精品解析：广西柳州高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024~2025学年度上学期2023级 (高二) 10月月考 数学试卷 (考试时间: 120分钟 试卷满分: 150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再依据集合新定义的运算规则运算即可得解. 【详解】解得， 故集合， 又知， 所以， 故选：C． 2. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对两边平方，可得，再对平方可得答案. 【详解】因为，所以， 即，可得， 又，则. 故选：A. 3. “”是“函数在区间上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可. 【详解】因为在区间上存在两个零点， 所以, 解得或, 因为集合是集合或的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： （ ） A. 3.6米 B. 3.9米 C. 7.2米 D. 7.8米 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出，，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】设，，， 同理可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故选：C． 5. 平面内与两定点距离的比为常数k(且) 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆. 已知圆C的圆心C在直线上，半径为1，点，若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，代入数据化简得到，根据两圆有交点得到，解得答案. 【详解】在中，， 根据正弦定理，得， 设，则，化简得到. 圆心为，半径，圆C和圆要有交点， 故，解得. 故选：D. 6. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 .若 ，则k的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数加法运算可得，利用换底公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 又因为， 由题意可得，即，解得. 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案． 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象． 再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象， 由上，得， 当，即时，则，求得， 当，即时，由题意可得， 作出函数与的图象如图： 由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点， 则有唯一解， 综上，的取值个数为2． 故选：B． 【点睛】本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题． 8. 设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，表示出，根据列方程，用表示出，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得. 【详解】设，则，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以，得， 又在椭圆上，所以，即， 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故选：D 【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A坐标与c的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 过圆 上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 直线与圆相交 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质，建立直角三角形，结合勾股定理以及锐角三角函数，逐项判断可得答案. 【详解】设圆与圆的圆心为，则， 因为与圆相切，所以， 在中，，可得， 所以，又，所以，故A错误，BC正确； 对于D，设与相交于点，由与圆相切， 则，由，，得， 所以，在中，， 又圆的半径为，所以直线与圆相切，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B、C分别利用赋值法可逐项判断，对D利用赋值法可求出是周期函数，再根据周期函数可判断. 【详解】因为， 对B，令，得，因为，所以，故B错误； 对A，令，则，由B知， 则，所以，且定义域为， 故是偶函数，故A正确； 对C，令，则，所以， 令，则，故C正确； 对D，有，则， 所以函数周期，则， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用 ，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可； 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，，，故B正确； 对于C，，而，不相等．故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A， B， O为坐标原点， 则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得渐近线方程，利用点到直线的距离和基本不等式计算即可． 【详解】双曲线，则，两条渐近线方程为， 且M为C右支上的一个动点，设，则， 可得，，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 14. 已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器(容器壁厚度忽略不计)内，则该圆锥容器容积的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】作圆锥轴截面，利用圆锥的体积公式可将其用表示，结合基本不等式即可求出圆锥容器容积的最小值. 【详解】 由题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小， 作圆锥轴截面如图，为圆锥的高，为球心，为切点， 则，又， 则， 所以圆锥的体积 ， 因为，所以， 又为定值， 所以当，即时， 圆锥的体积最小为， 即圆锥容器容积的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：作圆锥轴截面，利用圆锥的体积公式可将其用表示，结合基本不等式即可求出圆锥容器容积的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且满足 （1）求角C; （2）若，，CD平分交AB于点D，求CD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）首先利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理，又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 又，， 所以，解得. 16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 17. 如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，． （1）证明：； （2）若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 【答案】（1） 证明：由题知，因为为圆的直径，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以， 由圆台性质可知，平面，且四点共面， 因为平面，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）转化为证明平面，利用圆台性质即可证明； （2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆台的体积，其中， 解得或(舍去). 由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则解得 于是可取. 设直线与平面的夹角为， 则， 故所求正弦值为. 18. 已知椭圆C的离心率为，为C的右焦点，过的直线l交椭圆于 A，B两点，且A在x轴上方，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）若l⊥x轴， 求线段AB 的长； （3）若将坐标平面沿x轴折成一个直二面角，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，，求出，，求出椭圆方程； （2）在（1）基础上，令得，求出线段AB 的长 （3）当直线l的斜率为0时，不合要求，设直线，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出，并利用空间线段的关系求出，由余弦定理，同角三角函数关系和三角形面积公式得到，换元后，由函数单调性求出最大值，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，，故， 所以，故椭圆方程为； 【小问2详解】 若l⊥x轴，中，令得， 故； 【小问3详解】 当直线l的斜率为0时，点在轴上，不合要求， 设直线， 联立得， 设，故， 恒成立， ， ， ，故， 故， 故 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， （1）求曲线的方程; （2）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线.对勾函数是我们最熟悉的函数之一，y轴和直线是它的渐近线，其图象实质也是圆锥曲线中的双曲线. 对勾函数有如下性质： ①函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形； ②若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴. （3）请求出函数对称轴l的方程，并利用适当的变换方法，求出函数 变换后所对应的双曲线标准方程. 【答案】（1） （2） 设方程上任意一点， 则 ， 当时，， 则， 当时，， 则． 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线． （3）对称轴的方程为和； 【解析】 【分析】（1）根据题意将代入曲线即可； （2）根据设，分和两种情况，结合两点间距离公式可得，即可得结果； （3）根据题设定义及双曲线的性质，可得对称轴为直线和，再求出和，即可求解；设平面上任一点在旧坐标系与新坐标系内的坐标分别为与，根据条件得出，代入，即可求解； 【小问1详解】 将代入曲线可得， 即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知， 对称轴为直线和； 又，得，解得， 又，所以，得， 又， 所以对称轴的方程为和； 在转轴下，设坐标轴的旋转角为，平面上任一点在旧坐标系与新坐标系内的坐标分别为与， 作，，再设，则 ，， ， 由题意可知将坐标轴逆时针度转，函数将变为双曲线标准方程， 由公式可得，即，得到 ， 代入，整理得. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期2023级 (高二) 10月月考 数学试卷 (考试时间: 120分钟 试卷满分: 150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. “”是“函数在区间上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： （ ） A. 3.6米 B. 3.9米 C. 7.2米 D. 7.8米 5. 平面内与两定点距离的比为常数k(且) 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆. 已知圆C的圆心C在直线上，半径为1，点，若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 .若 ，则k的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 过圆 上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 直线与圆相交 10. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A， B， O为坐标原点， 则的最小值为____________. 13. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 14. 已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器(容器壁厚度忽略不计)内，则该圆锥容器容积的最小值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且满足 （1）求角C; （2）若，，CD平分交AB于点D，求CD的长. 16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 17. 如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，． （1）证明：； （2）若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 18. 已知椭圆C的离心率为，为C的右焦点，过的直线l交椭圆于 A，B两点，且A在x轴上方，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）若l⊥x轴， 求线段AB 的长； （3）若将坐标平面沿x轴折成一个直二面角，求面积的最大值. 19. 设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， （1）求曲线的方程; （2）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线.对勾函数是我们最熟悉的函数之一，y轴和直线是它的渐近线，其图象实质也是圆锥曲线中的双曲线. 对勾函数有如下性质： ①函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形； ②若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴. （3）请求出函数对称轴l的方程，并利用适当的变换方法，求出函数 变换后所对应的双曲线标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $