福建省莆田市莆田第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025上学期高一期中考试数学试卷 命题：胡云贵 审题：程金镇 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设集合，，，则CU(A∪B)=（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数中为同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．设，，若⫋A，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4．设，，则有（   ） A． B． C． D．.. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 7．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 8．定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）． A． B．4 C．0 D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 11．不等式的解集是，则下列选项正确的是（   ） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若集合，，则 . 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 14．设函数，满足，则＝ ；函数的值域为 ． 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分） 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值：①；②. 16．解答下列各题 (1)若，求的最小值． (2)若正数a，b满足，求的最小值． 17．为减少空气污染，某市鼓励居民用电，采用分段计费计算电费，每月用电不超过100度时，按每度元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度元计算． (1)设月用电量为度时，应交电费为元，写出与的函数关系式； (2)小明家第一季度的电费情况如下： 月份 一月 二月 三月 交费金额 76元 63元 元 则小明家第一季度共用电多少度？ 18．已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 19．已知定义域为的函数是奇函数 (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B C B A C D ABD BCD BCD 12． 13． 14． 1．A 【分析】根据集合的并集、补集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以 故选：A 2．B 【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，，， 两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确. C选项，对于，，解得或， 所以的定义域是， 对于，，解得， 所以的定义域是，所以C选项错误. D选项，的定义域是， 的定义域是，所以D选项错误. 故选：B 3．B 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】当时，，解得， 当时，或， 解得或，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：B 4．C 【分析】由作差法判断两式大小. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：C. 5．B 【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后代值计算可得出的值. 【详解】由题意，，令，则， 所以函数解析式为， 所以，则． 故选：B. 6．A 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 7．C 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故C正确； 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故D错误. 故选:C 8．D 【分析】分别画出的图象，即可得函数的图象，根据图象分析最值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为. 故选：D. 9．ABD 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 10．BCD 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B： 由可知，即，所以由可得，故B正确； 对于C：因为，所以，即， 由不等式的性质可得，又，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，由不等式的性质可得，故D正确； 故选：BCD. 11．BCD 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，并且，是方程的两个根，再利用韦达定理可得，，再分析选项即可. 【详解】对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以错误； 对于，，由可得不等式解集为，所以正确； 对于，当时，，，所以正确； 对于，由题得，因为，所以，所以， 所以不等式的解集是，所以正确． 故选：. 12． 【分析】用列举法表示集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由可得，解得， 所以. 又，所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 14． 【分析】根据题意，利用待定系数法求解，进而得到的表达式；利用换元法，结合二次函数的性质即可得到的值域. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 即． 所以， 令，即, 所以，（）, 当时，， 即的值域为, 故答案为：；． 15．（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16．(1)8； (2)18. 【分析】（1）根据给定条件，利用配凑及基本不等式求出最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. （2）正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值取得最小值18. 17．(1) (2)330度 【分析】（1）由题意可知y关于 x的函数关系式为分段函数，结合题意分和两种情况求解； （2）当时，，由表可知小明家只有三月份用电小于100度，其他两个月均超过100度．将各月电费金额代入相应解析式即可求得当月用电量． 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以所求函数式为 （2）由题意：当，则；当，则； 由表可知小明家只有三月份用电小于100度，其他两个月均超过100度，则有： 一月份：，得度； 二月份：，得度； 三月份：，得度； 所以第一季度共用电：度 故小明家第一季度共用电330度． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 19．(1)，； (2)函数在上是减函数，证明见解析； (3) 【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解； (2)利用函数单调性的定义进行证明即可； (3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，所以， 又因为，所以，将代入，解得， 经检验符合题意，所以，，. （2）由（1）知：函数， 函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， ， 因为，所以，所以， 即，所以函数在上是减函数. （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数，所以， 所以，令， 由题意可知：问题等价转化为， 又因为，所以. 故的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$