个不相等的实数根；，没有实数根． 先计算出根的判别式的值，根据△的值就可以判断根的情况． 【详解】解：， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是(　　) A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．先将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解． 【详解】解：先将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解，这个过程体现的数学思想是转化思想． 故选C． 5. 如图，在四边形纸片中，，，将纸片按如图方式折叠2次后，沿虚线剪开，阴影部分展开后得到的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由两次对折后，再沿虚线剪开，可得：阴影部分图形展开后的四条边相等，结合菱形的判定可得答案． 【详解】解：由题意得：阴影部分图形展开后的四条边相等， 所以：阴影部分展开后得到的四边形是菱形． 故选：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，， 所以． 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况， ∴可配成紫色的概率是： 故选D． 10. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面（即为的中点），那么此时水面高度（即点到桌面的距离）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，先利用勾股定理求出的长，再利用矩形的性质可得，，，然后利用平行线的性质可得，进而可证得，由相似三角形的性质可得，据此即可求得的长，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 由题意可知： ，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， 即：， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握勾股定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为____． 【答案】， 【解析】 【分析】先把移到等号右边，方程两边都加一次项系数一半的平方即，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可． 【详解】移项得：， 配方，得， 即 ， 两边开平方，得 ， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 12. 如图，菱形的边长，则菱形的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质—菱形的四条边都相等即可直接得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为： ， 故答案为：． 13. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明同学对甲骨文很感兴趣，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，解答本题的关键是掌握概率公式．通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： P（文明）． 故答案为： 14. 如图1，在线段上找一个点，把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，为的黄金分割点（），长度为，则的长度为________．（结果用根号表示） 【答案】 【解析】 【分析】设的长度为，则可根据黄金分割的含义列出比例式，进而整理出关于的一元二次方程，解方程即可求得的长度． 【详解】解：设的长度为， 长度为， ， 又图中点为的黄金分割点（）， ， 即：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， ， 即：的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，一元二次方程的应用，等式的性质，公式法解一元二次方程等知识点，正确理解黄金分割的含义并列出方程是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，垂直平分且分别交、于点H、G，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，连接，根据线段垂直平分线性质可得，根据正方形的性质可得，根据点E是的中点求得，设的长为x，则的长为，根据勾股定理即可求得的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接， 在边长为4的正方形中，， ， 垂直平分， ，，， ∵点E是的中点， ， ∴， ∴， 设的长为x，则的长为， 在和中， ， 即， 整理得，， 即， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法求一元二次方程，公式法解一元二次方程，利用公式法要准确找出、、的值，解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 这里 ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ，或 解得：． 17. 如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长． 【答案】6，2.5 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例解答即可． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB=3，AD=2，DE=4， ∴， 解得：BC=6， ∵l1∥l2∥l3， ∵AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5， ∴， ∴， 解得：BF=2.5． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段AB与已知条件中的线段之间的关系． 18. 老师为了帮助学生分清裸子植物与被子植物，制作了一些带有植物图案的卡片（如图，这些卡片除图案不同外，其他均相同），分别放入甲、乙两个不透明的箱子中，甲箱中装有A、B、C三张卡片，乙箱中装有a、b、c三张卡片．其中A．银杏、B．红豆杉、c．落叶松是裸子植物，C．牡丹、a．向日葵、b．菊花是被子植物． （1）老师从甲箱中随机抽取一张卡片，所抽卡片上的植物是裸子植物的概率是______； （2）老师先从甲箱中随机抽取一张卡片，再从乙箱中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求所抽取的两张卡片上的植物都是被子植物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）找出三种卡片中裸子植物卡片的个数即可求出所求的概率； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上是被子植物的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：总共有3种等可能事件，其中裸子植物有2种情况， ∴所抽卡片上的植物是裸子植物的概率是； 【小问2详解】 解：列表格如下： 由列表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中都是被子植物的有2种（，）， ∴所抽取的两张卡片上的植物都是被子植物的概率为． 19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 20. 应用题：山西有着多年的制醋史，山西老陈醋凝结着黄土高原上特有的风土人情，成为山西熠熠发光的文化名片，也是致富一方的产业．某陈醋厂在传统技术的基础上不断创新，推出了一款养生醋进行线上销售，引得广大网友争相购买品尝，据了解得知，成本价为每盒元，如果按每盒元销售，每天可售出盒；为了扩大知名度，该厂家决定降价销售，经调查发现，当销售单价每下降元，平均每天的销售量可增加盒，若该厂既想每天的利润达到元，又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为多少元? 【答案】该厂既想每天的利润达到元又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每盒养生醋的售价应为元，根据题意得，解方程即可，解题的关键是正确理解题意，根据各数量之间的关系列出代数式；找出题目中的等量关系列出方程． 【详解】解：设每盒养生醋的售价应为元， 根据题意得，， 解得：，， ∵想扩大销售量， ∴不符合题意，舍去， 答：该厂既想每天的利润达到元又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为元． 21. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【小问1详解】 解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问3详解】 首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 22. 项目化学习： 项目主题 如何改造儿童游乐公园? 项目背景 为了在儿童游乐公园的花圃场地改造出一块空地来安装大型儿童游乐设施，特提出“如何改造儿童游乐公园？”方案设计的项目学习，以下是项目学习小组对游乐场所改造设计的研究过程． 实践活动一 场地改造前，如图1，有一块长与宽之比为的长方形场地上，阴影部分区域为两条宽度都为米的花圃．剩余空地面积为场地面积的一半． 驱动问题一 （1）项目学习小组需确定场地的尺寸，不再测量的情况下，请你根据以上信息求出长方形场地的长和宽． 实践活动二 确定改造方案：如图2，已知米，米，阴影部分区域栽种花草， 长方形空地安装游乐设施． 驱动问题二 （2）若剩余空地面积为场地面积的，，则 米， 米． 驱动问题三 （3）若比大米，求长方形空地面积的最大值． 【答案】（1）长为米，宽为米；（2），；（3）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）驱动问题一：设长为米，宽为米，根据题意，列出方程，即可求解； （2）驱动问题二：题意，列出方程，即可求解； （3）驱动问题三：设米，则米，根据题意可得长方形空地面积，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：（1）驱动问题一：设长为米，宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 则， 答：该长方形场地的长为米，宽为米． （2）驱动问题二：根据题意得：，， 解得：，或（舍去） 故答案为：，． （3）驱动问题三：设米，则米， 长方形空地面积为， 根据题意得： 当时，长方形空地面积最大，最大值为平方米． 23. 综合与实践 问题情境 在中， ，，现取一块等腰直角三角尺（，），将角的顶点D放在斜边的中点处，并将三角尺绕点D顺时针方向旋转，三角尺的两边、分别交，于点M、N． 问题解决 （1）如图1，当经过点A时，的长为 ； 猜想证明 （2）如图2，求证：； 实践探究： （3）如图3，三角尺绕点D继续旋转的过程中，若时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）先根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线的性质求解即可； （2）根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，根据等式的性质可得出，然后根据相似三角形的判定即可得证； （3）根据相似三角形的性质可求出，根据勾股定理可求出，证明，可得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ，， ∴， ∵D为中点， ∴， 故答案为：； （2）∵ ，， ∴， ， ， ， （3）连接， ， 又 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $