上海市宝山中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年上海市宝山中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，、、所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.已知P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是(    ) A. B. C. D. 3.在中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上如图，下列四个选项中，能判定的是(    ) A. B. C. D. 4.下列说法中，错误的是(    ) A. 长度为1的向量叫做单位向量 B. 如果，且，那么的方向与的方向相同 C. 如果是一个单位向量，是非零向量， D. 如果，其中是非零向量，那么 5.已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表 x …… 0 2 4 5 …… …… 0 1 3 5 6 …… …… 0 0 5 9 …… 当时，自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.如图，在中，于点M，于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果： 甲当M为AC中点时，为等边三角形； 乙为等边三角形. 对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是(    ) A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确 C. 甲、乙皆正确 D. 甲、乙皆错误 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知线段，，如果b是a、c的比例中项，那么线段c等于______ 8.如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的对应中线的比为______. 9.在锐角中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值是______. 10.如图，，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、如果，，那么的值是______. 11.已知一斜坡的坡度为1：，则斜坡的坡角为______度． 12.如果抛物线在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是______. 13.如图，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且若的面积是，那么的面积是______ 14.如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么a的值等于______. 15.如图，中，点D、点E分别是AB、AC的中点，BE与CD交于点若，那么CD：BC的值是______. 16.如图，在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”.联结AC、BD相交于点O，那么的面积等于______. 17.梯形ABCD中，，，，AC、BD相交于点O，，过点D作，交AC于点若是直角三角形，那么______. 18.如图，中，，，把绕点B逆时针旋转旋转角小于点A、C的对应点分别是、，射线与交于点E，若，则______. 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 计算： 20.本小题10分 如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且与BE交于点 若，请用来表示、； 在原图中直接在图中作出在方向上的分向量不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量 21.本小题10分 如图，已知在梯形ABCD中，，，，对角线AC、BD相交于点O，， 求AO：CO的值； 求的正切值. 22.本小题10分 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为和，且，求灯杆AB的长度. 23.本小题12分 如图，中，，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且 求证：； 联结BF，如果点E是BC中点，求证： 24.本小题12分 如图，抛物线与x轴交于A、B两点在B左侧，与y轴交于点联结CB交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点. 联结AC、CD，若 ①求抛物线解析式； ②线段BC上一点F，，联结FD，求 平移抛物线，使新抛物线顶点在射线CD上，新抛物线与y轴交于点若平分，且，求新抛物线的解析式. 25.本小题14分 中，，D、E分别在AB、AC上，，联结DC，作交DC于M，交BC于N，EN交DC于 如图1，，， ①求的正弦值； ②若DM：：18，求DM； 如图2，，联结MN，若四边形MNCE为梯形，请直接写出DM的长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：在中，，、、所对的边分别为a、b、c， ，，，， 即，，，， 故选： 根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 2.【答案】B  【解析】解：点P是线段AB的黄金分割点，且， ， ， 故A，C，D都不符合题意； ， 故B符合题意； 故选： 根据黄金分割的定义，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：当时，，A选项正确； 时，，B、C选项错误； 时，，D选项错误； 故选： 根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项不符合题意； B、当且时，那么的方向与的方向相同，故本选项不符合题意； C、如果是一个单位向量，是非零向量，或，故本选项符合题意； D、如果，，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即，故本选项不符合题意； 故选： 由平面向量的性质来判断选项的正误． 此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：当时，；当时，； 直线与抛物线的交点为和， 而时，， 当时，自变量x的取值范围是或 故选： 利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得到当时，自变量x的取值范围． 本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、b、c是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 6.【答案】C  【解析】解：当M为AC中点时， 于点M， 垂直平分AC， ， ， 为等边三角形， 故甲正确，符合题意； ，于点M，于点N， ， 在中，， 点P是BC的中点，，， ， ，， ， ， 是等边三角形， 故乙正确，符合题意； 故选： 根据线段垂直平分线的性质求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判断甲； 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，又由①得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可判断乙． 本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定等知识，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 7.【答案】3  【解析】解：线段，，线段c是a、b的比例中项， ， ， 故答案为： 根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 8.【答案】1：2  【解析】解：两个相似三角形的周长比为1：2， 两个相似三角形的相似比为1：2， 对应中线的比为1：2， 故答案为：1： 根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应中线的比等于相似比可得到答案． 本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应中线比等于相似比是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍， 变化后的三角形与原来的三角形相似， 变化前后的是相等的， 设锐角A所对的直角边为3a，邻边为4a， 则锐角A所在直角三角形的斜边为， 锐角A的余弦值是， 故答案为： 根据题意可知，变化前后的三角形相似，然后可以得到的度数不变，从可以求得锐角A的余弦值． 本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确变化前后的大小不变． 10.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， 故答案为： 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键． 11.【答案】30  【解析】解：设坡角为，由题意知：， 即斜坡的坡角为 坡度=坡角的正切值，以此求出坡角的度数． 此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡． 12.【答案】  【解析】解：在抛物线的对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大， 抛物线对称轴左侧的图象呈上升趋势， 抛物线的开口向下， ， ， 故答案为： 由抛物线开口向下时，对称轴左侧y的值随x的增大而增大，可得，进而求解得到结果． 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 13.【答案】4  【解析】解：，， ， ∽， ， 的面积是， ， 同理，， ， ， ， ， 的面积， 故答案为： 根据平行线分线段成比例定理逆定理求出，则∽，根据相似三角形的性质求出，同理求出，根据等高的三角形面积比等于对应底的比求出，再根据的面积求解即可． 此题考查了三角形面积、相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14.【答案】2  【解析】解：由题意，抛物线：向右平移一个单位， 新抛物线为 其顶点为 又新抛物线的顶点落在抛物线上， 故答案为： 依据题意，由抛物线：向右平移一个单位可得，新抛物线为，进而顶点为，再代入到抛物线的解析式上，进而计算可以得解． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能将求出平移后抛物线的顶点是关键． 15.【答案】  【解析】解：如图所示，连接DE， 点D、点E分别是AB、AC的中点， 为的中位线， ，， ∽ 设，则，， ，， 又， ， 又， ∽ ， ， 即， ， ， 故答案为： 连接DE，可得DE为的中位线，从而，再证明∽，设，则，，证明∽， ，即，，，从而可得结果． 本题考查了三角形中位线性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图所示，取格点E，连接CE， 可得，， ∽， 则，故BO为的中线， 由中线性质可得： 故答案为： 取格点E，连接CE，证明∽，进而可得BO为的中线，即可由中线性质求解面积． 此题考查了网线中求三角形的面积，相似三角形的判定与性质，中线的性质，熟练掌握以上内容是解题关键． 17.【答案】8  【解析】解：作于N，如图所示：   ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，， ，， ， ， ， ，， 当为直角三角形时，只有， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∽， ：：OC， ：：， 故答案为： 作于N，证明为等腰直角三角形得根据得，则，进而得，由此得，，再由勾股定理分别求出，，由此可根据勾股定理逆定理判定，则，，因此当为直角三角形时，只有，再由三角形的面积公式求出，则，，然后证明∽，利用相似三角形性质可得出AD的长． 此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，理解梯形的性质，熟练掌握相似三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 设旋转角， ，且， 点，均在BC的上方，如图所示： 则， 由旋转性质得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形，， ，，，， 在和中， ， ≌， ，， ， ，， ∽， ：：BC， ：：6， ， 故答案为： 先求出，设旋转角，根据，且得点，均在BC的上方，，再由旋转性质得，，，证明四边形为平行四边形得，，，再证明和全等得，，则，然后证明和相似，利用相似三角形的性质求出，进而可得出的长度． 此题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行线的性质，熟练掌握旋转变换及性质，平行线的性质是解决问题的关键． 19.【答案】解：   【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】解：，， 是CD的中点， ， ， ， ， 如图，过点C作交AB于点T， 则，即为所求．   【解析】利用平行向量的性质以及三角形法则求解即可． 利用平行四边形法则画出图形即可． 本题考查作图-复杂作图、梯形、平面向量，解题的关键是掌握三角形法则、平行四边形法则，属于中考常考题型． 21.【答案】解：如图，过点D作，垂足为点E，则四边形ABED为矩形， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∽， ， 故AO：： 过点A作CD垂线，垂足为F， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得：，   【解析】过点D作，垂足为点E，则四边形ABED为矩形，利用相似三角形可得结果； 过点A作CD垂线，垂足为F，利用面积法求出垂线段AF的长，再求出CF长，即可得到的正切值． 本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 22.【答案】解：过点A作，交CE于点F，过点B作，交AF于点G，则米． 由题意得， 设米． ， 米． 在中，， ， 米， ， 米 ， 米， 答：灯杆AB的长度为米．  【解析】过点A作，交CE于点F，过点B作，交AF于点G，则设米，知米、米，由米求得，据此知米，再求得可得米． 本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力． 23.【答案】证明：， 又， ∽， 点D是AB的中点， ， ， ， ， ；  如图， ， ， 又， ∽， ， 点E是BC的中点， ， ， ∽， ， ， ， ，   【解析】先根据题意得出∽，再由直角三角形的性质得出，由可得出，进而可得出； 根据可得出，，故可得出∽，再由点E是BC的中点可知，故，根据得出∽，推导出，利用，推导出即可． 本题考查的是相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 24.【答案】解：①令，则， ， 轴， ， 又， ， 点， 把点代入中， 得：， ， 抛物线的解析式为： ②令，则，解得：，， 点，， 如图1所示， 在中， ，， ∽， ， 则 过点F作于点N，则为等腰直角三角形， ， ， ，对称轴为直线， ， 如图1，作FM垂直于直线于点M， ， 如图2所示， 平分， ， 轴， ， ， 又， 为的中点， 对抛物线配方得：， 可得其顶点坐标为：， 设，因为，由中点坐标公式得：  ，， 故  新抛物线解析式为：  ， 令，则 ，则 ， 又，根据两点间距离公式有： ， 即 ， ， ，， ，解得：， 新抛物线解析式为：   【解析】①根据抛物线，可求出点，再得到，利用待定系数法即可求解； ②先求出点，，再求得BC的长，证明∽，得到 ，过点F作于点N，作对称轴于点M，求得  ，即可求解； 先得到D为中点，则 ，设，由中点坐标公式求得 ，则新抛物线解析式为：，令，则 ，求得 ，根据两点距离公式得，根效 ，即可示解． 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，函数的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，中点坐标公式，两点间距离公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25.【答案】解：如图，分别过D、E作BC的垂线，垂足为G、F，过点O作DE的垂线，H为垂足． ①， ， ， ， ， ， ， 由，，，易得四边形DEFG为矩形． ， 在和中，，， 又：：3， ， ②， ， 又， 在和中，，， ∽， ， 设， ，， ，，， ，则 ， ， ， ，， 为等腰直角三角形． ， 又， ， 过点D作，J为垂足，则为等腰直角三角形． ， 在中，，，则， ，， 由于四边形MNCE为梯形，则或 当时，，如图． ， 在和中，，， ∽ ， 当时，如图，延长EM交BC于点F，连接DF， ， ，即 又，， ∽， ， ， ， ， ， 、C、E、D四点共圆， ， ， ， ， ， 点F为B、C、E、D四点共圆的圆心，半径 设底边DE上的高为，底边CE上的高为， 根据等腰三角形的性质：， ， ，   【解析】①根据等腰三角形的性质先证明，然后根据平行线分线段成比例得到，再通过构造矩形DEFG证明≌，进而得出，在中求出的正弦即可； ②先证明∽得到，然后设，通过作把分成两个直角三角形，借助求出DH，再根据解直角三角形求出HE，最后由建立关于x的方程，解方程即可求得 根据四边形MNCE为梯形分为两种情况讨论：或先构造，根据题意求出DE和EC的长度．当时，通过证明得到∽由相似三角形的性质求出DM；当时，先通过证明∽，结合平行线分线段成比例得出，进而得，从而证得B、C、E、D四点共，然后由等腰三角形的性质求出和的面积，再根据三角形“同底等高“得到，进而求解 本题考查了四边形对角互补模型，涉及到三角形相似和全等，平行线分线段成比例，等腰三角形和直角三角形的性质，四点共圆等知识点，综合性强，难度较大，把两条线段之比转化为相似三角形对应边之比或两个三角形的面积比是本题的难点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$