精品解析：辽宁省鞍山市千山区2024-2025学年九年级上学期初中阶段性教学成果评估数学试卷

初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图：，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 0 B. 6 C. 1 D. 4. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④点、是函数图象上两点，若且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ） A. B. C. D. 6. 已知等腰的边是方程的根，则的周长为（　　） A. 9 B. 9或12 C. 6或15 D. 6或12或15 7. 如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ） A. cm B. C. D. 8. 已知二次函数中和的值如表，则下列选项是的一个根所在范围的是（ ） x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.1 1.9 A. B. C. D. 9. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A. 5 B. C. 5或 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果两个相似多边形面积之比为，则它们的边长之比为__________． 12. 抛物线，开口__________，顶点坐标是__________，当__________时，． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 14. 方程的根为________． 15. 如图，是二次函数（，为常数，且）图象的一部分，其对称轴为直线，若图象与轴的其中一个交点为，则的值是________． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，，点在上，与交于点，，，求的长．     18. 已知：如图，内接于，，，为的直径，，求的长． 19. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 20. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点．分别在的延长线上取点，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为90米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 21. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ 22. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 23. 已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接．当为等腰三角形时，直接写出长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图：，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程含分母，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； B、方程含根号，属于无理方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； C、 ，整理方程得，方程为一元二次方程，故该选项符合题意； D、，方程中未知数最高次数为3，属于三次方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 3. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 0 B. 6 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握（）的两个根满足：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ， 故选：A． 4. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④点、是函数图象上两点，若且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像的性质，函数图像与参数的关系，由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①，根据当时，，判断②，根据图象判定③，根据点D、E的位置和到对称轴的距离判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，与x轴交于点， ∴与x轴另一个交点B坐标为，， ∴，故①正确； 当时，， ∴，故②错误； 由图象可得当时，y随x增大而增小，故③错误． ∵若且， ∴， ∴， 当时，， 当时，∵，∴，即点E到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离， ∴，故④正确． 综上所述：正确的说法有2个， 故选：B． 5. 温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为（3-x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售瓯柑获得的利润=每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元， 平均每天的销售量为（50+10x）千克， 依题意得：（3-x）（50+10x）=120． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 已知等腰的边是方程的根，则的周长为（　　） A. 9 B. 9或12 C. 6或15 D. 6或12或15 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得：，， ∵等腰的边为：2和5， ∴当腰长为2，底边为5时，不符合三角形的三边关系定理， 当腰长为5，底边为2时，的周长为：， 当边长都为2时，的周长为：， 当边长都为5时，的周长为：， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键． 7. 如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ） A. cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 8. 已知二次函数中和的值如表，则下列选项是的一个根所在范围的是（ ） x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.1 1.9 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在0.12和0.13之间由负到正，故可判断时，对应的的值在0.12和0.13之间． 【详解】解：由表格中的数据看出，随的值逐渐增大，和0.1更接近于0，对应的的值在0.12和0.13之间． ∴的一个根所在范围的是． 故选：C． 9. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金比例求解即可． 【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为， ∴它的宽， 故选：D． 【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键． 10. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A. 5 B. C. 5或 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，根据角平分线的定义得到∠PBD＝∠CBD，根据等腰三角形的性质得到PB＝PD，同理，DQ＝CQ，设AP＝4x，AQ＝3x，根据勾股定理得到PQ＝5x，根据题意列方程即可得到结论；当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB，由勾股定理得到BC＝10，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝DG，根据三角形的面积公式得到DE＝＝2，四边形AEDF是正方形，推出△PED∽△DFQ∽△CAB，求得＝＝＝，得到PE＝，FQ＝，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1， ∵DB平分∠ABC， ∴∠PBD＝∠CBD， ∵PD∥BC， ∴∠PDB＝∠DBC， ∴∠PBD＝∠PDB， ∴PB＝PD， 同理，DQ＝CQ， ∵∠APQ＝∠ABC， ∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝， ∴设AP＝4x，AQ＝3x， ∴PQ＝5x， ∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x， ∴8﹣4x+6﹣3x＝5x， ∴x＝， ∴PQ＝5x＝； 当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB， ∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°， ∴BC＝10， 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB， ∴DE＝DF＝DG， ∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB•AC， ∴DE＝＝2，四边形AEDF是正方形， ∴DF∥AP， ∴∠EPD＝∠FDQ， 同理∠EDP＝∠FQD， ∴△PED∽△DFQ∽△CAB， ∴＝＝＝， ∴PE＝，FQ＝， ∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝， ∴PQ＝PD+DQ＝+＝， 综上所述，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果两个相似多边形面积之比为，则它们的边长之比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方解决问题即可． 【详解】解：∵两个相似多边形面积之比为， ∴它们的边长之比为． 故答案是：． 12. 抛物线，开口__________，顶点坐标是__________，当__________时，． 【答案】 ①. 向上 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题， 首先将抛物线配方成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】∵ ∴开口向上，顶点坐标是， 当时， 解得或3 ∴当时，． 故答案为：向上，，． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且． 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△=，解得：， ∵方程是一元二次方程，∴， ∴的范围是：且． 故答案为且． 【点睛】本题考查根的判别式；一元二次方程的定义． 14. 方程的根为________． 【答案】 【解析】 【分析】运用因式分解法可解得. 【详解】由得 故答案为 【点睛】考核知识点：因式分解法解一元二次方程. 15. 如图，是二次函数（，为常数，且）图象的一部分，其对称轴为直线，若图象与轴的其中一个交点为，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，解题的关键是掌握待定系数法求抛物线解析式的方法．根据二次函数的对称轴是直线，图象与轴的其中一个交点为，根据待定系数法即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， 又∵图象与轴的其中一个交点为， ∴，即， 解得：，， 则， 故答案为：． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数， ∴， ∴，． 17. 如图，，点在上，与交于点，，，求的长．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． 18. 已知：如图，内接于，，，为的直径，，求的长． 【答案】6. 【解析】 【详解】由∠BAC=120°，AB=AC可得∠C=30°，根据圆周角定理可得∠BAD=90°，∠D=30°，由AD=6即可求得AB的长，再根据等腰三角形的性质即可求得结果. 解：∵∠=， ∴=. 又∵为直径， ∴∠=， ∴∠ ∵， ∴ ， ∴//， ∴四边形是等腰梯形， ∴. 19. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【解析】 【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 20. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点．分别在的延长线上取点，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为90米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为360米． 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形测量河的宽度．过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为360米． 21. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每件商品的销售价应定为元或元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确的列出函数关系式和方程，是解题的关键： （1）结合图象，根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，y与x之间满足一次函数的关系，设，把代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：或； 答：每件商品的销售价应定为元或元． 22. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 如图 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可； （2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于的不等式组，解之即可得出结论. 【小问1详解】 解： 略； 【小问2详解】 如图, 对于 当时, ， ∴函数 与y轴的交点坐标为, 当直线经过点 时, ； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得 此时， 解得， 综上，的值为或； 【小问3详解】 根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为： 函数图象如图所示： 当 时，如图，点关于直线的对称点为 ，关于 的对称点为 若当 时，均满足 则需满足 ， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的综合应用； 理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键. 23. 已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接．当为等腰三角形时，直接写出长； 【答案】（1）（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求，由折叠的性质得，，设，由勾股定理得，即可求解； （2）延长、交于，由等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得， ，即可求解； （3）①当时，过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质即可求解；②当时，可判定四边形是正方形，由正方形的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 由折叠得：，，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ； （2）如图，延长、交于， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， ； （3）由旋转得：， ， ， ， ， ①当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ； ②当时， 由①得：， ∴，即点H和点D重合， ∴， ∵， ∴E、D 、P三点共线， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∵， ， 四边形是正方形， ； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握折叠的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $