江苏省南通市田家炳初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.如图，AB是的直径，点C，D在上.若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.下列语句中正确的说法是(    ) A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆内接矩形是正方形 4.若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 5.已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为(    ) A. B. C. D. 无法确定 6.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的x的取值范围是(    ) A. 或 B. C. 或 D. 7.如图，点A、B、C、D在上，，，，则BC的长为(    ) A. B. 4 C. D. 8.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是(    ) A. B. C. D. 9.已知，设函数，，直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.抛物线与y轴交点坐标为______. 12.点，是抛物线上的两点，则m ______填<，>或 13.如图，四边形ABCD是的内接四边形，，则______ 14.抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为______. 15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为__________ 16.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离米关于滑行的时间秒的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来. 17.当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是______. 18.已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则m的取值范围是______. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 如图，在中，，求证： ； 20.本小题8分 根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． 已知图象的顶点坐标为，且过点； 已知图象经过点、，且对称轴为直线 21.本小题8分 如图，在中，直径AB与弦CD相交于点P，， 求的大小； 已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长． 22.本小题8分 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左边，与y轴交于点C，连接 直接写出A、B、C三点的坐标和的面积； 若点P为线段BC上的一点不与B、C重合，轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标. 23.本小题8分 如图，已知，以AB为直径的分别交AC，BC于点D，E，连接DE，且 求证：； 若，，求BC的长. 24.本小题8分 在二次函数中. 若它的图象过点，求t的值； 当时，y的最小值为2，求t的值. 25.本小题8分 【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高. 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长8m宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于 【解决问题】 若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 请你设计方案：在的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； 若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材2中的牌匾长度缩短为7m，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行. 26.本小题8分 已知抛物线G：经过点 用含b的代数式表示c； 若抛物线G与x轴交于两点B，点B在点C左侧，且，求点B的坐标； 当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线G上，求n的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， 二次函数的图象的顶点坐标为， 故选： 根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 根据直径所对的圆周角是直角得，求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等得出，即可得出结果.本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理. 【解答】 解：是的直径， ， 在中，， ， ， ， 故选： 3.【答案】A  【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦，正确，符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，错误，不符合题意； C、长度相等的弧是等弧，错误，必须添加在同圆或等圆中，故不符合题意； D、圆内接矩形是不一定是正方形，错误，不符合题意； 故选： 根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题． 本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． 4.【答案】A  【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移4个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为 可设新抛物线的解析式为：， 代入得： 故选： 按照“左加右减，上加下减”的规律解答． 此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5.【答案】C  【解析】解：把代入得， 解得或， ， 的值为 故选： 把代入二次函数解析式得到，求出a，然后根据二次函数的定义确定a的值． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特性：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．正确理解二次函数的定义是解决问题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：由函数图象可知， 当时， 二次函数的图象在一次函数图象的下方，即， 所以不等式的解集为： 故选： 利用数形结合的数学思想即可解决问题． 本题考查二次函数与不等式组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：连接AB，如图所示， ， ， 在中， ， ， 故选： 连接AB，可得是直角三角形，利用圆周角定理可得，在中，，利用三角函数可求出BC的长． 本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：根据题意可得：， 故选： 根据售价减去进价表示出实际的利润． 此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 9.【答案】D  【解析】解：如图所示， A.由图象可知，若，则，故选项错误，不符合题意； B.由图象可知，若，则或，故选项错误，不符合题意； C.由图象可知，若，则或，故选项错误，不符合题意； D.由图象可知，若，则，故选项正确，符合题意； 故选： 按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：作轴于M，轴于N， 点A，C在抛物线上，点D在y轴上，A，C两点的横坐标分别为m，， 点A坐标为，点C坐标为， ，，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 又， ， 即， ， ， 故选： 分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线为， 令，则 抛物线与y轴交点坐标为， 故答案为： 本题考查二次函数的图象和性质，根据与y轴交点坐标为直接求解，即可解题． 本题考查二次函数的图象和性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 12.【答案】<  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式得到开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论． 【解答】 解：抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于对称轴的对称点为，且， 故答案为 13.【答案】130  【解析】解：， 四边形ABCD是圆内接四边形， 故答案为： 先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：抛物线和x轴的一个交点为， 其对称轴为直， 它与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为： 根据抛物线解析式得到其对称轴，再结合抛物线的对称性，即可得到它与x轴的另一个交点的坐标． 本题考查了抛物线与x轴的交点，以及抛物线的对称性，熟悉函数的对称性是解题的关键． 15.【答案】2  【解析】解：过O点作半径于E，如图， ， 在中，， ， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 故答案为： 过O点作半径于E，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键． 16.【答案】40  【解析】解：， 当时，s取到最大值， 即无人机着陆后滑行40秒才能停下来， 故答案为： 将函数解析式化为顶点式，根据题意可知，当s取得最大值时，无人机停止运动，从而求解即可． 本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的实际应用是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：画出抛物线，如图， 当时，，且抛物线的顶点是图象最低点，抛物线开口向上， 直线与抛物线有交点，， 由图象可知 故答案为： 直线与抛物线有交点，则画出二次函数的图象，根据图象进行解答即可． 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：当时，， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数y随x增大而减小， ， ， 当时，，当时，， ，， 的最大值为， 恒成立， ， ， ， 故答案为： 利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19.【答案】证明：， ， ， ； ， ， ， ，，   【解析】由，可得到，可得结论； 根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等． 20.【答案】解：图象的顶点坐标为，且过点， 设二次函数的解析式为：， 把代入得： ， 解得：， 故二次函数的解析式为：； 设二次函数的解析式为，把、，对称轴为直线代入得： ， 解得：， 故二次函数解析式为：  【解析】直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案； 利用一般式代入，进而计算得出答案． 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式，正确掌握二次函数解析式求法是解题关键． 21.【答案】解：， ， 由圆周角定理得：， ； 过O作于E， 过O， ， 圆心O到BD的距离为3， ， ，，   【解析】根据三角形外角性质求出，根据圆周角定理得出，即可求出答案； 过O作于E，根据垂径定理求出，根据三角形中位线求出，代入求出即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键． 22.【答案】解：对于，令，则， ， 令，则， ， ， 或， 解得：，， ，， ， ； 设BC的表达式为， 把点B的坐标和C的坐标代入得：， 解得， 直线BC的表达式为， 设点P的坐标为，则点M的坐标为， ， 时，PM最大， 此时点M的坐标为  【解析】在抛物线解析式中，令可求得点C坐标，令则可求得A、B的坐标，再求的面积即可； 由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，配方后可解答． 此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数与坐标轴的交点，三角形的面积，二次函数的最值等知识．本题考查知识点较多，难度适中． 23.【答案】证明：，， ， ， ， ， ； 解：连接AE， 为直径， ， 由知， ，， ， ，， ∽， ， ，   【解析】由等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，由此推得，由等腰三角形的判定即可证得结论； 连接AE，由AB为直径，可证得，由知，证明∽后即可求得BC的长． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24.【答案】解：把代入得：， 解得； 抛物线对称轴为直线， 由，当时，函数值最小， 可得， 解得 ， ， 若，当时，函数值最小， ， 解得不合题意，舍去， 综上所述，  【解析】将坐标代入解析式，求解待定参数值； 确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可得． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，二次函数的最值，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 25.【答案】解：如图， 水面宽20m，拱顶离水面5m， 顶点的坐标为，且抛物线经过点，， 设该抛物线的函数解析式为， 代入，，， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 根据题意得危险高度为，安全最低高度为， ， 当时，， 解得，； 匾额的最大长度为， ， 牌匾悬挂能成功挂上； 设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，如图， ， ， 设圆的半径为r m， 则，， 根据勾股定理得， 解得， 在CN上截取，过点G作，交圆于点E，F两点，连接OE， 则， ， ， 方案的设计宽度为长度缩短为7m，宽仍然为，， 故牌匾悬挂能成功．  【解析】过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以20m的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将A、B、C坐标代入即可得出解析式； 根据题意，得出危险高度，安全最低高度，计算出安全的宽度，与方案牌匾长比较，计算判断即可． 设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，设出圆的半径，分别表示出OA、OC、利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 26.【答案】解：抛物线G：经过点， ， 抛物线与x轴交点纵坐标为0； 令，且将代入得：； 解得：；； ， ； 整理得：； 当时，； ；；即 当时，， ；；即 依题意，当时，自变量x的取值范围是：或，可知： ①，又由得：； 解析式可整理为：； ②， 当时，；即：；解得：； 点在抛物线G上， ； 整理得：； ； ； ； 解得：或  【解析】代入点A的坐标即可求得； 用字母系数表示B、C两点坐标，根据已知条件计算可求； 由题设可知抛物线的顶点信息及开口方向，基于这些讨论n的取值范围． 本题考查了二次函数的性质，计算量较大，综合性强．第三问难度较大，容易漏解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$