福建省莆田第八中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（B卷）

莆田八中2024-2025学年高一年级期中数学试卷（B卷） （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：黄慧珊 审核人：程金镇 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 11．下面命题正确的是（    ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B．“，则”的否定是“，则” C．已知，则的取值范围是 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12．已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 13．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 14．设，函数，当时，的值域是 ；若恰有一个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．已知． (1)证明． (2)若，求的最小值． 16．（1）求值：； （2）已知，求的值. 17．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件. （1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ 18．已知函数． (1)求的定义域和值域； (2)讨论的奇偶性； (3)讨论的单调性． 19．已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (3)对于函数，，若，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 莆田八中2024-2025学年高一年级期中数学试卷（B卷）标准答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A D C C BC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解即得. 【详解】解，得，则，而， 所以. 故选：D 2．B 【分析】由指数函数解出集合，再求交集即可； 【详解】由可得，所以， 所以 故选：B. 3．A 【分析】根据函数定义域可判断BCD错误，根据定义域及解析式可判断A正确. 【详解】对于A，与定义域、解析式相同，是同一函数，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误. 故选：A 4．B 【分析】分析函数的奇偶性及当时函数值的正负即可判断. 【详解】因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C； 又时，，排除选项D，故选项B正确. 故选：B. 5．A 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 6．D 【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误； 对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误； 对于C，函数，故定义域为，故错误； 对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确. 故选：D. 7．C 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为是偶函数，所以，即①， 又因为是奇函数，所以，即②， 联立①②可得， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：C． 8．C 【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围. 【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增， 则对任意的，不等式恒成立， 则不等式，恒成立， 则，恒成立， 得，得，恒成立， 则且，或且，恒成立， 即当时，且，或且， 又当，有，， 得. 故选：C. 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大. 9．BC 【分析】举特例可判断AD；利用作差法可判断B；利用指数函数的单调性可判断C. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由， 因为，所以，， 所以，即，故B正确； 对于C，由，得， 由于函数在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：BC. 10．ACD 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 11．ABD 【分析】对A,B,D根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可；对C，利用不等式的性质判断. 【详解】对于A，该命题的否定为“若且，则都不大于1”，则，所以， 所以该命题的否定为假命题，即原命题为真命题，故A正确； 对于B，命题“，则”的否定是“，则”，故B正确； 对于C，，，则，故C错误； 对于D，当时，不一定不为0，当时，一定有， 所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据条件得到，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，则， 又，，所以， 故答案为：. 13． ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 14． 【分析】第一空：把分段的两部分值域求出来取并集即可；第二空，对分类讨论即可求解. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 所以此时的值域是； 当时，若，则令，解得， 若，则， 所以此时恰有一个零点，故，满足题意， 当时，若，则， 若恰有一个零点，则只能当时，有解， 即当时，有解，所以， 综上所述，若恰有一个零点，则的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：第二空的关键是找到合适的临界值对进行分类讨论，由此即可顺利得解. 15．(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)通过作差法判断即可； （2）由．结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）证明： 因为，所以，， 则，从而． （2）解：因为，所以． ． 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为． 16．（1）32；（2） 【分析】（1）根据指数的运算即可求出答案； （2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， 因为，所以，， 所以. 故. 17．（1）；（2）5850元. 【分析】（1）服装的实际出厂单价为，应按和两类分别计算，故函数应为分段函数； （2）由（1）列出当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求时的函数值． 【详解】(1)当时，； 当时， 所以.   (2)设销售商一次订购量为件，工厂获得的利润为元， 当时，， 当时， 即, 当时，. 因此，当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润是元． 【点睛】本题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力． 18．(1)R， (2)是奇函数 (3)为上的增函数 【分析】（1）借助指数函数及分离常数法求出定义域及值域. （2）利用函数奇偶性定义判断. （3）利用函数单调性定义推理判断. 【详解】（1）函数的定义域是，令，得， 而，即，解得， 所以的值域为. （2）因为，所以是奇函数． （3）函数，设是上的任意两个实数，且， 则， 由，得，且，， 则，即， 所以为上的增函数. 19．(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）定义法判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用函数单调性解不等式. 【详解】（1）函数，定义域为R， ，所以为奇函数. （2）证明：根据题意，任取， 则， 因为，则，，， 则，即， 故在上单调递减． （3）由（1）得，在上单调递减， 若，， 解得，即所求范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$