精品解析：广东省江门市新会区会城创新初级中学2024-2025学年九年级上学年月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年广东省江门市新会区创新中学九年级（上）月考 数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 3、、1 B. 3、1、 C. 3、、 D. 3、4、1 2. 若是一元二次方程，则的值为（    ） A. B. C. D. 3. 方程的根是 ( ) A. B. C. ， D. ， 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 6. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 在某校篮球比赛中，参赛的每两个队伍之间都比赛一场，共比赛15场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如果3是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 10. 若，则 A. -2 B. 6 C. 6或-2 D. -6或2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根是_________． 12. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____． 14. 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______． 15. 对于实数，，我们用符号表示，两数中较大的数，如，若，则_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 18. 我国新能源汽车的生产技术不断提升．今年7月至9月，市场上某款新能源汽车的售价由260000元/辆下降到210600元/辆． （1）求该款汽车售价的月平均下降率． （2）按照这个月平均下降率，预计10月的售价是多少元？ 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 20. 春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 21. 某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元． 领队：超过人呢？ 旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元． 该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？ 22. 如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： （1）经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． （2）经过几秒钟后，四边形的面积是？ 23. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； （2）利用换元法解方程：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省江门市新会区创新中学九年级（上）月考 数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 3、、1 B. 3、1、 C. 3、、 D. 3、4、1 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数以及常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、、1． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 若是一元二次方程，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据定义解答即可.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 【详解】解：若是一元二次方程， 则， 解得， 故选：D． 3. 方程的根是 ( ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把原方程化为或，从而可得答案． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故选C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入一元二次方程中的系数求出根的判别式Δ，由此即可得出结论． 【详解】解：在方程x2-2x+3=0中， Δ=（-2）2-4×1×3=-8＜0， ∴该方程没有实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式，注意掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 6. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，先分别求出，再将待求式化简，整体代入求值即可. 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴. ∴． 故选：A． 7. 在某校篮球比赛中，参赛的每两个队伍之间都比赛一场，共比赛15场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据共比赛15场列方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛， 每个队比赛场， 根据题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 8. 如果3是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，将代入原方程，再计算即可． 【详解】将代入，得 ， 解得． 故选：A． 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 10. 若，则 A. -2 B. 6 C. 6或-2 D. -6或2 【答案】B 【解析】 【分析】设a2+b2=x，把原式化简成关于x的方程，解方程并检验即可得答案． 【详解】解：设a2+b2=x，则原式化简成x(x-4)=12, 解方程得：x1=6，x2=-2 ∵a2+b20， ∴x2=-2舍去， 故选B 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及平方和的含义，熟练掌握平方和的含义是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法进行求解即可． 【详解】解：， 解得； 故答案为： 12. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___． 【答案】k≥﹣1且k≠0 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根， ∴ 解得k≥﹣1且k≠0． 故答案为：k≥﹣1且k≠0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 13. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】把x=0代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴且， 解得：． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 14. 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程，再根据三角形的三边关系得出底和腰，进而求周长； 【详解】解：， （x－4）（x－1）=0， x1=4，x2=1， ∵1＋1=2＜4，不符合三角形的三边关系， ∴等腰三角形的底为1，腰是4， 周长=1＋4＋4=9， 故答案为：9 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：因式分解法即利用因式分解求方程的解，这种方法简便易用是解一元二次方程最常用的方法；也考查了三角形的三边关系． 15. 对于实数，，我们用符号表示，两数中较大的数，如，若，则_____． 【答案】1或0 【解析】 【分析】此题考查了新定义题，准确理解题意、熟练掌握乘法公式、一元一次不等式解法、一元二次方程的解法是解答此题的关键．首先理解题意，进而可得时分情况讨论，①当时，②时和③时，进而可得答案． 【详解】解：时，， 时，得，得， 时，得，得， 时，；时，；时，； ∵， ①当时，，不可能得出最大值为1， ②当时，， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，； ③当时，， 则， ， 或（不合题意，舍去）， 故当时，； 则综上所述：x的值为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程， （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 则或， ∴； 【小问2详解】 ， 整理，得， 则， ∴， 所以． 17. 已知是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，另一个根是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，先将代入方程，再根据一元二次方程根与系数关系解答即可． 【详解】解：∵是方程， ∴， 解得， ∴方程为. 设另一个根是n，根据题意，得 ， 解得， ∴，另一个根是6． 18. 我国新能源汽车的生产技术不断提升．今年7月至9月，市场上某款新能源汽车的售价由260000元/辆下降到210600元/辆． （1）求该款汽车售价的月平均下降率． （2）按照这个月平均下降率，预计10月的售价是多少元？ 【答案】（1） （2）189540元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款汽车售价的月平均下降率为x，利用今年9月该款新能源汽车的售价=今年7月该款新能源汽车的售价，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计今年10月该款新能源汽车的售价今年9月该款新能源汽车的售价，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该款汽车售价的月平均下降率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款汽车售价的月平均下降率为； 【小问2详解】 解根据题意得： （元） 答：按照这个月平均下降率，预计10月的售价是189540元． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 20. 春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】（1）8个人 （2） 经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； 【小问2详解】 略 21. 某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元． 领队：超过人呢？ 旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元． 该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？ 【答案】30人 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 求出人数为人时的总费用，由该值小于元，可得出该单位参加旅游的人数超过人，设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为，利用总费用＝人均费用×人数，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合人均旅行费用不得低于元，即可确定结论． 【详解】解：∵（元），元， ∴该单位参加旅游的人数超过人． 设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：该单位参加旅游的共有人． 22. 如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： （1）经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． （2）经过几秒钟后，四边形的面积是？ 【答案】（1）2秒或秒 （2）3秒 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理， 对于（1），设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 对于（2），设经过t秒钟后，四边形的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为， 由题意，得，则， 由勾股定理得： ， 解得：或， 答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为； 【小问2详解】 设经过t秒钟后，四边形的面积是， 由题意，得，则， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 答：经过3秒钟后，四边形的面积是. 23. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； （2）利用换元法解方程：． 【答案】（1）；， （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【小问1详解】 解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； 【小问2详解】 ， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $