精品解析：江苏省横林高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中学情监测数学试题

江苏省横林高级中学204-2025第一学期期中学情监测 高一数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A＝{a，6}，B＝{3，4，5}，A∩B＝{3}，则A∪B＝（ ） A. {3，4，5，6} B. {3} C. {3，6} D. {3，4，5} 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. 且是的充要条件 C. ， D. 是的必要不充分条件 5. 若，，则的值约为（ ） A. 2.301 B. 2.322 C. 2.507 D. 2.699 6. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0的解集为（　　） A. （﹣∞，） B. （﹣∞，1） C. （，+∞） D. （1，+∞） 二、多项选择题：全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是减函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 已知，且，则的最小值为 D. 若正数，满足，则的最小值是 11. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，则______． 13. 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________ 14. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 16. 已知集合，集合. （1）若；求实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若时不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式（其中）. 19. 已知函数的图象过点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的解析式； （3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省横林高级中学204-2025第一学期期中学情监测 高一数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A＝{a，6}，B＝{3，4，5}，A∩B＝{3}，则A∪B＝（ ） A. {3，4，5，6} B. {3} C. {3，6} D. {3，4，5} 【答案】A 【解析】 【分析】 由，得到，从而，，由此能求出． 【详解】解：集合，，，4，，， ，，， ，4，5，． 故选：． 【点睛】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得，命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式组求解即可. 【详解】解：有意义，则得， 故选：A. 4. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. 且是的充要条件 C. ， D. 是的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的真假判断AC，根据充分与必要条件的定义，结合不等式的解法及一元二次方程判断BD. 【详解】对于A：由得，不满足，，错误； 对于B：由且能推出，但由不能推出且， 比如当时，满足，但不满足且， 所以且是的充分不必要条件，错误； 对于C：若，则，故不存在，，错误； 对于D，若，则或，即由推不出， 但是由能推出，所以是的必要不充分条件，正确. 故选：D 5. 若，，则的值约为（ ） A. 2.301 B. 2.322 C. 2.507 D. 2.699 【答案】B 【解析】 【分析】借助指数与对数的关系及对数运算法则计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 6. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，要使函数是R上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数是R上的增函数， 所以，解得：， 故选：. 7. 关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先分类求不等式的解集，再根据任意两个解的差不超过14，分类求得的范围，可得的最大值与最小值的差． 【详解】不等式， 时解集为，时解集为， 时解集为， 由题意可得时，时， 解得， 则的最大值与最小值的差为4， 故选：B. 8. 已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0的解集为（　　） A. （﹣∞，） B. （﹣∞，1） C. （，+∞） D. （1，+∞） 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得到函数g（x）为奇函数，将不等式整理为，从而利用g（x）的单调性解不等式. 【详解】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数， 又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减. ∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0. ∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x）， ∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）. 故选：B. 二、多项选择题：全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域内是减函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求出抽象函数定义域判断A；由单调性判断B；求出函数值域判断C；利用方程组法求出解析式判断D. 【详解】对于A，在函数中，，则，因此函数的定义域为，A正确； 对于B，函数的定义域为，在定义域内不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为R，，则，C错误； 对于D，由，得，联立解得，D错误. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 已知，且，则的最小值为 D. 若正数，满足，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A变形得，再利用基本不等式即可；对B变形为，再利用基本不等式即可；对C直接利用基本不等式即可；对D，减少变量后再利用基本不等式即可. 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为，故B错误； 对于C，因为，，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令求出的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确； 对于B：令，得，所以， 任取，，且，则， 因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确； 对于C： ，故选项C不正确； 对于D：因为，由可得，所以， 所以不等式等价于即， 因为在上单调递增，所以 解得：， 所以原不等式的解集为，故选项D正确； 故选：ABD． 【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】由同底数对数加法公式以及，可得答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13. 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________ 【答案】10 【解析】 【分析】由题意，设该厂日获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可. 【详解】由题意，设该厂日获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 14. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为1可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据分数指数幂的定义，得，， ，从而可得，原式.（2）根据对数运算性质，得， ，，所以，原式. 试题解析：(1) (2) 考点：1.分数指数幂的运算；2.对数的运算性质. 16. 已知集合，集合. （1）若；求实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）讨论或，根据列不等式组即可求解. （2）由题意得出A⊆B，再由集合的包含关系列不等式组即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴当时，m－1≥m2，解得：m∈∅. 当时，m－1≥4或m2≤2，∴或. 【小问2详解】 ∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B， ∴，解得：m≤－2或2≤m≤3. 所以实数m的取值集合为或 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若时不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式（其中）. 【答案】（1） （2） ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，用基本不等式求出在上的最小值即可求出的范围. (2)将不等式，转化为，讨论的范围即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 ,在上恒成立. 在上恒成立. 在上恒成立. 当且仅当，即时取得最小值4. ，即. 【小问2详解】 不等式，即可转化为. ①当时，不等式为，解得不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； ④当时，不等式化为解得； ⑤当时，，不等式的解集为. 19. 已知函数的图象过点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的解析式； （3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象过点可得，再根据，利用二次函数对称性可得. （2）分类讨论对称轴与的关系求函数最小值得. （3）转化为方程方程有两个不相等的正实根的问题即可解决. 【小问1详解】 由函数的图象过点，得， 由，得图象的对称轴为，而图象的对称轴为，则， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当，即时，函数在上单调递减， ； 当，即时，函数在上单调递减，在单调递增， 则； 当时，函数在上单调递增， 则， 所以的解析式是. 【小问3详解】 函数有两个不相等的不动点，且， 由，得方程有两个不相等的正实根， 则，解得， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $